陳紅燕，孫冬梅，趙萍

（南京工業(yè)大學(xué) 自動化與電氣學(xué)院，南京 211800）

磁懸浮軸承也稱為電磁軸承或磁軸承，是利用可控電磁力作用將轉(zhuǎn)子或軸穩(wěn)定懸浮于空間的一種新型高性能軸承，廣泛應(yīng)用于機(jī)械工業(yè)領(lǐng)域，如各類機(jī)床、渦輪分子泵、高速離心機(jī)、渦輪發(fā)電機(jī)以及液氦泵等高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械［1］。然而，磁懸浮系統(tǒng)是一個典型的本質(zhì)非線性和開環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)，所以需要對磁懸浮系統(tǒng)實施有效的控制。

由日本學(xué)者最先提出的T-S模糊推理模型特別適用于局部線性、能夠分段進(jìn)行控制的系統(tǒng)［2-3］。該模糊模型的前提部是依據(jù)系統(tǒng)輸入與輸出間是否存在局部線性關(guān)系進(jìn)行劃分，而結(jié)論部由多項式線性方程表達(dá)，從而構(gòu)成規(guī)則間的線性組合，使非線性系統(tǒng)的全局輸出具有良好的線性描述特征［4］。利用PDC方法設(shè)計系統(tǒng)的模糊狀態(tài)反饋控制器，將系統(tǒng)的穩(wěn)定性和極點配置等問題轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式約束的凸優(yōu)化問題，不僅能使系統(tǒng)滿足穩(wěn)定性要求，而且能使其獲得好的動態(tài)性和魯棒性。

文中首先對磁懸浮軸承進(jìn)行了局部線性化，根據(jù)隸屬函數(shù)建立了T-S模糊模型。在系統(tǒng)穩(wěn)定性和控制系統(tǒng)其他性能指標(biāo)約束下設(shè)計模糊控制器，將控制器的多目標(biāo)設(shè)計問題轉(zhuǎn)換為LMI的凸優(yōu)化問題，通過MATLAB的LMI工具箱獲得控制器的參數(shù)。

1 T-S模糊模型的設(shè)計

單自由度磁懸浮控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是磁力軸承控制的基礎(chǔ)［5］。磁力軸承的電磁力為

式中：μ0為真空磁導(dǎo)率；N為線圈匝數(shù)，2 024；A為氣隙面積，226.9 mm2；I為平衡位置線圈電流，0.8 A；s為氣隙間距，20.5 mm。

通常，在軸承磁鐵中有2個差動磁鐵共同作用，其作用力方向相反，由功放到磁力軸承系統(tǒng)的差動激勵方式如圖1所示。

圖1 磁力軸承系統(tǒng)的差動激磁方式

其中一個磁鐵由偏置電流i0與控制電流is之和（i0+is）驅(qū)動，另一個磁鐵則由其差值（i0-is）驅(qū)動，對應(yīng)的氣隙則分別為（s0+s）和（s0-s）。因此，如果忽略鐵芯磁化作用，（1）式可表示為

取氣隙間距s和被懸浮對象的運動速度v為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，即x＝［sv］，線圈電流u（is）為系統(tǒng)的輸入，x為系統(tǒng)的輸出，則系統(tǒng)狀態(tài)空間數(shù)學(xué)模型表示為

式中：si，isi為在位移變化范圍以及對應(yīng)的控制電流的取值范圍內(nèi)選取的2個工作點；Ai，Bi，C為子系統(tǒng)相應(yīng)維數(shù)的矩陣；m為軸承質(zhì)量。

T-S模糊模型建模的本質(zhì)是把整體的非線性動態(tài)模型轉(zhuǎn)換為多個局部線性模型，然后通過模糊隸屬函數(shù)將其綜合起來構(gòu)成全局模糊模型。T-S模糊模型是由一組if-then模糊規(guī)則描述的非線性系統(tǒng)。對于一階T-S模型，設(shè)第i條規(guī)則為Ri，即

式中：xi為系統(tǒng)狀態(tài)變量；Min為模糊集合；r為模糊規(guī)則的個數(shù)。

利用單點模糊化、乘積推理和加權(quán)平均標(biāo)準(zhǔn)的模糊推理，可得整個模糊系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

2 基于LMI多目標(biāo)模糊控制器的設(shè)計

2.1 并行分布補(bǔ)償定理（PDC）

并行分布補(bǔ)償定理是一種基于模型的模糊控制器設(shè)計方法［6］，是在T-S模糊模型的基礎(chǔ)上用來設(shè)計T-S模糊狀態(tài)反饋控制器。所設(shè)計的模糊控制器和系統(tǒng)的模糊模型具有相同的模糊規(guī)則前件，而控制器的后件部分是一個線性反饋控制器。

