王君梅

已知平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)，在平面上找出符合某些條件的另一個(gè)點(diǎn)，使得以這三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形.在中考中常作為選擇題、填空題或解答題的壓軸題.由于第三點(diǎn)的圖形未知，一些同學(xué)感到難以下手，還有一些同學(xué)能做到答案，不過答案不完整，究其原因，實(shí)質(zhì)是未能掌握解決問題的一般方法，從而出現(xiàn)錯(cuò)解與漏解.其實(shí)，在解這類題目時(shí)，關(guān)鍵是要分情況討論已知線段可能是所求等腰三角形的底也可能是它的腰.為了幫助學(xué)生掌握這一題型的特征和解法，本文篩選了幾道例題（或其變式題），對其類型與解法予以剖析，供參考.

例1：在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A（1，1），在x軸上確定一點(diǎn)P，使△AOP為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P共有（ ）

A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)

分析：此題應(yīng)該分情況討論.以O(shè)A為腰或底分別討論.

解答：（1）若AO作為腰時(shí)，有兩種情況，

①當(dāng)A是頂角頂點(diǎn)時(shí)，P是以A為圓心，以O(shè)A為半徑的圓與x軸的交點(diǎn)，共有1個(gè)，若OA是底邊時(shí)，P是OA的中垂線與x軸的交點(diǎn)，有1個(gè)

②當(dāng)O是頂角頂點(diǎn)時(shí)，P是以O(shè)為圓心，以O(shè)A為半徑的圓與x軸的交點(diǎn)，有1個(gè)；

（2）若OA是底邊時(shí)，P是OA的中垂線與x軸的交點(diǎn)，有1個(gè).

以上4個(gè)交點(diǎn)沒有重合的.故符合條件的點(diǎn)有4個(gè).

故選：A.

點(diǎn)評：此題主要考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)及等腰三角形的判定；對于底和腰不等的等腰三角形，若條件中沒有明確哪邊是底哪邊是腰時(shí)，應(yīng)在符合三角形三邊關(guān)系的前提下分類討論.

變式1：本題若在x軸上確定一點(diǎn)P改成在y軸上確定一點(diǎn)P ， 符合條件的點(diǎn)P共有幾個(gè)？

解答：方法同上，有四個(gè).

變式2：本題若在x軸上確定一點(diǎn)P改成在坐標(biāo)軸上確定一點(diǎn)P ， 符合條件的點(diǎn)P又有幾個(gè)？

解答：方法同上，有八個(gè).

變式3：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（2，0）、（2，4），點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上，△ABP是等腰三角形，符合條件的點(diǎn)P共有 個(gè).

解答：由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)可得到AB⊥x軸，AB=4，然后分類討論：若AP=AB，滿足△ABP是等腰三角形的P點(diǎn)有4個(gè)；

若BP=AB滿足△ABP是等腰三角形的P點(diǎn)有2個(gè)；若PA=PB，滿足△ABP是等腰三角形的P點(diǎn)有1個(gè).

所以點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上，△ABP是等腰三角形，符合條件的點(diǎn)P共有 7個(gè).

故答案為7.

變式4：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3）、點(diǎn)P為坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，則以A、B、P為頂點(diǎn)的等腰三角形有 個(gè).

解答：建立平面直角坐標(biāo)系，在平面直角坐標(biāo)系中，作出點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)P為坐標(biāo)上的點(diǎn)，連接AB，如圖，以AB為腰的三角形有4個(gè)，分別是△ABP1，△ABP2，△ABP3，△ABP4；以AB為底的三角形有兩個(gè)，分別是△ABP5，△ABP6.

因此，以點(diǎn)A、B、P為頂點(diǎn)的等腰三角形共有6個(gè).

故填6.

例2：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，0），在直線y= x上取點(diǎn)P，使△OPA是等腰三角形，求所有滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo).

分析：根據(jù)等腰三角形的腰長不明確，所以分①OP=OA，②AP=OA，③線段OA的垂直平分線與直線的交點(diǎn)，三種情況進(jìn)行討論求解.

點(diǎn)評：本題考查了正比例函數(shù)圖形的性質(zhì)與等腰三角形的判定，根據(jù)腰長的不確定性，注意分情況進(jìn)行討論.

例3：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，4），點(diǎn)P為BC上動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△POA為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為 .

分析：當(dāng)PA=PO時(shí)，根據(jù)P在OA的垂直平分線上，得到P的坐標(biāo)；當(dāng)OP=OA=5時(shí)，由勾股定理求出CP即可；當(dāng)AP=AO=5時(shí)，同理求出BP、CP，即可得出P的坐標(biāo).

解答：當(dāng)PA=PO時(shí)，P在OA的垂直平分線上，P的坐標(biāo)是（2.5，4）；

當(dāng)OP=OA=5時(shí)，由勾股定理得：CP= =3，

P的坐標(biāo)是（3，4）；

當(dāng)AP=AO=5時(shí)，同理BP=3，CP=5﹣3=2，

P的坐標(biāo)是（2，4）.

故答案為：（2.5，4），（3，4），（2，4）.

點(diǎn)評：本題主要考查對矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)等知識點(diǎn)的理解和掌握，能求出所有符合條件的P的坐標(biāo)是解此題的關(guān)鍵.