尤 霖，孫 濤，鄭松林，張振東，孫躍東

（1.上海理工大學 機械工程學院汽車工程研究所，上海 200093；2.機械工業(yè)汽車底盤機械零部件強度與可靠性評價重點實驗室，上海 200093）

0 引 言

在F1方程式賽車及智能車競賽中，單圈時間最小化是追求的最終目標，如何縮短過彎時間是其關鍵研究問題之一。國內外許多學者對單圈時間優(yōu)化進行了研究。常見的有兩種方法：準穩(wěn)態(tài)法和瞬態(tài)最優(yōu)方法。本文從道路幾何關系的角度來分析出一條快速轉彎的路徑，并通過Matlab進行仿真，驗證了其在過彎過程中的穩(wěn)定性。

1 過彎路線驗證

在一般的賽車運動中經常看到賽車手在轉彎時基本按照“外－內－外”的轉彎路線，即在剛進入彎道的時候，不斷轉向，在彎中不斷貼著靠近賽道內測行駛，在與賽道內側大致相切后開始加速，最后貼著賽道的外側離開彎道。

假設賽車與地面存在一個恒定的最大靜摩擦力Fmax＝μmg，并且賽車的性能優(yōu)越，在速度不太高（與賽車自身的極限速度相比）的情況下總可以達到這個最大靜摩擦力，并且該力的方向可以任意選擇（熟練車手可以同時協調好剎車、油門、方向、檔位來實現）?；谶@些假設，首先可以證明當賽車以最大靜摩擦力，即車輪與地面之間達到不滑動的臨界狀態(tài)，過彎的時間是最短的。

假設摩擦因數為μ，則最大靜摩擦力Fmax＝μmg，設轉彎線速度為v，轉彎半徑為R，彎道半徑為r，彎道隨影的圓心角為2θ，直道長度為L且足夠長，則行駛時間分為三段，轉彎時間為t1，直道減速時間為t2及直道勻速時間t3，設總時間為T，車道寬度為d。

1.1 彎道圓弧為任意2θ角

彎道圓弧為任意2θ角的情況，如圖1所示。

圖1 定曲率任意角彎道

由圓周運動規(guī)律知

解得

易知

故總時間T為

求導可得

分如下幾種情況討論：

（1）0＜θ＜π／6

這時θ－1＜0，1－2sinθ＞0；

在R＝（1－θ）2／（μg（1－sinθ）2）時取極大值，也是最大值，那么研究最短時間就得考慮R所能取得的最大和最小值，R所能取得的最小值是r（記為Rmin），最大值是R＝r＋d／（1－cosθ）（記為Rmax）；

（2）π／6≤θ≤1

這時T隨R增大而遞減，所以在R取得最大值時T取得最小值，

（3）θ＞1

所以在R＝（1－θ）2／μg（1－2sinθ）2時有極小值，也是最小值。則：

1.2 彎道圓弧為直角

彎道圓弧為直角的情況（θ＝π／2），如圖2所示。

圖2 定曲率直角彎道

由圓周運動規(guī)律知

解得：

易知：

對轉彎半徑R求導可得

即R取最大值時總時間最小。

由賽道模型圖可知R的最大值為

故賽車行駛最短時間為

因為在比賽中彎道半徑r，汽車最大速度v0，摩擦因數μ都是確定的，所以只需根據這些確定的條件得出轉彎半徑最合適的值就可以最短的時間過彎道。

2 車輛動力學模型的建立

本文采用二自由度單軌車輛操縱動力學模型，如圖3所示，該非線性模型的二個自由度分別為側向運動、橫擺運動。

車輛在道路上行駛的運動方程為：

式中，m為 整車質 量；vx、vy分別為縱 向、側 向 速 度為橫擺角速度；a、b分別為質心至前、后軸距離；Fyf、Fyr分別為前、后輪總側向力；I為車輛橫擺轉動慣量。

圖3 車輛動力學模型

前后輪側偏角αf、αr由下式計算：

在側偏角較小的情況下，

取系統(tǒng)狀態(tài)變量為：X＝（v，r）T，系統(tǒng)輸入為前輪轉角 ，則表達成系統(tǒng)運動微分方程可寫成如下標準狀態(tài)空間方程的形式：

其中，

3 仿真分析與評價

橫擺角速度和側偏角是描述車輛動力學穩(wěn)定性的最佳狀態(tài)變量，所以本文通過比較橫擺角速度和側偏角的實際值與名義值來確定汽車過彎時的穩(wěn)定性。應用Matlab／Simulink軟件搭建模型進行仿真。采用Carsim軟件中某一車輛參數如下：m＝1 529.98 kg；L＝2.77 662 km；a＝1.13 906 m；b＝1.63 716 m；Caf＝－46 560.5；Car＝－24 955.5；Iz＝4 607.47。進行仿真得到直角彎上汽車的行駛軌跡，以每隔1 s的時間記錄汽車的軌跡，如圖4所示。可見，在不到10 s的時間內車輛就可以完成入彎、過彎和出彎，比一般情況下，減少了時間。

圖4 行駛軌跡圖

圖5和圖6分別為在過直角彎情況下，車輛的質心側偏角和橫擺角速度。由圖可知，在過彎過程中，質心側偏角和橫擺角速度有一定的變化，但是變化范圍是很小的，可以認為在過彎過程中車輛是穩(wěn)定的。

4 結 論

圖5 質心側偏角

圖6 橫擺角速度

針對二自由度單軌車輛模型，本文提出了一種外內外的過彎路徑優(yōu)化。根據相似理論，用飛思卡爾智能模型車進行了算法驗證試驗，結果表明，所設計的過彎時間優(yōu)化控制算法，在保證車輛行駛穩(wěn)定性的前提下，能夠有效減少過彎的時間。

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