令Ci表示第i個子系統(tǒng)對應(yīng)的控制器，整個系統(tǒng)的PDC控制器為

式中：Ki為狀態(tài)反饋增益矩陣。

整個系統(tǒng)的模糊控制器為

2.2 基于LMI的H∞狀態(tài)反饋控制

H∞狀態(tài)反饋控制的實質(zhì)是在最壞干擾噪聲下使系統(tǒng)被控輸出最小的一種優(yōu)化理論方法。H∞性能是衡量一個系統(tǒng)抗干擾能力強(qiáng)弱的重要指標(biāo)［7］。T-S模糊控制系統(tǒng)的控制框圖如圖2所示。

圖2 系統(tǒng)反饋控制框圖

圖中P（s）為非線性系統(tǒng)模型；K（s）為系統(tǒng)的模糊狀態(tài)反饋控制器；w為外部輸入信號，包括給定信號、干擾和傳感器噪聲；z為被控輸出信號，通常包括跟蹤誤差、調(diào)節(jié)誤差和執(zhí)行機(jī)構(gòu)輸出；u和x分別為控制輸入信號和輸出信號。

設(shè)廣義被控對象的狀態(tài)空間為

式中：Bw，D為子系統(tǒng)相應(yīng)維數(shù)的矩陣。

根據(jù)（9）式和給定的H∞的最小界γ（＞0），設(shè)計系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制器為

該控制器使閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)穩(wěn)定（（Ai+BiK）穩(wěn)定），且滿足

令Q＝P-1，W＝KQ，上述H∞狀態(tài)反饋控制問題有解的充要條件是存在正定對稱矩陣Q和矩陣變量W，使得

用MATLAB的LMI工具箱進(jìn)行求解，如果存在一組Q和W滿足上式，則可以求得狀態(tài)反饋陣K＝WQ-1，其中γ可以用優(yōu)化問題求解。

2.3 局部模型的極點配置

閉環(huán)系統(tǒng)極點的分布情況決定了系統(tǒng)穩(wěn)定性和動態(tài)性能。把模型的閉環(huán)極點配置在指定的區(qū)域中，從而可借助MATLAB工具箱進(jìn)行求解。對復(fù)平面中的區(qū)域S，如果存在實數(shù)對稱矩陣L和實數(shù)矩陣M使得

則稱S是一個線性矩陣不等式區(qū)域（簡記為LMI區(qū)域）。LMI區(qū)域S的特征函數(shù)為

該LMI區(qū)域關(guān)于復(fù)平面上的實軸對稱。

設(shè)定LMI區(qū)域是以（-q，0）為圓心，R為半徑的圓，則

因此，（16）式可表示為

求解（13）式、（14）式和（19）式可得Q和Wi，再由Ki＝WiQ-1求得控制器的參數(shù)。通過上述設(shè)計可以看出，用線性矩陣不等式描述問題和求解程序比較簡單。

3 試驗仿真

磁懸浮系統(tǒng)模糊控制器設(shè)計的主要作用是根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)變量的變化調(diào)節(jié)電磁鐵的電流，從而實現(xiàn)軸承的穩(wěn)定懸浮。文中建立系統(tǒng)的T-S模糊模型是在位移的變化范圍以及相應(yīng)的控制電流取值范圍內(nèi)選?。?，0），（0.05，-1）和（-0.05，1）3個工作點，每個工作點的系統(tǒng)模型即為整個系統(tǒng)的局部模型。對于上述磁軸承模型可以近似為

對應(yīng)規(guī)則中x和u的隸屬度函數(shù)如圖3所示。

圖3 x和u的隸屬度函數(shù)

選取2個工作點，根據(jù)上述規(guī)則，由（4）式可得系統(tǒng)矩陣為

由此可知，模糊控制器和被控對象的規(guī)則使用了相同的模糊語言值，且具有相同的規(guī)則條數(shù)，從實際應(yīng)用來看，該方法可簡化模糊控制器的設(shè)計。

利用MATLAB中的LMI工具箱求解上述的多目標(biāo)矩陣，可得控制器參數(shù)為

將其代入所設(shè)計的控制器中進(jìn)行仿真，系統(tǒng)的狀態(tài)圖和模糊控制器的輸出分別如圖4和圖5所示。

圖4 系統(tǒng)狀態(tài)圖

圖5 模糊控制器輸出

從圖4和圖5可以看出，多目標(biāo)控制作用的模糊控制器的輸出是穩(wěn)定的，系統(tǒng)基本保持在平衡點振動，證明該控制器具有良好的周期抑制能力，可滿足要求的性能指標(biāo)，并且多目標(biāo)控制器的瞬態(tài)響應(yīng)優(yōu)于單目標(biāo)控制器的瞬態(tài)響應(yīng)。

4 結(jié)束語

針對非線性系統(tǒng)提出了用T-S模糊模型建模的方法，該方法無需建立系統(tǒng)的精確模型，大大減少了模糊的規(guī)則數(shù)，簡化了設(shè)計過程。線性矩陣不等式的方法給出了一個問題求解的凸約束條件，設(shè)計的控制器可同時滿足系統(tǒng)穩(wěn)定性和極點配置的要求。經(jīng)仿真證明，T-S模糊控制方法可以滿足工作要求，并且具有較好的魯棒性。