楊濤+趙妍卉+張穎松+李平輝

摘 要 把Mathematica數(shù)學(xué)軟件應(yīng)用到電磁場(chǎng)理論鏡像法的教學(xué)中，可以很容易地由電位方程求出電場(chǎng)方程，并且可以方便地畫(huà)出電位和電場(chǎng)的分布場(chǎng)圖，既增強(qiáng)了學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)，又達(dá)到了良好的教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞 Mathematica 鏡像法 電場(chǎng)

中圖分類(lèi)號(hào)：O441.2 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2015.07.015

Application of Mathematica in Image Theory

in Electromagnetic Theory

YANG Tao， ZHAO Yanhui， ZHANG Yingsong， LI Pinghui

（PLA University of Science and Technology， Nanjing， Jiangsu 210007）

Abstract The software Mathematica is introduced for the teaching of image theory in electromagnetic theory， which makes it simple to obtain the electric field equation from potential equation as well the field distribution for potential and electric fields. Therefore， the students' sensory perception can be enhanced and the good teaching effect can be achieved.

Key words Mathematica; Image Method; electric field

Mathematica是美國(guó)Wolfram Research公司開(kāi)發(fā)的數(shù)學(xué)軟件，可以用于解決各種領(lǐng)域的復(fù)雜的符號(hào)計(jì)算和數(shù)值計(jì)算的問(wèn)題。用Mathematica可以很方便地畫(huà)出用各種方式表示的一元或二元函數(shù)的圖形，通過(guò)這樣的圖形，我們可以立即形象地把握住函數(shù)的某些特性，而這些特性一般很難從函數(shù)的符號(hào)表達(dá)式中看清楚。①

電磁場(chǎng)理論中的鏡像法是求解靜電場(chǎng)問(wèn)題的一種簡(jiǎn)單形象而行之有效方法，它使某些看起來(lái)棘手的問(wèn)題很容易得到解決。經(jīng)過(guò)多年的教學(xué)實(shí)踐，我們發(fā)現(xiàn)，雖然對(duì)于某些問(wèn)題用鏡像法求解很簡(jiǎn)單，但是學(xué)生有時(shí)不理解，甚至懷疑。一般的教材只對(duì)一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題有圖示說(shuō)明，往往不夠形象直觀，也不便在多媒體中展示。把Mathematica應(yīng)用到教學(xué)中，對(duì)鏡像法的各種問(wèn)題我們都可以方便用平面或立體圖形給出電位電場(chǎng)的分布，而且可以從多個(gè)角度觀察，并且隨時(shí)變換。下面針對(duì)鏡像法的一些典型問(wèn)題，給大家介紹如何應(yīng)用Mathematica，主要介紹如何由電位求出電場(chǎng)以及畫(huà)出電位電場(chǎng)場(chǎng)圖。

1 點(diǎn)電荷和導(dǎo)體平面

一點(diǎn)電荷位于接地?zé)o限大平面導(dǎo)體的上方，分析無(wú)限大平面導(dǎo)體上方的電場(chǎng)及導(dǎo)體上感應(yīng)電荷的分布情況。

建立圓柱坐標(biāo)系，點(diǎn)電荷位于（0，，），平面導(dǎo)體位于 = 0的平面，則>0的區(qū)域內(nèi)任一觀察點(diǎn)（，，）的電位函數(shù)為：

利用Mathematica軟件對(duì)電位函數(shù)算梯度，求出電場(chǎng)：

輸出結(jié)果為：

導(dǎo)體表面的感應(yīng)電荷密度為：

利用Plot函數(shù)，令 = 1，畫(huà)出電位、電場(chǎng)及導(dǎo)體表面的電荷分布的變化圖（圖1、圖2）。

令，則導(dǎo)體表面的電荷密度為（圖3）：

圖1 電位場(chǎng)圖

圖2 電場(chǎng)場(chǎng)圖

圖3 電荷面密度分布圖

2 點(diǎn)電荷和導(dǎo)體球

一點(diǎn)電荷位于導(dǎo)體球附近，分析導(dǎo)體球接地情況下導(dǎo)體球附近的電場(chǎng)及導(dǎo)體球上感應(yīng)電荷的分布情況。

建立球坐標(biāo)系，導(dǎo)體球球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)電荷距球心的距離為。球外任一點(diǎn)的電位為：

用Mathematica轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)的表達(dá)式，并利用計(jì)算電場(chǎng)的表達(dá)式，用plot函數(shù)得到電位、電場(chǎng)的分布變化圖（圖4、圖5）：

圖4 電位場(chǎng)圖

圖5 電場(chǎng)場(chǎng)圖

3 兩平行導(dǎo)體圓柱

兩無(wú)限長(zhǎng)圓柱導(dǎo)體，分析圓柱體外電場(chǎng)和電位的分布情況。

建立直角坐標(biāo)系，確定電軸位置，兩電軸相距，圓柱外任一點(diǎn)的電位為，用Mathematica求出磁場(chǎng)，并畫(huà)出電軸外的電位和電場(chǎng)（圖6、圖7）：

圖6 電位場(chǎng)圖

圖7 電場(chǎng)場(chǎng)圖

4 小結(jié)

通過(guò)使用Mathematica數(shù)學(xué)軟件，我們的課堂變得活撥生動(dòng)起來(lái)，學(xué)生更容易理解也更感興趣。Mathematica主要可以做數(shù)值計(jì)算、符號(hào)運(yùn)算和圖像處理三項(xiàng)工作，把強(qiáng)大的圖像處理功能運(yùn)用到鏡像法的教學(xué)中，增加了學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)，解決了電磁場(chǎng)看不見(jiàn)摸不著難于理解的問(wèn)題。

注釋

① 杜建明.Mathematica在電磁場(chǎng)理論中的應(yīng)用[M].合肥工業(yè)大學(xué)出版社，2004.