汪葉娜,姜培華,于 曼,葉曉卿

(安徽工程大學(xué)數(shù)理學(xué)院,安徽 蕪湖 241000)

基于更新過程極端值沖擊模型的概率結(jié)構(gòu)分析

汪葉娜,姜培華,于 曼,葉曉卿

(安徽工程大學(xué)數(shù)理學(xué)院,安徽 蕪湖 241000)

沖擊模型是可靠性數(shù)學(xué)理論的主要內(nèi)容之一，沖擊模型研究的中心問題是系統(tǒng)失效時間和系統(tǒng)壽命。建立一類極端值沖擊模型，在系統(tǒng)工作環(huán)境承受沖擊到來服從更新過程條件下，討論系統(tǒng)失效時壽命和沖擊總量的概率分布、期望和方差。在更新間隔和沖擊強(qiáng)度都服從指數(shù)分布條件下，給出一個應(yīng)用實(shí)例。

更新過程;極端值沖擊模型;壽命分布;可靠性指標(biāo)

0 引 言

1 模型的建立與假設(shè)

引理2[7]設(shè)X1、X2,…是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且方差存在。隨機(jī)變量N只取整數(shù)值，Var(N)存在，且N與{Xn}獨(dú)立，則

2 結(jié)果及證明

τδ=min{n∶Yi≤δ,i=1,2,…,n-1;Yn>δ}

定理1 在上述極端值沖擊模型中，系統(tǒng)失效時受到的沖擊總次數(shù)τδ是一個隨機(jī)變量且服從幾何分布，即τδ～Ge(pδ)。

證明 假設(shè)沖擊強(qiáng)度Yn的密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為g(y)和G(y)，記

注意到Y(jié)n獨(dú)立同分布，可得

P(τδ=k)=P(Yi≤δ,i=1,2,…,k-1;Yk>δ)

=P(Yi≤δ,i=1,2,…,k-1)P(Yk>δ)

從而可知隨機(jī)變量τδ～Ge(pδ)。

證明 由定理1知τδ～Ge(pδ)，利用幾何分布期望和方差的計(jì)算公式易得結(jié)論成立。

定理2 在上述極端值模型中，系統(tǒng)失效時壽命T具有下述性質(zhì)：

證明 (1)利用分布函數(shù)的定義可得

(2)易知τδ是沖擊來到過程的停時，故利用引理1和引理2可得：

定理3 在上述極端值模型中，系統(tǒng)失效時所受的沖擊總量A具有下述性質(zhì)：

證明 (1)利用分布函數(shù)的定義可得

(2)易知τδ是沖擊來到過程的停時，故由引理1可得

考慮到?jīng)_擊強(qiáng)度Yn與更新過程{N(t),t≥0}是獨(dú)立的，利用引理2有：

3 應(yīng)用舉例

某系統(tǒng)在工作環(huán)境中受到來自外界的隨機(jī)沖擊，假設(shè)沖擊來到間隔{Xn,n=1,2,…}獨(dú)立同分布于指數(shù)分布exp(1/2)，沖擊強(qiáng)度{Yn,n=1,2,…}獨(dú)立同分布于指數(shù)分布exp(1/3)，沖擊強(qiáng)度{Yn,n=1,2,…}與沖擊來到過程獨(dú)立，給定系統(tǒng)失效所需沖擊強(qiáng)度的門限值δ=6，試計(jì)算分析系統(tǒng)失效時壽命T和所遭受的沖擊總量A的概率分布和數(shù)字特征。

解 由于沖擊強(qiáng)度Yn獨(dú)立同分布于指數(shù)分布exp(1/3)，計(jì)算可得pδ=e-2，從而利用定理1可知τδ～Ge(e-2)。考慮到指數(shù)分布exp(1/2)即為伽瑪分布Γ(1,1/2)，利用伽瑪分布的可加性并結(jié)合定理2和定理3可得：

(1)系統(tǒng)失效時壽命T的概率分布函數(shù)、期望和方差為：

(2)系統(tǒng)失效時所受沖擊總量A的概率分布函數(shù)、期望和方差為：

[1]李澤慧，白建明，孔新兵.沖擊模型：進(jìn)展與應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)進(jìn)展，2007，36(04)：385-398.

[2]李澤慧，黃寶勝.一種沖擊源下沖擊模型的壽命分布及性質(zhì)[J].蘭州大學(xué)學(xué)報(bào)，1999，35(04)：1-7.

[3]王丙參，魏艷華，戴寧.損傷可加沖擊模型的可靠性指標(biāo)[J].北京聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012，26(01)：66-69.

[4]王丙參，李艷穎，常振海.Poisson-Geometric過程在可靠性理論中的應(yīng)用[J].齊齊哈爾大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，28(03)：83-85.

[5]姜培華，范國良.基于復(fù)合負(fù)二項(xiàng)隨機(jī)過程沖擊模型的可靠性分析[J].高師理科學(xué)刊，2013，33(02)：11-12.

[6]Ross S M，何聲武，謝盛榮，程依明等譯.隨機(jī)過程[M].北京：中國統(tǒng)計(jì)出版社，1997：20-86.

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[責(zé)任編輯：鄭秀亮 英文編輯：劉彥哲]

Probabilistic Structural Analysis of Extreme Shock Model Based on Renewal Process

WANG Ye-na,JIANG Pei-hua,YU Man,YE Xiao-qing

(School of Mathematics and Physics,Anhui Polytechnic University,Wuhu，Anhui 241000,China)

Shock model is one of the main contents of the mathematical theory of reliability.The center problem of shock model is the study of system failure time and the system lifetime.Setting up a class of extreme shock model and under the condition of the working environment of system withstanding shocks which arrive by obeying a renewal process,the probability distribution,expectation and variance of lifetimeTand the total impactAabout the system are discussed in this paper.Finally under the condition of the renewal interval and impact intensity obey exponential distribution,an applied example is given.

renewal process;extreme shock model;lifetime distribution;reliability index

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11401006)；安徽省2014年級大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃項(xiàng)目(AH201410363290)；安徽工程大學(xué)教學(xué)研究項(xiàng)目(2014jyxm32)

汪葉娜(1993-)，女，安徽蕪湖人，安徽工程大學(xué)理學(xué)院2015屆學(xué)生。

姜培華(1979-)，女，山東曹縣人，安徽工程大學(xué)數(shù)理學(xué)院講師，碩士，研究方向?yàn)楦怕式y(tǒng)計(jì)和隨機(jī)過程。

O 213.2

A

10.3969/j.issn.1673-1492.2015.04.003

來稿日期：2015-03-09