楊明

摘要：通過三角函數(shù)的圖象變化過程，進一步理解正、余弦函數(shù)的性質(zhì)。討論的重點和難點內(nèi)容是對周期變換、相位變換先后順序調(diào)整后對圖象平移量的影響。問題的實質(zhì)是不管哪種順序的變換，都是對一個字母x而言的變換。對這一概念的理解將直接影響到學生的解題思路也成為突破難點的關鍵。本論文力圖充分挖掘?qū)W生在學習本節(jié)內(nèi)容時思路在哪里會受阻，幫他們找到問題的實質(zhì)。用典型的例子舉一反三的去論述，進而使學生遇到同類題時能夠有清晰的解題思路提高答題的正確率。因此要創(chuàng)造性地使用教材，積極開發(fā)、利用各種教學資源，創(chuàng)設教學情境，讓學生通過主動參與、積極思考、與人合作交流和創(chuàng)新等過程，獲得情感、能力、知識的全面發(fā)展。

關鍵字：三角函數(shù)；圖象變換；整體思想；五點作圖；

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2015）06（b）-0000-00

1 三角函數(shù)圖像的變換的思想理論

新的課程標準明確指出 “數(shù)學是人類文化的重要組成部分，構成了公民所必須具備的一種基本素質(zhì)?！逼浜x就是：我們不僅要重視數(shù)學的應用價值，更要注重其思維價值和人文價值。

三角函數(shù)是中學數(shù)學的重要內(nèi)容之一，它既是解決生產(chǎn)實際問題的工具，又是學習高等數(shù)學及其它學科的基礎。本論文是在學習了任意角的三角函數(shù)，兩角和與差的三角函數(shù)以及正、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)后，進一步研究函數(shù) （以下討論中 ）的簡圖的畫法，由此揭示這類函數(shù)圖象與正弦曲線的關系，并通過圖象的變化過程，進一步理解正、余弦函數(shù)的性質(zhì)，它是研究函數(shù)圖象變換的一個延伸，也是研究函數(shù)性質(zhì)的一個直觀反映。討論的重點和難點內(nèi)容是對周期變換、相位變換先后順序調(diào)整后對圖象平移量的影響。問題的實質(zhì)是不管哪種順序的變換，都是對一個字母x而言的變換。對這一概念的理解將直接影響到學生的解題思路也成為突破難點的關鍵。本論文力圖充分挖掘?qū)W生在學習本節(jié)內(nèi)容時思路在哪里會受阻，幫他們找到問題的實質(zhì)。用典型的例子舉一反三的去論述，進而使學生遇到同類題時能夠有清晰的解題思路提高答題的正確率。因此要創(chuàng)造性地使用教材，積極開發(fā)、利用各種教學資源，創(chuàng)設教學情境，讓學生通過主動參與、積極思考、與人合作交流和創(chuàng)新等過程，獲得情感、能力、知識的全面發(fā)展。

2 通過具體的例題討論三角函數(shù)圖像變換的實質(zhì)問題

先討論重點和難點內(nèi)容：對周期變換、相位變換先后順序調(diào)整后對圖象平移量的影響。為了能夠讓學生更好地理解，我們可以通過“五點作圖法”正確找出函數(shù) 到 的圖象變換規(guī)律，使學生掌握能用五點作圖法和圖象變換法畫出函數(shù) 的簡圖，掌握“五點作圖法”的精髓，這樣可以讓他們既復習了舊知，又為準確使用本將要內(nèi)容用提供必要的保障。

下面從以下兩個方面討論由函數(shù) 到 的圖象變換規(guī)律，讓學生體會到由簡單到復雜，特殊到一般的化歸思想和整體思想在解題中的應用；并通過對周期變換、相位變換先后順序調(diào)整后將影響圖象變換這一難點的突破，讓學生學會抓住問題的主要矛盾來解決問題。

