李萌，程浩忠，楊宗麟，韓新陽，楊鏡非（．上海交通大學(xué)電力傳輸與功率變換控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海0040；．華東電網(wǎng)有限公司，上海0040；．北京國網(wǎng)經(jīng)濟(jì)技術(shù)研究院，北京0005）

采用分形插值的典型日負(fù)荷曲線改進(jìn)預(yù)測方法

李萌1，程浩忠1，楊宗麟2，韓新陽3，楊鏡非1
（1．上海交通大學(xué)電力傳輸與功率變換控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海200240；2．華東電網(wǎng)有限公司，上海200240；3．北京國網(wǎng)經(jīng)濟(jì)技術(shù)研究院，北京100052）

提出了一種結(jié)合粒子群算法的改進(jìn)分形預(yù)測方法。針對各年典型日負(fù)荷曲線形態(tài)相近且具有上移趨勢的特點(diǎn)，采用調(diào)整向量來描述該趨勢，在生成迭代函數(shù)系吸引子的過程中利用粒子群算法對調(diào)整向量進(jìn)行優(yōu)化。針對傳統(tǒng)分形預(yù)測中迭代初始點(diǎn)經(jīng)驗(yàn)性選取的問題，提出了利用“時(shí)序平移”的思想來計(jì)算迭代初始點(diǎn)的方法。結(jié)合調(diào)整向量優(yōu)化和時(shí)序平移思想，建立改進(jìn)的分形預(yù)測模型。最后，通過實(shí)例計(jì)算說明了該方法的有效性。

負(fù)荷曲線預(yù)測；典型日負(fù)荷；分形插值；迭代函數(shù)系；粒子群算法

中長期的負(fù)荷預(yù)測對于電力設(shè)備的投資、輸變電系統(tǒng)的規(guī)劃[1]等具有前瞻性的指導(dǎo)作用，是電力系統(tǒng)規(guī)劃的基礎(chǔ)，而典型日負(fù)荷曲線的預(yù)測則是中長期負(fù)荷預(yù)測的重要組成部分，其預(yù)測的準(zhǔn)確性對于把握未來負(fù)荷特性、模擬系統(tǒng)生產(chǎn)以及在市場環(huán)境下輔助售電公司選擇優(yōu)質(zhì)用戶[2]等具有重要意義。目前典型日負(fù)荷曲線的預(yù)測思路大體可以歸納為兩類：第1類是直接預(yù)測負(fù)荷曲線形狀，并利用典型日電量、最大負(fù)荷以及負(fù)荷率等特征參數(shù)的預(yù)測值對曲線進(jìn)行修正[3-4]；第2類則是通過分別獨(dú)立預(yù)測每一時(shí)刻的負(fù)荷值來預(yù)測曲線[5]。第1類方法對特征參數(shù)的預(yù)測精度要求較高，易造成預(yù)測誤差的積累；第2類方法雖然可以避免誤差累積的問題，但由其對不同時(shí)刻負(fù)荷值獨(dú)立預(yù)測，需要分別設(shè)定模型參數(shù)，操作復(fù)雜，也無法考慮到負(fù)荷的短期相關(guān)性[6]。

