李婷，馬吉恩，李興林，何詞，方攸同

(1.浙江大學(xué)，杭州 310027；2.杭州軸承試驗研究中心有限公司，杭州 310022)

磁流體軸承是20世紀(jì)60年代配合核動力技術(shù)而發(fā)展起來的新型軸承。相比普通滑動軸承，磁流體潤滑滑動軸承以同時具有流體以及磁性材料相類似特性的磁流體為潤滑介質(zhì)，在外加磁場作用下，其流變性與空間形態(tài)能夠被控制，接觸區(qū)的潤滑狀態(tài)穩(wěn)定，不會出現(xiàn)干摩擦，具有密封性好、端泄少、振動低、噪聲小、發(fā)熱少、承載能力大、無需額外的供油系統(tǒng)等一系列優(yōu)點，尤其適用于某些具有特殊要求的場合，例如密封要求嚴(yán)格，甚至要求零泄漏的工況；無法提供龐大供油系統(tǒng)的工況等，具有廣闊的應(yīng)用前景[1-6]。

下文基于有限差分法，借助MATLAB軟件求解了穩(wěn)定工況下磁流體潤滑滑動軸承的潤滑膜應(yīng)力分布，得到了軸頸穩(wěn)定狀態(tài)時的偏位角，并運用解析法對求解過程進行了簡化，從而將差分法求解Reynolds方程的復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為求解二次積分。對比2種算法的結(jié)果，驗證了解析法簡化的可行性。在此基礎(chǔ)上進一步討論了不同軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)對潤滑膜承載力分布規(guī)律的影響。

1 磁流體軸承的原理及特點

所謂磁流體潤滑滑動軸承，就是以加入了磁性固體顆粒的載液(即磁流體)作為潤滑介質(zhì)進行潤滑的軸承。填充間隙的磁流體材料由直徑為納米級的磁性固體顆粒、基液和表面活性劑組成。由于加入到摩擦副中的磁性固體顆粒大小只有5～10 nm，遠(yuǎn)小于表面粗糙度值，故一般不會引起磨損[3]。載液在實現(xiàn)與普通潤滑油相同潤滑效果的同時，通過磁性固體顆?？梢允?jié)櫥瑒┑膽腋》€(wěn)定性得到改善[4-5]。

與傳統(tǒng)軸承相比，該軸承具有以下特性：1)在外加磁場的影響下，磁性固體顆粒表面有特殊液態(tài)膜的保護，故潤滑狀態(tài)更穩(wěn)定，可以防止端泄以及外界污染物進入到軸承間隙中，能夠起到自潤滑密封的作用，具有良好的密封性能；2)磁流體潤滑能夠提供平穩(wěn)的低摩擦潤滑，且具有良好的可控性，因而振動小;3)磁流體潤滑的摩擦因數(shù)小，故發(fā)熱少，可用于高溫、高速工況；4)由于磁場的存在，軸承承載能力更大；5)在強磁場、低偏心情況下甚至能做到零泄漏，減少潤滑液端泄的同時簡化了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，降低了軸承的維護費用，顯著延長了軸承使用壽命[6-7]。

磁流體潤滑滑動軸承需要在外加磁場的作用下才能正常工作，一般采用永磁體或直流勵磁來激發(fā)磁場。永磁體產(chǎn)生磁場較穩(wěn)定，磁力線形狀規(guī)則，缺點是磁場不能變化；載流導(dǎo)體勵磁的磁流體軸承，可以改變磁場強度及磁流體的分布，但不足是存在銅損，二者互有優(yōu)劣[8]。文中主要研究直流勵磁磁流體軸承，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 直流勵磁磁流體軸承結(jié)構(gòu)

2 磁流體軸承軸心位置的確定

對于磁流體滑動軸承而言，穩(wěn)定工況下軸頸的旋轉(zhuǎn)會將潤滑油不斷帶入到收斂間隙而產(chǎn)生流體動壓潤滑，當(dāng)潤滑膜應(yīng)力的合力與外部載荷平衡時，軸頸就停留在某一個固定位置，在不發(fā)生干摩擦的狀態(tài)下穩(wěn)定運轉(zhuǎn)，其平衡位置偏于一側(cè)[9]，如圖2所示。

圖2 軸心位置示意圖

軸頸的平衡位置可以通過偏位角ψ和偏心率ε來確定。其中，偏位角ψ為軸頸與軸承連心線 與載荷W作用線之間的夾角。而偏心率ε=e/c，為偏心距e與半徑間隙c=R1-R2的比值。

3 潤滑膜應(yīng)力分布計算

3.1 數(shù)值計算方法

對于不可壓穩(wěn)態(tài)徑向滑動軸承，量綱一化的Reynolds方程為[9]

