李寬陽(yáng)，陳彩鳳，張 亮，胡永安

（上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海 200093）

齒輪的嚙合剛度對(duì)齒輪的動(dòng)力學(xué)分析有很大的影響?，F(xiàn)有關(guān)于行星齒輪動(dòng)力學(xué)分析的研究，大都取齒輪單對(duì)齒嚙合的平均嚙合剛度進(jìn)行分析，未考慮齒輪重合度以及多對(duì)齒嚙合對(duì)齒輪嚙合剛度造成的影響。行星齒輪的齒輪重合度都在1～2之間［1］，在單雙齒交替的瞬間，行星齒輪系統(tǒng)的齒輪嚙合剛度以及相應(yīng)的模態(tài)都會(huì)產(chǎn)生突變［2］，因此，用平均嚙合剛度對(duì)行星齒輪系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，得到的結(jié)果可能會(huì)與其實(shí)際值有偏差。由此可見(jiàn)，分析齒輪重合度、多對(duì)齒嚙合對(duì)齒輪嚙合剛度的影響具有較大的工程實(shí)際意義，是進(jìn)行更接近實(shí)際的齒輪傳動(dòng)動(dòng)力學(xué)研究的重要前提工作。

1 齒輪受載形變計(jì)算

1.1 石川公式計(jì)算齒輪嚙合形變

齒輪嚙合剛度的定義為：輪齒抵抗外力對(duì)其造成變形的能力。在變形范圍中，齒輪的嚙合剛度可以通過(guò)輪齒受到的外力與其相應(yīng)位移的比值來(lái)獲得［3］。當(dāng)齒輪進(jìn)行嚙合時(shí)，伴隨著齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)，輪齒之間的嚙合位置不斷地發(fā)生著變化，在假定齒面接觸力大小保持不變的情況下，由于力的方向在不斷發(fā)生變化，所以輪齒上每一點(diǎn)的變形量也不斷發(fā)生變化，因此，輪齒的嚙合剛度也是隨傳動(dòng)的進(jìn)行不斷變化的［4］。

關(guān)于齒輪嚙合形變計(jì)算的綜合與延伸，本文主要給出2－KH行星輪系統(tǒng)中，太陽(yáng)輪在受載后的綜合形變計(jì)算公式?，F(xiàn)做如下假設(shè)：令一對(duì)標(biāo)準(zhǔn)齒輪在其分度圓節(jié)點(diǎn)上均勻接觸，單位齒寬的齒面法向載荷與輪齒齒面法向變形量的比值定義為一對(duì)輪齒的剛度［5］。

其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

式中：F為作用于法面的載荷；b為嚙合齒寬；δ為輪齒的變形總量。

由此可見(jiàn)，要計(jì)算齒輪的時(shí)變嚙合剛度，首先要求解齒輪在外載荷作用力下的形變函數(shù)，然后再利用式（1）求解。

石川公式是指將嚙合的輪齒化簡(jiǎn)為一個(gè)由矩形和梯形所構(gòu)成的懸臂梁機(jī)構(gòu)，如圖1所示，將輪齒的矩形部分看作是其危險(xiǎn)截面。嚙合輪齒沿著單齒嚙合線方向的變形量可以表示為［6］：

式中：δ為沿嚙合線方向輪齒的變形量；δ1為輪齒矩形部分的彎曲變形量；δ2為輪齒梯形部分的彎曲變形量；δ3為由于剪力而產(chǎn)生的變形量；δ4為輪齒基礎(chǔ)部分由于受力變形而產(chǎn)生的變形量；δw為齒輪基體部分由于受力變形而產(chǎn)生的變形量。

圖1 石川公式的近似模型

輪齒矩形部分的彎曲變形量為：

梯形部分的變形量為：

式中

由剪力產(chǎn)生的變形量為：

其中，v為泊松比。

基礎(chǔ)部分傾斜產(chǎn)生的變形量為：

另外，根據(jù)齒輪的幾何形狀：

當(dāng)rg≤rF時(shí)，即z≥2（1－x）／（1－cosα0）時(shí)，

當(dāng)rg＞rF時(shí)，即z＜2（1－x）／（1－cosα0）時(shí)，

式中：z為齒數(shù)；x為變位系數(shù)；rg為齒輪基圓半徑；rk為齒輪齒頂圓半徑；rr為齒輪齒根圓半徑；rF為有效齒輪齒根圓半徑；rx為載荷作用點(diǎn)和齒輪中心點(diǎn)的距離；α0為壓力角；αx為嚙合角。