分形理論是非線性科學(xué)的前沿分支，近幾年被逐漸應(yīng)用到了電力負(fù)荷預(yù)測之中，具有不依賴任何負(fù)荷特征參數(shù)、操作簡便的優(yōu)點(diǎn)。該理論基于部分與整體的自相似性，從部分出發(fā)來確定整體的性質(zhì)，可以直接預(yù)測曲線的整體形狀。分形插值則是構(gòu)建分形曲線的方法，相比于Lagrange等插值方法更能反映出插值點(diǎn)之間的突變情況，具有較好的擬合強(qiáng)波動(dòng)性的曲線的能力[7]。文獻(xiàn)[8]利用重標(biāo)極差分析方法闡明了電力負(fù)荷的持久性，驗(yàn)證了分形插值法在電力負(fù)荷預(yù)測中的可行性；文獻(xiàn)[9]指出迭代函數(shù)系IFS（iterative function system）的迭代收斂過程與初始點(diǎn)的選取有關(guān)，提出了基于均方偏差最小化的分形外推差值算法；文獻(xiàn)[10]利用分形維數(shù)計(jì)算垂直比例因子的方法，避免了計(jì)算受到人為影響。這些文獻(xiàn)的預(yù)測對象均為短期內(nèi)日負(fù)荷曲線。相比于短期負(fù)荷預(yù)測，典型日的負(fù)荷曲線的預(yù)測時(shí)間跨度較長。典型日負(fù)荷不但受當(dāng)日氣象特征等短期隨機(jī)因素的影響，還會(huì)受到經(jīng)濟(jì)發(fā)展、電力需求增加等長期趨勢因素的影響，不同年份的典型日負(fù)荷曲線總體上呈現(xiàn)出增長趨勢，即后年的典型日負(fù)荷曲線一般要高于前年，造成各年典型日負(fù)荷曲線的IFS差距較大。傳統(tǒng)分形預(yù)測方法（適用于短期預(yù)測）直接利用歷史曲線的迭代函數(shù)系的加權(quán)平均值來近似未來曲線的IFS，該方法應(yīng)用于典型日負(fù)荷預(yù)測時(shí)將產(chǎn)生較大誤差。

針對傳統(tǒng)分形預(yù)測的這種局限，本文提出了利用調(diào)整向量來自適應(yīng)處理歷史負(fù)荷曲線的方法，并通過粒子群算法來優(yōu)化調(diào)整向量以減小預(yù)測誤差。利用“時(shí)序平移”[11]思想來求取最優(yōu)的迭代初始點(diǎn)，進(jìn)而預(yù)測典型日負(fù)荷曲線。最后結(jié)合某省級(jí)電網(wǎng)的負(fù)荷數(shù)據(jù)進(jìn)行方法的驗(yàn)證。

1 分形插值預(yù)測

1.1 分形插值原理

分形拼貼定理[7]指出，對于完備度量空間中的非空緊集S，存在一個(gè)迭代函數(shù)系IFS{R2∶wi，i= 1，2，…，N}，使得該IFS的吸引子A近似于該集合，其中wi為空間R2→R2的壓縮映射，其具有的仿射變換[12]為

即A經(jīng)過壓縮映射后的象仍為其本身。

分形插值方法[13]即為構(gòu)造上述IFS的過程。對于選定的插值點(diǎn)集合{（xi，yi）∶i=0，1，…，N}，xi表示第i個(gè)插值點(diǎn)所對應(yīng)的時(shí)刻，xi∈{1，2，…，24}，yi表示xi時(shí)刻對應(yīng)的負(fù)荷值；壓縮映射wi的各參數(shù)可由插值點(diǎn)集確定，即

式中：N為插值點(diǎn)個(gè)數(shù)；di為自由參數(shù)，又稱為垂直尺度因子，一般可憑經(jīng)驗(yàn)選取。為了避免di選取的隨意性，文獻(xiàn)[10]依據(jù)分形維數(shù)定理提出了一種計(jì)算方法，假設(shè)各垂直比例因子di大小相等，則有

式中，H為Hurst指數(shù)，是檢驗(yàn)電力負(fù)荷數(shù)據(jù)自相似性的重要指數(shù)。Hurst指數(shù)的計(jì)算方法在文獻(xiàn)[14-15]中有詳細(xì)的介紹，本文不再贅述。

1.2 分形插值的預(yù)測流程

一個(gè)系統(tǒng)的部分與整體之間某種形式的相似稱為自相似性[7]。若將負(fù)荷曲線構(gòu)成的時(shí)間序列視為一個(gè)系統(tǒng)，以日為時(shí)間尺度時(shí)，則該系統(tǒng)具有自相似性[9]。電力負(fù)荷具有自相似性是分形理論應(yīng)用于負(fù)荷預(yù)測的前提。分形拼貼定理說明，如果以未來負(fù)荷曲線為集合S，那么可以通過歷史負(fù)荷曲線來構(gòu)造一個(gè)統(tǒng)計(jì)意義上的IFS[13]，并且使得這個(gè)IFS的吸引子近似于未來負(fù)荷曲線。利用分形插值法進(jìn)行負(fù)荷曲線預(yù)測的過程如下。