2.1 通過具體例子來討論先周期變換再相位變換圖象變換規(guī)律，即由函數(shù) 到 再到 的圖象變換規(guī)律

如何由 到 ？我們可以利用之前學習的五點作圖法畫函數(shù) 的圖象，列表中最關鍵的步驟是將 看作一個整體，令其分別為0， ， ， ， 。列表和函數(shù)圖象如下：

如何由函數(shù) 的圖象通過變換得到函數(shù) 的圖像，通過觀察圖形我們可以看到由函數(shù) 到函數(shù) 縱坐標不變橫坐標縮短為原來的 。得到一般規(guī)律由函數(shù) 到 縱坐標不變橫坐標伸長或縮短為原來的 倍。

如何由函數(shù) 的圖象通過變換得到函數(shù) 的圖象？在碰到這個問題時，學生很感興趣，因此首先會猜想“左移 個單位長度”，為了驗證自己的想法，通過列表和“五點作圖法”畫出 的圖象。列表和函數(shù)圖象如下：

通過比較，最后會發(fā)現(xiàn)由函數(shù) 的圖象通過“左移 個單位長度”變換得到函數(shù) 的圖象。進而得出由 沿 軸平移 的單位到 ，左右平移的規(guī)律是“左正右負”（或“左加右減”）。

2.2 通過以上例題來討論先相位變換再周期變換圖象變換規(guī)律：即由函數(shù) 到 再到 的圖象變換規(guī)律。同上方法得到由函數(shù) 的圖像到 的圖像“左移 個單位長度”，由 的圖像再到 的圖像“縱坐標不變橫坐標縮短為原來的 ”。

歸納起來，先周期變換再平移變換即由函數(shù) 到 再到 的圖象變換規(guī)律是先把函數(shù) 的圖象橫向收縮為原來的 ， 變成了 ，得到 的圖象；再把所得圖象向左平移 個單位長度， 變成了 ，得到 的圖象。先平移變換再周期變換由函數(shù) 到 再到 的圖象變換規(guī)律是先把函數(shù) 的圖象向左平移 個單位長度， 變成了 ，得到 的圖象；再把所得圖象橫向收縮為原來的 ， 變成了 ，得到 的圖象。

2.3 比較得出三角函數(shù)圖像變換問題的實質(zhì)，出現(xiàn)了以下新的問題，問題1，為什么由 到 的圖象變換平移量不是 而是 ？解決這一難題可以用兩種方法。一種是全局的抽象的，突破此難點的關鍵是，要著眼x的變化，把 變形為 ，是把x變成了 ，所以平移量是 ；另一種是通過具體的點的平移進而得出整個圖像的平移， 得 ，函數(shù) 的圖像一定過點（0，0）。再令 得 ，所以函數(shù) 的圖像一定過點 。由點（0，0）到 縱坐標沒變，橫坐標向左平移了 個單位。所以由 向左平移 個單位到 。由特殊到一般，這個問題的實質(zhì)是是要著眼x的變化，把 變形為 ，是把x變成了 ，所以平移量是 ，掌握問題的實質(zhì)可以作為一種解題的方法。而另一種解題方法是是通過具體的點的平移進而得出整個圖像的平移，令 得 ，函數(shù) 的圖像一定過點（0，0）。再令 得 ，所以函數(shù) 的圖像一定過點 。由點（0，0）到 縱坐標沒變，橫坐標平移了 個單位。所以 到 的圖象變換平移量不是 而是 。問題2，為什么第一種變換是平移了 而第二種變換是平移了 ，都是由 變換到 ，變換順序不一樣，平移量不一樣最終為什么會得到同一函數(shù)呢？第二種變換最終的平移量是多少呢？因為由 到 ，橫坐標都縮短為原來的 ，所以 上的點 到 對應變成 ， 到 平移量是 。兩種變換中間的過程不同但是最終得到的卻結(jié)果相同。問題的實質(zhì)相同都是著眼于 的變化。由特殊到一般從以上的的分析可以看出要分化此難點，可分類探求函數(shù)：① 到 ，② 到 的圖象變換規(guī)律。學生最難理解和最易出錯的就是理解① 到 的圖象變換規(guī)律，因此從特例出發(fā)，更具有直觀性，便于學生操作，從而達到分化難點、突出重點的目的。endprint