齒輪工作時(shí)，載荷作用點(diǎn)沿嚙合線方向變形量之和為［7］：

δa和δb是相應(yīng)于各個(gè)輪齒的δ值，δp是齒面接觸部分的變形量，其可以表示為［2］：

根據(jù)參考文獻(xiàn)［2］可知，載荷作用點(diǎn)到齒輪中心點(diǎn)的距離R計(jì)算公式為：

其中，

式中：Δw為輪齒嚙入點(diǎn)到載荷作用點(diǎn)之間齒輪旋轉(zhuǎn)角度；r為齒輪的基圓直徑；μN(yùn)f為齒輪漸開(kāi)線的余弦值。

齒輪基體部分由于受力變形而產(chǎn)生的變形量為：

1.2 行星齒輪嚙合形變計(jì)算

由于行星齒輪系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特殊性，太陽(yáng)輪（內(nèi)齒圈）可能會(huì)與3個(gè)或3個(gè)以上的行星輪同時(shí)嚙合，若要準(zhǔn)確計(jì)算某一對(duì)輪齒的時(shí)變嚙合剛度，就必須要考慮在同一時(shí)刻，其余行星輪對(duì)當(dāng)前研究對(duì)象造成的影響。

根據(jù)目前市場(chǎng)上常用的NGW行星齒輪減速器參數(shù)，提出3種行星輪配置方式，行星輪數(shù)量分別為3，4，5個(gè)［7］。因此，系統(tǒng)在運(yùn)行時(shí)，最多會(huì)有5個(gè)行星輪同時(shí)與太陽(yáng)輪（內(nèi)齒圈）嚙合。如圖2所示，現(xiàn)以4個(gè)行星輪為例，討論行星輪的數(shù)量對(duì)太陽(yáng)輪嚙合剛度的影響。

如圖3所示，由于式（2）中已經(jīng)考慮了嚙合輪齒基體部分的形變，現(xiàn)將行星輪1分離出整個(gè)系統(tǒng)，則現(xiàn)太陽(yáng)輪基體上所受的載荷來(lái)源于剩余的行星輪；每個(gè)行星輪對(duì)太陽(yáng)輪的力和原來(lái)一致。

圖2 行星輪實(shí)際工況

圖3 剩余行星輪對(duì)基體的影響示意圖

根據(jù)圣維南原理，分布于彈性體上一小塊面積（或體積）內(nèi)的載荷所引起的應(yīng)力，在離載荷作用區(qū)稍遠(yuǎn)的地方，基本上只同載荷的合力和合力矩有關(guān)；載荷的具體分布只影響載荷作用區(qū)附近的應(yīng)力分布［8］。由此可見(jiàn)，要計(jì)算其余行星輪對(duì)太陽(yáng)輪的影響，只需要計(jì)算剩余扭矩對(duì)整個(gè)基體造成的扭轉(zhuǎn)變形。

現(xiàn)將太陽(yáng)輪看作是一個(gè)實(shí)心圓盤，其相應(yīng)的截面積慣性矩為［9，10］：

式中：Di為齒輪分度圓直徑。

太陽(yáng)輪兩橫截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為：

由于齒輪較薄，故設(shè)太陽(yáng)輪的兩截面間的扭矩T不變，上式可簡(jiǎn)化為：

由此可知，其余行星輪對(duì)太陽(yáng)輪基體處產(chǎn)生的形變?yōu)椋?/p>

而沿著作用力FN方向的變形為：

因此，齒輪時(shí)變嚙合剛度變形公式可改寫為：

3 算例與結(jié)果分析

下面將采用石川公式（式（2））和改進(jìn)公式（式（29）），分別對(duì)本研究所分析的行星齒輪系統(tǒng)進(jìn)行時(shí)變嚙合剛度的計(jì)算，齒輪參數(shù)如表1所示。為計(jì)算簡(jiǎn)便，所有齒輪的頂隙系數(shù)和輪齒的齒頂高系數(shù)均取標(biāo)準(zhǔn)值。