步驟1選取各歷史典型日負(fù)荷曲線的插值點(diǎn)對。通?？蛇x擇曲線中的峰谷點(diǎn)、極值點(diǎn)、拐點(diǎn)等信息較為豐富的點(diǎn)[8]；

步驟2依據(jù)式（1）～式（4）計(jì)算各歷史曲線的IFS；

步驟3對各歷史曲線的迭代函數(shù)系加權(quán)平均，形成統(tǒng)計(jì)意義上的IFS，用該IFS來近似表示未來的典型日負(fù)荷曲線的IFS；

步驟4選取統(tǒng)計(jì)意義上的IFS的迭代初始點(diǎn)，利用確定型迭代算法或隨機(jī)算法[7]計(jì)算該函數(shù)系的吸引子，所得的吸引子即為未來負(fù)荷曲線的近似值。

文獻(xiàn)[8～10]均采用了以上的思路。在進(jìn)行短期日負(fù)荷曲線預(yù)測時(shí)，由于未來曲線與歷史曲線在縱坐標(biāo)方向的位置相近，步驟3中的近似才得以成立。由于受趨勢性因素的影響，不同年份的典型日負(fù)荷曲線在縱坐標(biāo)上的位置呈現(xiàn)出上移的趨勢，如果直接根據(jù)步驟1～步驟4進(jìn)行預(yù)測將會(huì)產(chǎn)生較大的誤差。因此，有必要對歷史曲線進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整（如對曲線進(jìn)行上下平移），使得調(diào)整后由歷史曲線所生成的統(tǒng)計(jì)意義上的IFS可以近似表示未來曲線的IFS。本文引入粒子群優(yōu)化PSO（particle swarm optimization）算法來實(shí)現(xiàn)歷史曲線的自動(dòng)調(diào)整。

2 調(diào)整向量的計(jì)算

本文提出的“調(diào)整向量”的作用為：反映各歷史曲線間趨勢變動(dòng)信息，對歷史負(fù)荷曲線進(jìn)行調(diào)整，并利用調(diào)整后的曲線實(shí)現(xiàn)對未來年負(fù)荷曲線的預(yù)測。要實(shí)現(xiàn)以上預(yù)測思路必須解決2個(gè)問題：①如何計(jì)算調(diào)整向量；②如何判斷計(jì)算所得的調(diào)整向量是合理的。

本文采用粒子群算法來求解調(diào)整向量，以預(yù)測誤差是否達(dá)最小來判斷調(diào)整向量的合理性。

PSO是一種進(jìn)化計(jì)算技術(shù)，該算法通過構(gòu)造“粒子群”進(jìn)行系統(tǒng)尋優(yōu)。以各調(diào)整向量構(gòu)成的矩陣（簡稱調(diào)整矩陣，下同）作為個(gè)體粒子，并設(shè)歷史負(fù)荷曲線的集合為{L1，L2，…，Lm}，其中Li=（Li，1，Li，2，…，Li，24）為第i年典型日的24個(gè)整點(diǎn)負(fù)荷值所構(gòu)成的向量。利用該集合利用PSO求解調(diào)整向量并實(shí)現(xiàn)預(yù)測的步驟如下。

（1）初始化參數(shù)，令迭代次數(shù)k=1。

（2）對于第k次迭代，設(shè)第p個(gè)粒子的位置為

式中，xkpi為第i條歷史曲線的調(diào)整向量，則調(diào)整后的歷史曲線集合為=+，i=1，2，…，m}。利用該集合依據(jù)第1.2節(jié)中的步驟1～步驟4生成一條預(yù)測曲線，并計(jì)算預(yù)測誤差。

（3）若迭代次數(shù)達(dá)設(shè)定的上限或滿足條件，

則尋優(yōu)結(jié)束，輸出預(yù)測曲線；否則轉(zhuǎn)步驟（4）。

（4）更新粒子位置與運(yùn)動(dòng)速度為

3 典型日負(fù)荷曲線預(yù)測的實(shí)現(xiàn)