2.4 考察此知識點的題型和解題方法，討論了由函數(shù) 到 的圖象變換規(guī)律后，可以歸納出來考察這個知識點有比較典型的兩種題型。一類是已知三角函數(shù) 和 ，求 經(jīng)過怎樣的平移變換得到 ；另一類是已知三角函數(shù) ， 經(jīng)過平移后得到函數(shù) ，求 的函數(shù)表達式。下面通過具體的例子來討論這類題型的解題方法。例1： ， ， 經(jīng)過怎樣的平移得到 ？解法一（本質(zhì)的）： ， 所以 向右平移 得到 。解法二（通過具體的點的平移）：令 解得 ，所以 一定過 ，令 解得 ，則 一定過 ，所以由 向右平移 到 ，即由 向右平移 得到 。當然還有其他方法，比如圖像法等，這里例舉解題兩種最常用最快的解題方法。例2：已知 ， 向左平移 個單位后得到函數(shù) ，求 的表達式。錯解： 向左平移 個單位得 ，所以 。錯誤原因是沒有找到問題的實質(zhì)：函數(shù)圖像的變換都是只對 的變換。正確解法： 向左平移 個單位得 。

3 由函數(shù) 圖像通過怎樣的變換得到 圖象

通過實例綜合以上兩種變換，重點是比較兩種方法平移量的區(qū)別和導致這一現(xiàn)象的根本原因，即x的變化，并由此導出一般規(guī)律。

由函數(shù) 的圖像通過怎樣的變換到 的圖象？在前兩個問題解決的基礎上即弄清相位變換和周期變換后，直接找一般規(guī)律：由函數(shù) 縱坐標伸長或縮短 倍得到函數(shù) 的圖象。函數(shù) 中的 對圖形的影響。

在分析清楚以上變換方法后，得出一般變換方法：由函數(shù) 的圖象經(jīng)過如下的變換得到 的圖象。

4 總結(jié)

在得出由函數(shù) 到 變換方法后。探討如下例題：已知函數(shù) 指出經(jīng)過怎樣的變換可得到 的圖象。解法一（先周期變換再平移變換）： ，縱坐標縮短為原來的 得到 ，橫坐標伸長3倍得到 沿 軸向右平移 個單位得到 的圖像。解法二（先平移變換再周期變換） 縱坐標縮短為原來的 得到 ，沿 軸向右平移 得到 的圖像，橫坐標伸長3倍得到 。兩種變換正是上表兩種變換的逆序變換，順序不同平移量也不同但最終的結(jié)果一樣，把握問題的實質(zhì)能幫我們又快又準確的找到問題的答案。

通過“五點作圖法”正確找出函數(shù)由函數(shù) 到 和 的圖象變換規(guī)律進而找到圖象變換問題的實質(zhì)。教學的目的是以知識為平臺，全面提升學生的綜合能力。本論文突出體現(xiàn)了以學生能力的發(fā)展為主線，應用啟發(fā)式引導學生層層深入，培養(yǎng)學生自主探索以以及發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力，注重利用非智力因素促進學生的學習，實現(xiàn)數(shù)學知識價值和思維價值高度統(tǒng)一。對數(shù)學的探索是一個長期的過程，充分挖掘數(shù)學的應用價值、思維價值和人文價值，需要我們教育工作者的不斷創(chuàng)新，與時俱進。

參考文獻：

[1] 張孝東. 三角函數(shù)最值問題的一點思考[J]. 高考（綜合版），2013：1-2.

[2] 徐其明. 淺談高考三角函數(shù)的知識復習[J]. 快樂閱讀，2013：1.

[3] 陳曦. APOS理論下任意角三角函數(shù)概念的教學研究[J]. 中國優(yōu)秀碩士學位論文全文數(shù)據(jù)庫，2014：3-4.

[4] 陳振宣.三角函數(shù)在中學數(shù)學中的核心地位[J]數(shù)學通報，2009：3-4.endprint