張明會(huì)，高婷婷

(隴南師范高等?？茖W(xué)校數(shù)信學(xué)院，甘肅 成縣 742500)

淺談極限與連續(xù)概念的非標(biāo)準(zhǔn)陳述

張明會(huì)，高婷婷

(隴南師范高等?？茖W(xué)校數(shù)信學(xué)院，甘肅 成縣 742500)

極限和連續(xù)是數(shù)學(xué)分析當(dāng)中十分重要的兩個(gè)概念，學(xué)生在初學(xué)時(shí)難以理解和正確把握，教師授課時(shí)也明顯感覺到不易。借助于極限和函數(shù)連續(xù)兩個(gè)概念的非標(biāo)準(zhǔn)陳述，對(duì)人們熟知的幾個(gè)命題和定理給予全面闡述，使學(xué)生換一種思路和方法來深入理解這兩個(gè)概念。

極限；連續(xù)；非標(biāo)準(zhǔn)陳述

1 非標(biāo)準(zhǔn)微積分簡介

隨著數(shù)理邏輯的發(fā)展，特別是元數(shù)學(xué)、證明論、模型論的異軍突起，用數(shù)理邏輯的方法研究數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題取得了前所未有的進(jìn)展，一大批數(shù)理邏輯學(xué)家投身于不用極限方法，改用數(shù)理邏輯方法建立分析學(xué)的奠基工作。利用數(shù)理邏輯的方法，重新研究了牛頓-萊布尼茨方法中引進(jìn)的無窮小元素，特別是20世紀(jì)60年代的美國數(shù)學(xué)家魯濱遜，從建立在實(shí)數(shù)系上的數(shù)學(xué)命題出發(fā)，應(yīng)用20世紀(jì)40年代在嚴(yán)格邏輯基礎(chǔ)上建立的緊致性定理：“對(duì)形式語言中的任何一個(gè)公式集或者命題集A，若A得任何一個(gè)有窮子集A′皆有模型，則A必有模型”來研究無窮小量，對(duì)無窮小量的存在用數(shù)學(xué)方法給出了嚴(yán)格的證明，將標(biāo)準(zhǔn)實(shí)數(shù)域擴(kuò)充為包含有“無限小”和“無限大”元素的非標(biāo)準(zhǔn)實(shí)數(shù)域R*,然后在R*上重新展開微積分的討論，建立其全部數(shù)學(xué)分析理論，稱之為非標(biāo)準(zhǔn)分析。

借助于數(shù)理邏輯形式語言可以嚴(yán)格地建立“轉(zhuǎn)換原理”，其結(jié)論是：在一階語言的框架內(nèi)所表達(dá)的數(shù)學(xué)分析性質(zhì)，在R和R*內(nèi)是同真同假的。具體而言，就是當(dāng)形式語言中兩次的變化范圍僅限于實(shí)數(shù)時(shí)，可以形式地把R和R*上的陳述互相轉(zhuǎn)換而不改變其真假性。

2 極限的非標(biāo)準(zhǔn)陳述

證明必要性：

或者，對(duì)于ω∈R+，存在m∈N，下列語句：

充分性：令ω∈R+，因?yàn)閷?duì)于所有無限自然數(shù)ω，都有xω?A，xk-A是無限小，也即：

對(duì)應(yīng)地，有：

在R上成立，由轉(zhuǎn)換原理它在R*上也成立。

當(dāng)x?x0(x≠x0)，即x-x0是無限小，當(dāng)然有0<|x-x0|<δ，故有|f(x)-A|<ε成立，由ε得任意性，即知：f(x)?A。

在R上成立，由轉(zhuǎn)換原理它在R*上也成立。

注：此命題也可以作為函數(shù)極限存在的非標(biāo)準(zhǔn)定義。

由數(shù)列極限與函數(shù)極限的非標(biāo)準(zhǔn)定義出發(fā)，類似地可以討論極限所有性質(zhì)的一系列非標(biāo)準(zhǔn)陳述。

3 函數(shù)連續(xù)的非標(biāo)準(zhǔn)陳述

命題1 設(shè)標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)f(x)在標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)x0附近有定義，則f(X)在x0點(diǎn)連續(xù)的充分必要條件是：在R*上，對(duì)一切x?x0均有f(x)??f(x0)。

證明是顯然的，只要在函數(shù)極限的非標(biāo)準(zhǔn)陳述中，將A改成f(x0)就得到函數(shù)連續(xù)的非標(biāo)準(zhǔn)陳述。

運(yùn)用函數(shù)連續(xù)的非標(biāo)準(zhǔn)(無限小)定義判斷函數(shù)連續(xù)，非常方便。例如函數(shù)：

對(duì)于任何x∈m(0)，由于x?0，而且|f(x)|<|x|，在R和R*上成立，于是f(x)?0=f(0)。可知f(x)在x=0連續(xù)。

[1]錢吉林.數(shù)學(xué)分析題解精粹[M].北京：崇文書局，2003：5-60.

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].3版.北京：高等教育出版社,2001:1-50.

[3]謝惠民.數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義[M].北京：高等教育出版社，2003:20-98.

[4]馬振華.離散數(shù)學(xué)導(dǎo)引[M].北京：清華大學(xué)出版社,2006:30-102.

[5]裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法[M].北京：高等教育出版社，2002:48-87.

[6]馬振民,呂克璞.微積分習(xí)題類型分析[M].蘭州：蘭州大學(xué)出版社，1999：32-93.

[7]張明會(huì),高婷婷.恒等變換方法在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用[J].湖南工程學(xué)院學(xué)報(bào)，2011,(02):72-74.

[8]張明會(huì),高婷婷.分割變換方法在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用[J].首都師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2011：21(02)：72-74，91.

[9]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析習(xí)題集[M].北京：高等教育出版社,2001:15-66.

[責(zé)任編輯：鄭秀亮 英文編輯：劉彥哲]

Non-Standard Statement of Limit and Continuous Concept

ZHANG Ming-hui，GAO Ting-ting

(School of Math and Communication, Longnan Normal College,Cheng County,Gansu 742500,China)

Limits and continuity are two important concepts in mathematical analysis.At the beginning of study students find it hard to understand and grasp correctly,and teachers also feel it not easy to teach.Based on the non-standard statement of limit and continuous function,we provide comprehensive explanation to several established propositions and theorems,so as to lead the students to further understand the two concepts in a new way.

limit；continuity；non standard statement

隴南師范高等?？茖W(xué)校校級(jí)科研項(xiàng)目(2014LSZK02001)；隴南師范高等?？茖W(xué)校校級(jí)教學(xué)改革項(xiàng)目(JXGG2013003,JXGG201413)

張明會(huì)(1981-)，男，甘肅康縣人，隴南師范高等專科學(xué)校數(shù)信學(xué)院教師。

O

A

10.3969/j.issn.1673-1492.2015.04.004

來稿日期：2014-03-09