伍 艷，白 林

(成都理工大學(xué) 數(shù)學(xué)地質(zhì)四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610059)

0 引 言

ArcGIS 是目前世界具有代表性的地理信息系統(tǒng)，其空間校正工具被廣泛用于原始數(shù)據(jù)的粗加工、圖形的修正、坐標(biāo)的簡(jiǎn)單轉(zhuǎn)換等.通常采用SHAPE文件格式將地理空間資料以坐標(biāo)點(diǎn)串的形式存儲(chǔ)起來(lái)，幾乎所有的GIS 軟件都支持對(duì)它的轉(zhuǎn)換甚至支持對(duì)其直接進(jìn)行讀寫(xiě)操作，是現(xiàn)今GIS 界的一種標(biāo)準(zhǔn)格式，因此對(duì)通用的數(shù)據(jù)格式的校正是十分必要的［1］.

ArcGIS 是目前廣泛用于地質(zhì)數(shù)據(jù)處理的信息系統(tǒng)，其空間校正多用于地圖數(shù)字化，不同紙質(zhì)地圖和影像地圖的數(shù)字化多采用空間校正.空間校正中的射影校正多用于圖像配準(zhǔn)［2］，ArcGIS 中的空間校正模塊是多維數(shù)學(xué)模型，可對(duì)地質(zhì)圖、紙質(zhì)圖、影像圖進(jìn)行配準(zhǔn)，本研究選用的是二維空間校正模型，從空間校正的通用數(shù)學(xué)理論來(lái)比較3 種常用空間校正的特征.

1 空間校正算法模型對(duì)比分析

計(jì)算機(jī)科學(xué)研究的圖像是真實(shí)世界(即二維或三維歐氏空間)到像平面的射影變換.如何提取真實(shí)世界的信息十分重要.若要在像平面中確定l∞的像，可以將射影變換變成仿射變換，消除射影變換的變形;一旦確認(rèn)虛圓點(diǎn)，仿射變換就可以恢復(fù)到相似變換，消除仿射變形.對(duì)于余下相似變形，需要用真實(shí)世界的測(cè)量和度量單位消除.3 種變換關(guān)系如圖1所示.

圖1 空間校正關(guān)系圖

E1:射影變換到仿射變換

在射影變換下，無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)可以映射為有限點(diǎn)，因此l∞可以被映射為有限直線.在仿射變換下，l∞不會(huì)被映射為有限直線，仍留在無(wú)窮遠(yuǎn)處，即仿射變換保持直線的平行性，推出如下模型［3］，

即仿射變換是保持l∞不變的射影變換，H 是射影變換，A 是射影變換矩陣.

E2:射影變換到相似變換［4］

在相似變換下，l∞上有2 個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，為虛圓點(diǎn)(也稱絕對(duì)點(diǎn))，記為I，J，其標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)表示為，

這一對(duì)虛圓點(diǎn)是復(fù)共軛理想點(diǎn)，在保持相似變換方向不變的情況下，模型如下，

即在射影變換H 下，虛圓點(diǎn)I 和J 為不動(dòng)點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)H 為相似變換.

E3:仿射變換到相似變換

仿射變換又稱仿射映射，是指在幾何中，一個(gè)向量空間進(jìn)行一次線性變換并接上一個(gè)平移，變換為另一個(gè)向量空間.常用二維數(shù)學(xué)模型為，

式中，a11、a12、a21、a22為4 個(gè)基本比例參數(shù)，b1、b2為2 個(gè)平移配準(zhǔn)參數(shù)，x、y 為原變量，x'、y'是目標(biāo)值.通常采用的6 參數(shù)模型利用模型計(jì)算配準(zhǔn)參數(shù)，用最小二乘法達(dá)到用多個(gè)配準(zhǔn)點(diǎn)擬合出最優(yōu)參數(shù)解得目標(biāo)值.

仿射變換可以簡(jiǎn)化為相似變換，即經(jīng)過(guò)坐標(biāo)系的平移、旋轉(zhuǎn)和比例變換實(shí)現(xiàn)，其數(shù)學(xué)模型為，

相似變換至少需要2 個(gè)定向點(diǎn)，才能求解出4個(gè)參數(shù).為了減少誤差影響，探測(cè)粗差，應(yīng)選擇m ≥2 個(gè)已知點(diǎn)，就會(huì)產(chǎn)生不符值.可按最小二乘法求解上式中的系數(shù).

對(duì)于仿射變換到相似變換，參數(shù)得到簡(jiǎn)化，模型變得更簡(jiǎn)單.

綜上所述，射影變換、仿射變換、相似變換滿足一定條件下可以相互轉(zhuǎn)換，并且射影變換是三者中最為復(fù)雜、相對(duì)運(yùn)用最廣的模型.射影校正可以是多維的數(shù)學(xué)模型，其二維數(shù)學(xué)模型為，

式中，a1、b1、d、e 和a2、b2、d、e 為2 組4 個(gè)基本比例參數(shù)，c、f 為2 個(gè)平移配準(zhǔn)參數(shù)，x、y 為原變量，x'、y' 是目標(biāo)值.射影校正至少需要4 個(gè)位移關(guān)聯(lián)才可求得參數(shù).

射影變換可以分解為仿射變換、相似變換、射影變換的組合［5－6］，其方式為，

式中，A = sRK + tvT/v 是非奇異矩陣，K 是滿足detK= 1 的歸一化上三角矩陣.當(dāng)v ≠0，分解成立，取s為正，分解唯一.