(1)

α=(R2/b)2，

Z=z/b，

式中：H為軸承間隙函數(shù);P為應(yīng)力函數(shù)；μ為磁流體黏度；ω0為軸頸轉(zhuǎn)速；R2為軸頸半徑；b為軸承寬度。

規(guī)定應(yīng)力分布的Reynolds邊界條件為

軸向方向P|Z=±1/2=0，

(2)

圓周方向

(3)

Reynolds邊界方程中規(guī)定了應(yīng)力的起點、終點與終點上的應(yīng)力梯度，將發(fā)散間隙中的油膜應(yīng)力規(guī)定為0，即不考慮油膜破裂或者產(chǎn)生負(fù)壓的情況，滿足了流體不能承受拉力和連續(xù)流動的條件，較為合理[9]。

迭代中，對P<0的節(jié)點令P=0，最終確定潤滑膜終點位置。

對(1)式應(yīng)用等距差分公式得

(4)

此時的邊界條件為：

2)圓周方向，起始應(yīng)力邊界條件為P1,j=0；終止邊界條件應(yīng)同時滿足Pi,j=0及 ?P/?θ=0。迭代中，對Pi,j<0的節(jié)點令Pi,j=0，最終確定潤滑膜終點位置。

迭代計算中，采用松弛法對各個節(jié)點應(yīng)力p進行修正，潤滑膜應(yīng)力P迭代終點為各節(jié)點應(yīng)力代數(shù)和的變化率不小于精度系數(shù)[ε1]。當(dāng)求出一組符合要求的應(yīng)力分布后，求出軸向力和周向力，對偏位角和偏心率進行迭代，迭代終點為油膜合力F與承載力W的差小于相應(yīng)精度系數(shù)[ε2]。迭代過程對應(yīng)公式為

(5)

按照上述理論，運用MATLAB軟件編程，計算軸承寬度b=23 mm、軸頸半徑R2=35.5 mm、半徑間隙c=50 μm、軸頸轉(zhuǎn)速ω=3 000 r/min、偏心率ε=0.5工況下的磁流體軸承潤滑膜應(yīng)力分布、潤滑膜厚度分布，結(jié)果如圖3、圖4所示。從而得到軸頸穩(wěn)定時的偏位角為56°。

圖3 P隨軸瓦旋轉(zhuǎn)角及軸向長度的變化規(guī)律

圖4 H隨軸瓦旋轉(zhuǎn)角以及軸向長度的變化規(guī)律

利用有限差分法計算潤滑膜應(yīng)力分布具有很高的精度，能夠準(zhǔn)確地反映潤滑膜的應(yīng)力情況。但是該方法計算量大，耗時長，對計算機性能要求高。為此運用解析法對求解過程進行簡化，從而將差分法求解Reynolds方程的復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為求解二次積分。

3.2 解析計算方法

用解析法求解潤滑膜應(yīng)力和偏位角，即從無限寬軸承的應(yīng)力函數(shù)出發(fā)，結(jié)合Reynolds方程和相應(yīng)的邊界條件，采用近似算法得出一定精度范圍內(nèi)的解。

在無限寬徑向滑動軸承中，潤滑液在寬度方向不存在流動，且沿該方向的應(yīng)力梯度也為0，故Reynolds微分方程可簡化為[10]

(6)

間隙函數(shù)H與應(yīng)力函數(shù)P在此處僅取決于單一變量θ，故積分后可得常微分方程

(7)

為確定積分常數(shù)C1，假定應(yīng)力分布曲線P(θ)在一定位置H0=H(θ0)處的應(yīng)力梯度為0，即

(8)

(9)

根據(jù)文獻[10]中提到的索氏變換積分得到應(yīng)力函數(shù)為

(10)

對于有限寬軸承來說，上述解的實際應(yīng)用會受到限制，即使降低了精度，也只適用于寬徑比大于4的軸承。常用的辦法是從無限寬軸承的應(yīng)力函數(shù)出發(fā)，采用近似關(guān)系

(11)

在軸承的中央處，應(yīng)力分布曲線除了具有一個與寬徑比有關(guān)的降低系數(shù)qB/D外，基本與無限寬軸承的應(yīng)力分布曲線相似，沿寬度方向則補充一個拋物線應(yīng)力分布。確定降低系數(shù)q要用到變分學(xué)中最小值原理，即求解Euler方程。這種方法從物理概念上解釋了極值原理，即潤滑液在無壓力下從軸承邊緣流出的流量必定等于被擠壓的體積。

根據(jù)Reynolds邊界條件，在應(yīng)力分布曲線終點θ0和x0處，應(yīng)力及應(yīng)力梯度應(yīng)為0。故可令(10)式中x=x0，整理得

