鮑林云,周尚波,虞繼敏,趙　麗（重慶郵電大學(xué)自動化學(xué)院,重慶　400065）

蔡氏電路的混沌仿真研究

鮑林云,周尚波,虞繼敏,趙麗
（重慶郵電大學(xué)自動化學(xué)院,重慶400065）

摘要：蔡氏電路是能產(chǎn)生混沌現(xiàn)象的典型且最簡單三階自治電路。該文通過對該非線性電路建立數(shù)學(xué)模型，解釋了產(chǎn)生混沌現(xiàn)象的原因，由李雅普諾夫指數(shù)分析了系統(tǒng)的動力學(xué)行為，從理論分析和Mat lab仿真兩個方面分別進行了研究。結(jié)果表明，在一定條件下蔡氏電路能夠產(chǎn)生雙渦旋混沌吸引子，混沌行為復(fù)雜，從而理論分析在仿真實驗中得到了證實。

關(guān)鍵詞：蔡氏電路；李雅普諾夫指數(shù)；混沌

1　引言

物理、化學(xué)、生物學(xué)，以及社會講科學(xué)等等各個學(xué)科領(lǐng)域中都有混沌現(xiàn)象。作為一種普遍存在的非線性現(xiàn)象，今年來許多專家和學(xué)者對非線性電路的混沌行為進行了廣泛研究[1-6]，其中最典型的是由美國Berkeley大學(xué)的Leon.O.Chua提出的蔡氏電路（Chua’sCircuit），它是能產(chǎn)生混沌行為的最小、最簡單的三階自治電路[7]，其非線性動力學(xué)行為復(fù)雜豐富，這使得該混沌電路有可能在更廣的領(lǐng)域得到應(yīng)用，如混沌保密通信技術(shù)，傳感器應(yīng)用，混沌擴頻通信技術(shù)等?；谶@些特點，對蔡氏電路的討論和研究也有較高的實踐意義。

2　蔡氏電路模型

一般自治動力系統(tǒng)產(chǎn)生混沌現(xiàn)象需要具備一定的條件：系統(tǒng)至少有三個狀態(tài)變量，并且存在一定的非線性環(huán)節(jié)[8]。蔡氏電路使用三個儲能元件（電感L、兩個電容C1和C2）和一個非線性電阻NR，電路如圖1所示。

由Kirchhoff電流定律（KCL）和K irchhoff電壓定律（KVL），可推出圖1電路的狀態(tài)方程為：

其中，VC1為電容C1兩端的電壓，VC2為電容C2兩端的電壓，iL為通過電感L的電流，i(VC1)為非線性電阻NR的伏安特性函數(shù)：

非線性電阻NR是分段線性的蔡氏二極管，是核心元件，它由兩個非線性電阻RN1與RN2并聯(lián)構(gòu)成，每個非線性電阻又分別由1個運算放大器和3個電阻組成，兩個非線性電阻及其伏安特性如圖2所示。

當(dāng)適當(dāng)選取電阻的參數(shù)值，使E2＞＞E1，同時也使E2遠大于蔡氏電路正常工作時|VC 1|的變化范圍，則在電路工作范圍內(nèi)，RN 2是一個線性負電阻，RN1與RN2并聯(lián)后可實現(xiàn)非線性電阻NR的伏安特性，其中

3　蔡氏電路動力學(xué)系統(tǒng)的平衡點分析

將式（3）化成線性方程：

中，都有唯一的平衡點：

對非線性動力學(xué)系統(tǒng)來說，從相空間的角度來分析問題，耗散系統(tǒng)的一個重要特征就是在系統(tǒng)的演化過程體積收縮。

4　蔡氏電路動力學(xué)系統(tǒng)的Matlab仿真

通過計算，其李雅普諾夫指數(shù)譜如圖3所示。

由系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)譜圖分析可得，在一定區(qū)域內(nèi)，第一個李雅普諾夫指數(shù)，為正值，說明其混沌吸引子的相鄰軌線之間呈現(xiàn)出以正指數(shù)率彼此互相排斥的特性；另外兩個李雅普諾夫指數(shù)λL2、λL3均為負值，說明其混沌吸引子的相鄰軌線之間呈現(xiàn)出以負指數(shù)率互相收縮折疊的特性。在系統(tǒng)動力學(xué)行為的演化過程中，由于李雅普諾夫指數(shù)值具有正值與負值的性質(zhì)，導(dǎo)致系統(tǒng)的軌跡在相空間不斷伸展與折疊，從而系統(tǒng)相圖才形成了奇怪吸引子。該三維非線性自治混沌動力學(xué)系統(tǒng)的李雅普諾夫維數(shù)是分數(shù)維數(shù)，其維數(shù)為：

其中x-y、x-z、y-z以及x-y-z的二維相平面圖是三維相平面圖在對應(yīng)坐標軸上的投影。而這個三維非線性自治混沌動力學(xué)系統(tǒng)的時域波形如圖5所示，其時域波形是非周期的，不可預(yù)測的，或者說其時域波形的周期是無窮大。

5　結(jié)束語

通過仿真和數(shù)值計算結(jié)果表明，在一定的參數(shù)和初值條件下，蔡氏電路的結(jié)構(gòu)雖然簡單，卻有著豐富復(fù)雜的混沌動力學(xué)特征，在相同的混沌行為預(yù)期下，仿真實驗與真實實驗的參數(shù)范圍可能存在一些差別，但是總體而言，仿真實驗與真實實驗有較好的對等性，而且仿真實驗更能預(yù)判混沌行為，更準確地觀測到混沌吸引子的行為特征。隨著對蔡氏電路的深入研究，其必將在保密通信，災(zāi)害預(yù)測，電力系統(tǒng)，傳感器應(yīng)用等諸多領(lǐng)域等到更加廣泛的應(yīng)用。

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作者簡介：鮑林云(1990-)，男，福建永泰人，碩士研究生，研究方向：非線性控制系統(tǒng)、混沌及保密通信。