矩陣HS、HA、HP分別是相似變換、仿射變換和射影變換.HP移動(dòng)無(wú)窮遠(yuǎn)直線，HA改變仿射性質(zhì)，但保持無(wú)窮遠(yuǎn)直線在無(wú)窮遠(yuǎn)處.HS是一般相似變換，它不改變仿射及射影性質(zhì)，變換HP屬于透視變換.對(duì)射影變換，有2 個(gè)約束，就可以消除射影變形，有4個(gè)約束消除仿射變形.在二維平面空間校正中，射影變換在4 個(gè)約束下，是3 種變換中最佳選擇.

2 實(shí)驗(yàn)分析

本研究選取的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為道路(road)和設(shè)計(jì)(design)2 個(gè)圖層，將設(shè)計(jì)圖層通過(guò)空間校正方法校正到道路中去.建立空間校正的鏈接文件，提取需要校正的圖層的校正點(diǎn)坐標(biāo)位置及目標(biāo)圖層的校正點(diǎn)坐標(biāo)位置，形成.txt文本文檔，如圖2 所示.

圖2 原始實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

通過(guò)運(yùn)用3 種空間校正的方法依次對(duì)原始數(shù)據(jù)圖層進(jìn)行校正，選擇拐點(diǎn)等標(biāo)志性位置得出校正結(jié)果如圖3 所示.通過(guò)直接比較，無(wú)法看出圖形之間的誤差，通過(guò)對(duì)校正結(jié)果進(jìn)行誤差分析，得出表1 和表2 的實(shí)驗(yàn)結(jié)果.

圖3 3 種空間變換校正結(jié)果

根據(jù)空間校正3 種數(shù)學(xué)模型，選取4 個(gè)位移連接，用最小二乘法進(jìn)行參數(shù)求解，求得空間校正3 種模型的誤差精度［7］.

表1 參數(shù)誤差精度

坐標(biāo)校正參數(shù)求解后，在目標(biāo)圖層上選擇3 個(gè)要素點(diǎn)(x'a，y'a)、(x'b，y'b)和(x'c，y'c)分別帶入式(1)、(2)、(3)，可得仿射變換、相似變換、射影變換的坐標(biāo)值，即(xa，ya)、(xb，yb)和(xc，yc).這樣需要校正的原始圖層校正點(diǎn)就有4 種坐標(biāo)值，即(x，y)、(xa，ya)、(xb，yb)和(xc，yc).以(x，y)為真值，可以得到仿射變換、相似變換、射影變換的真誤差，分別用△xa、△ya、△xb、△yb和△xc、△yc表示，即△xi= xi－ x(i = a，b，c)，點(diǎn)位誤差為，

得出每次校正中的誤差計(jì)算式如式(5)，n 為點(diǎn)的個(gè)數(shù)，結(jié)果見(jiàn)表2.

表2 校正精度誤差

通過(guò)表1 和表2 的2 組數(shù)據(jù)，繪制空間校正的誤差分布圖，如圖4 所示.

圖4 空間校正誤差分布圖

由圖4 可知，射影變換的誤差走勢(shì)趨于平緩，而仿射變換的誤差變化最大，由于選取的是二維笛卡爾坐標(biāo)系，對(duì)于相似變換優(yōu)于仿射變換，選取的校正點(diǎn)多為拐角、折線交點(diǎn)，因此，射影變換優(yōu)于仿射變換和相似變換［8］.

相對(duì)于仿射變換，相似變換不會(huì)對(duì)于軸單獨(dú)縮放，對(duì)于一般地圖矢量數(shù)據(jù)，采用笛卡爾直角坐標(biāo)系，因此，對(duì)于通用坐標(biāo)系下，橫縱軸的坐標(biāo)不會(huì)改變，相似變換雖然是仿射變換的特例，卻是在保持要素的相對(duì)形狀下，優(yōu)先選擇相似變換.

對(duì)于選取的design 圖層到roadcenter 的校正，屬于二維矢量數(shù)據(jù)的校正.選取的點(diǎn)都是折線交點(diǎn)，因此，對(duì)于保持變換前后的不連續(xù)性，射影變換的RMS 誤差是最小的.

3 結(jié) 論

地質(zhì)工作中數(shù)據(jù)的后期處理非常重要，尤其數(shù)據(jù)不全紙質(zhì)檔案及圖片影像等，對(duì)于空間校正的準(zhǔn)確度要求非常高.對(duì)此，本研究比較了3 種常用的校正方法，希望能夠?qū)?shù)據(jù)的校正提供更精確的指導(dǎo)，為后續(xù)工作減少誤差.

本研究討論了仿射變換、相似變換、射影變換.從廣義的角度來(lái)說(shuō)，3 種變換方法都是線性變換，只是參數(shù)、精度及適用范圍不同.對(duì)于仿射變換，保留原始圖層的平行線、平行線段的長(zhǎng)度比、面積比不變.相似變換適用于常用的直角坐標(biāo)系中變換，保持要素的相對(duì)形狀條件下，避免圖層的扭曲.由于二維矢量數(shù)據(jù)的校正，選取的點(diǎn)都是折線交點(diǎn)，對(duì)于保持圖層變換前后的不連續(xù)性，射影變換具有優(yōu)勢(shì).

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