(12)

變換后，可得應(yīng)力曲線終點x0的方程為

ε(sinx0cosx0-x0)+2(sinx0-x0cosx0)=0。

(13)

用MATLAB軟件數(shù)值法求解該超越方程，可求得應(yīng)力終點位置為3.83 rad，即220°。

在此基礎(chǔ)上，根據(jù)

(14)

可得軸承寬度b=23 mm、軸承半徑R=35.5 mm、半徑間隙c=50 μm、軸頸轉(zhuǎn)速ω=3 000 r/min、偏心率ε=0.5工況下磁流體軸承軸頸穩(wěn)定時的偏位角ψ為1.02 rad(58.3°)。磁流體軸承潤滑膜應(yīng)力分布情況如圖5所示。

圖5 P隨軸瓦旋轉(zhuǎn)角以及軸向長度變化圖

對比2種方法的計算結(jié)果可知，二者計算得到的潤滑膜應(yīng)力分布規(guī)律一致，峰值大小相差約6%～7%，偏位角相差約4%，但解析法更為簡單，計算量更小，對計算機性能要求不高，用于精度要求不高的場合具有突出優(yōu)勢。

4 軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)對潤滑膜應(yīng)力和承載力的影響

在上述計算結(jié)果的基礎(chǔ)上，根據(jù)

(15)

可求得軸承承載能力。為了進一步闡明軸承潤滑膜承載能力受軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)的影響，運用MATLAB軟件對不同轉(zhuǎn)速、偏心率和間隙比情況下的磁軸承潤滑膜應(yīng)力進行了計算，結(jié)果如圖6～圖8所示。

圖6 不同轉(zhuǎn)速下潤滑膜應(yīng)力分布圖

圖6中取偏心率ε=0.5，間隙比λ=1.41‰。由圖可知，當(dāng)軸承偏心率和間隙比保持不變時，潤滑膜應(yīng)力值隨轉(zhuǎn)速的增加而增大，潤滑膜應(yīng)力最大值所對應(yīng)角度不變。圖7中取轉(zhuǎn)速ω=3 000 r/min，間隙比λ=1.41‰?？芍?，當(dāng)軸承轉(zhuǎn)速和間隙比保持不變時，增大偏心率會使?jié)櫥?yīng)力值也相應(yīng)增大，且偏心率越大潤滑膜應(yīng)力隨軸瓦旋轉(zhuǎn)角的變化率也隨之增大，潤滑膜應(yīng)力最大值位置隨偏心率增大逐步向最小膜厚位置靠近。圖8中取轉(zhuǎn)速ω=3 000 r/min，偏心率為ε= 0.5?？梢钥吹剑?dāng)軸承轉(zhuǎn)速和偏心率保持不變時，間隙比越小軸承潤滑膜應(yīng)力越大，且應(yīng)力最大值位置保持不變。

圖7 不同偏心率下潤滑膜應(yīng)力分布圖

圖8 不同間隙比下潤滑膜應(yīng)力分布圖

軸承承載能力隨長徑比以及間隙比的變化規(guī)律分別如圖9、圖10所示。圖9中取間隙比λ=1.41‰，轉(zhuǎn)速ω= 3 000 r/min。可見，軸承承載能力隨長徑比增加而增大，且在ε<0.6的情況下，軸承長徑比對其承載能力的影響較小，ε>0.6時，承載能力隨長徑比增加而顯著增大。圖10中取長徑比為0.324，轉(zhuǎn)速ω=3 000 r/min。可以看到，承載能力隨間隙比增加而減小，當(dāng)ε<0.6時軸承間隙比對承載能力的影響較??；但當(dāng)ε>0.6時，承載能力隨間隙比增大而顯著減小。

圖9 承載能力隨長徑比及偏心率的變化圖

圖10 承載能力隨間隙比及偏心率的變化圖

5 結(jié)論

1)運用解析法將差分法求解Reynolds方程的復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為求解二次積分。二者計算結(jié)果綜合偏差約為5%。在要求精度不高的前提下，可以使用解析法的結(jié)果作為近似解。潤滑膜應(yīng)力的精確解只能使用差分法求解。

2)差分法的計算量較大，可考慮對差分法做進一步的優(yōu)化。比如對應(yīng)力峰值附近使用較小的步長，以提高最小膜厚附近的精度，其余位置使用較大的步長，以降低計算量。

3)當(dāng)轉(zhuǎn)速逐漸增大時，潤滑膜應(yīng)力最大值增大速度加快，但其所對應(yīng)的角度不變。

4)在大偏心率情況下，潤滑膜應(yīng)力以及承載能力隨長徑比增加而增大，隨間隙比的增大而減小，小偏心率情況下長徑比和間隙比的影響較小。