表1 行星齒輪系統(tǒng)參數(shù)

根據(jù)表1可知，太陽(yáng)輪的齒數(shù)為21，因此，在一個(gè)周期中，每個(gè)輪齒大約有17°轉(zhuǎn)角參與嚙合傳動(dòng)。如圖4所示，圖中虛線為采用原石川公式計(jì)算齒輪嚙合剛度的結(jié)果，實(shí)線為考慮行星輪對(duì)齒輪基體影響后得到的結(jié)果。

圖4 三個(gè)行星輪作用下系統(tǒng)時(shí)變嚙合剛度

通過(guò)分析比較圖4可知，改進(jìn)后的時(shí)變嚙合剛度要小于用原石川公式計(jì)算的時(shí)變嚙合剛度；兩種曲線的變化趨勢(shì)一致。而根據(jù)式（30）可知，公式改進(jìn)后計(jì)算的固有頻率比石川公式小，這為后面的更精確的模態(tài)分析提供依據(jù)。

現(xiàn)分別計(jì)算行星輪數(shù)量為3，4，5時(shí)，行星齒輪系統(tǒng)的時(shí)變嚙合剛度，計(jì)算結(jié)果如圖5所示。

圖5 三種行星輪數(shù)量配置作用系統(tǒng)時(shí)變嚙合剛度

通過(guò)分析比較圖5可知，增加行星輪的數(shù)量會(huì)降低太陽(yáng)輪、內(nèi)齒圈的時(shí)變嚙合剛度，這主要是因?yàn)樾行驱X輪系統(tǒng)通過(guò)行星輪分?jǐn)傒d荷，實(shí)現(xiàn)功率分流，但這只能減小作用在每個(gè)輪齒上的載荷。由式（28），（29）可知，每增加一個(gè)行星輪，系統(tǒng)剩余行星輪造成的扭矩就會(huì)增大，從而增加δp，最終導(dǎo)致齒輪嚙合剛度降低?，F(xiàn)將齒輪重合度代入到單對(duì)齒嚙合的計(jì)算結(jié)果中，如圖6所示。

圖6 三種行星輪數(shù)量作用太陽(yáng)輪時(shí)變嚙合剛度

由于齒輪重合度的影響，行星齒輪系統(tǒng)太陽(yáng)輪每當(dāng)出現(xiàn)單雙齒交替的情況時(shí)，輪齒的嚙合剛度會(huì)有一個(gè)較大的突變（內(nèi)齒圈曲線類似），這直接導(dǎo)致了齒輪發(fā)生嚙合沖擊，要改善此類問(wèn)題，可以從增加齒輪重合度方面入手。

4 結(jié)束語(yǔ)

行星齒輪系統(tǒng)的時(shí)變嚙合剛度曲線由于齒輪重合度的影響，會(huì)在單雙齒交替時(shí)，發(fā)生明顯的突變，因此，采用時(shí)變嚙合剛度對(duì)行星齒輪系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析可以得到更貼合實(shí)際的結(jié)果；功率分流可以有效地降低太陽(yáng)輪（內(nèi)齒圈）上每個(gè)輪齒承受的載荷，但隨著行星輪數(shù)量的上升，由于殘余行星輪數(shù)量的增加，太陽(yáng)輪齒根處的形變會(huì)加大，從而導(dǎo)致太陽(yáng)輪（內(nèi)齒圈）的嚙合剛度會(huì)下降。本文提出的有關(guān)太陽(yáng)輪、內(nèi)齒圈時(shí)變嚙合剛度計(jì)算方法能把行星輪數(shù)量與實(shí)際的剛度計(jì)算有機(jī)結(jié)合起來(lái)，是一種十分有效的實(shí)用方法。

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