吳方伯等

摘要：針對傳統(tǒng)有限元分析的復(fù)雜性以及裂縫描述不準(zhǔn)確等缺點，從空間應(yīng)力單元出發(fā)，結(jié)合平面等效桁架單元的研究方法，提出了一種空間等效桁架單元；基于空間等效桁架單元和空間應(yīng)力單元剛度等效的原則，推導(dǎo)了等效后的單元剛度矩陣、桿件截面面積和桿件軸力計算公式，探討了空間等效桁架單元應(yīng)用于鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)非線性分析的相關(guān)問題；借助ANSYS 10.0采用該方法對一橋墩結(jié)構(gòu)進(jìn)行計算分析，并與采用平面等效桁架單元方法和試驗方法所得結(jié)果進(jìn)行了對比。結(jié)果表明：采用該方法對鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析能夠滿足工程精度要求，并且能夠準(zhǔn)確描述裂縫的開展。

關(guān)鍵詞：空間等效桁架單元；有限元法；剛度等效；鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)；非線性分析

中圖分類號：TU311.41文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

0引言

有限元法作為一種重要的數(shù)值分析方法，由于其通用性和有效性，已經(jīng)成為工程分析計算中應(yīng)用最為廣泛的一種數(shù)值計算方法。1967年，美國學(xué)者Ngo和Scordelis發(fā)表了第1篇在鋼筋混凝土中應(yīng)用非線性有限元方法的論文，他們用有限元法對鋼筋混凝土簡支梁進(jìn)行了抗剪分析[1]。此后，越來越多從事結(jié)構(gòu)工程的研究人員將這種方法應(yīng)用于鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)分析，并取得了豐碩的研究成果。

采用傳統(tǒng)的有限元法分析鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)時，需要根據(jù)不同的單元類型構(gòu)造不同的形函數(shù)，尤其對于多節(jié)點三維問題單元，形函數(shù)往往形式復(fù)雜且難于推導(dǎo)[2]。在裂縫處理問題上，傳統(tǒng)有限元分析中常采用離散裂縫模式和片狀裂縫模式[3]，采用離散裂縫模式時，一旦單元出現(xiàn)新的裂縫就要重新劃分網(wǎng)格，計算過程復(fù)雜且很費時，而采用片狀裂縫模式時，則不能對裂縫的位置、長度和形狀給出滿意的描述。本文根據(jù)平面等效桁架單元[45]的思想，提出一種由24根一維桿件組成的空間等效桁架單元，這種單元最大的特點是用一維桿件受力狀態(tài)表示三維受力狀態(tài)，無需設(shè)置形函數(shù)，簡化計算，并且單元中桿件的斷裂可以清晰地模擬鋼筋和混凝土的破壞，從而可以追蹤構(gòu)件或結(jié)構(gòu)破壞的全過程。本文采用提出的空間等效桁架單元方法對一橋墩結(jié)構(gòu)進(jìn)行非線性分析，并與平面等效桁架單元方法和試驗方法所得結(jié)果進(jìn)行對比，探討該方法用于鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)分析的可行性。

1空間等效桁架單元

1.1單元模型及基本假設(shè)

圖1（a）為空間微元體單元，假設(shè)x，y，z方向的尺寸dx=dy=dz=h，微元體材料的彈性模量為E，剪切模量為G，泊松比為μ。圖1（b）為空間等效桁架單元，其外觀尺寸與空間微元體單元相同，外圍桿件長度均為h，內(nèi)部斜桿長度為2h。同時假設(shè)外圍桿件等效截面面積為A1，軸向抗拉（壓）剛度為k1，內(nèi)部斜桿等效截面面積為A2，軸向抗拉（壓）剛度為k2。

1.2單元剛度矩陣

依次對空間等效桁架單元節(jié)點進(jìn)行編號，如圖2所示。

1.3等效分析

空間等效桁架單元由空間微元體單元等效而來，等效原則是剛度等效，即在相同的節(jié)點荷載作用下結(jié)構(gòu)變形相等。本文考慮空間等效桁架單元與空間微元體單元的正應(yīng)變等效和剪應(yīng)變等效，并考慮泊松比的影響，進(jìn)而得到由空間微元體參數(shù)表示的空間等效桁架單元的單元剛度矩陣。

1.3.1正應(yīng)變等效分析

對空間微元體單元與空間等效桁架單元施加如圖3所示任意大小的單位節(jié)點荷載P，單元將產(chǎn)生正應(yīng)變，根據(jù)等效原則，節(jié)點位移應(yīng)相等，即δ1=δ′1，δ2=δ′2，δ3=δ′3。

1.3.3剪切剛度對比

從前文推導(dǎo)可知，在正應(yīng)變和剪應(yīng)變等效下，由斜桿的剛度k2相等可得

當(dāng)μ=0.25時，式（7），（8）中的剪切模量G相等，實際混凝土μ值范圍為0.15～0.23，與μ=0.25很接近，且實際混凝土在軸壓作用下泊松比有所增長，同時從文獻(xiàn)[6]可知，用正應(yīng)變等效得到的斜桿剛度代替剪應(yīng)變等效得到的斜桿剛度，計算誤差很小，對結(jié)果影響不大。

1.4桿件等效截面面積

根據(jù)材料力學(xué)原理和求得的桿件等效剛度k1，k2，可得桿件的等效截面面積A1，A2分別為

1.5單元中各桿軸力的計算

求出各節(jié)點的位移之后，可以根據(jù)每根桿件的剛度和節(jié)點位移求出各桿件的軸力Ne，即

式中：A為桿件截面面積；L為桿件長度；i，j分別為桿件兩端節(jié)點編號；θx，θy，θz分別為桿件與x，y，z軸的夾角；u，v，w分別為桿端沿x，y，z軸的位移。

2模型在鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)非線性分析中的應(yīng)用2.1鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)有限元模型及基本假定

本文鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)有限元模型采用分離式模型，把鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)離散為混凝土單元和鋼筋單元，混凝土單元采用本文推導(dǎo)的空間等效桁架單元，鋼筋單元采用桿件單元，其單元剛度矩陣Ks按照式（11）進(jìn)行計算，即

式中：Es，As分別為鋼筋的彈性模量和截面面積；α=cos（θx）；β=cos（θy）；γ=cos（θz）。

將混凝土單元剛度矩陣和鋼筋單元剛度矩陣按照剛度集成原理進(jìn)行集成，可得鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)有限元模型的整體剛度矩陣。

在一般的鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)中，可以認(rèn)為鋼筋和混凝土之間粘結(jié)整體性比較好，二者之間沒有相對滑移?；炷量臻g等效桁架單元與鋼筋單元在節(jié)點處相互鉸接，二者之間位移完全協(xié)調(diào)。本文采用的鋼筋混凝土空間等效桁架單元模型如圖5所示。

2.2鋼筋混凝土材料本構(gòu)關(guān)系和破壞準(zhǔn)則

本文根據(jù)空間等效桁架單元的組成特征，混凝土材料采用在單向受力作用下的本構(gòu)關(guān)系，當(dāng)混凝土構(gòu)件處于受壓狀態(tài)時，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系采用式（12）所示的Hongnestad分段表達(dá)式[7]，即

σ=σ0[2εε0-（εε0）2]0≤ε≤ε0

σ0（1-0.15ε-ε0εu-ε0）ε0<ε≤εu（12）