本文提出預(yù)測方法主要分為2個(gè)部分：求取IFS的迭代初始點(diǎn)和預(yù)測未來年負(fù)荷曲線。

3.1 迭代初始點(diǎn)的求取

文獻(xiàn)[9]指出，迭代初始點(diǎn)的選取將影響IFS的迭代收斂速度。當(dāng)所選取的初始點(diǎn)落在分析的內(nèi)區(qū)間時(shí)，由已知的IFS迭代產(chǎn)生的所有點(diǎn)將全部落在吸引子上。因此如果初始點(diǎn)能足夠接近待預(yù)測負(fù)荷曲線中的某點(diǎn)時(shí)，迭代將加快收斂。

在預(yù)測過程中，待預(yù)測曲線的吸引子是未知的，無法直接選擇初始點(diǎn)，但如果能得到或預(yù)測得到待預(yù)測曲線上的某一點(diǎn)（該點(diǎn)必位于或者接近于吸引子），則可將該點(diǎn)作為迭代初始點(diǎn)。為了獲得迭代初始點(diǎn)，本文采用了“時(shí)序平移”的思想。“時(shí)序平移”是指利用歷史負(fù)荷曲線構(gòu)造一個(gè)新集合

式中，li，j為第i條歷史曲線的第j個(gè)負(fù)荷值。經(jīng)過“時(shí)序平移”，第i條歷史曲線的第1個(gè)時(shí)刻的負(fù)荷值變成了新集合中第i-1條曲線的最后一個(gè)時(shí)刻的負(fù)荷值。

以日為時(shí)間尺度下，歷史負(fù)荷曲線集合具有自相似性，且自相似性與曲線的起點(diǎn)無關(guān)，因此所生成的新曲線集合仍然具有自相似性。對新曲線集合利用PSO算法優(yōu)化其調(diào)整向量，設(shè)在一次迭代尋優(yōu)過程中生成的曲線為=（，…），則PSO算法的優(yōu)化目標(biāo)為的前23個(gè)點(diǎn)與的后23個(gè)點(diǎn)的相對誤差的平均值達(dá)最小，即

當(dāng)PSO算法尋優(yōu)結(jié)束后，由于電力負(fù)荷具有自相似性與持久性，的最后一個(gè)點(diǎn)將近似于待預(yù)測負(fù)荷曲線的第1個(gè)時(shí)刻的負(fù)荷值，于是可將點(diǎn)（1，）作為迭代初始點(diǎn)。歷史曲線集合L、新曲線集合Lnew和迭代初始點(diǎn)在時(shí)間軸上的位置關(guān)系如圖1所示。

圖1 L、Lnew以及初始點(diǎn)在時(shí)間軸上的位置Fig.1 L、Lnewand startpointon time axes

圖2 本文預(yù)測算法流程Fig.2 Flow chartofproposed forecasting calculation

3.2 負(fù)荷曲線的預(yù)測

4 算例分析

以某省2008—2011年夏季典型日負(fù)荷曲線為歷史數(shù)據(jù)，對2012年夏季典型日負(fù)荷進(jìn)行預(yù)測。算法流程如圖2所示。本例中，選取形態(tài)與夏季平均日負(fù)荷曲線最為接近，且無畸變的典型日負(fù)荷曲線。

本文在計(jì)算中發(fā)現(xiàn)，分形插值點(diǎn)的選取對預(yù)測的精度和迭代收斂速度有著較大影響。插值點(diǎn)選取過少，將無法描述曲線的細(xì)節(jié)變化，將產(chǎn)生較大的預(yù)測誤差，插值點(diǎn)選取過多則將影響迭代速度。為了兼顧預(yù)測精度與迭代速度，本文選定兩組插值點(diǎn)分別進(jìn)行預(yù)測：第1次插值的點(diǎn)為1、5、7、12、13、20、22共7個(gè)整點(diǎn)負(fù)荷，第2次插值的點(diǎn)為1，7，12，13，18，21，24共7個(gè)整點(diǎn)負(fù)荷。

預(yù)測的第1步為計(jì)算第2步所需要的迭代初始點(diǎn)。利用2008-2010年每年24個(gè)時(shí)刻的負(fù)荷值以及2011年第1個(gè)時(shí)刻負(fù)荷值，采用本文的方法預(yù)測2011年的后23個(gè)時(shí)刻和2012年第1個(gè)時(shí)刻的負(fù)荷值。預(yù)測中插值點(diǎn)對按上文選取，迭代初始點(diǎn)取為2011年第2個(gè)時(shí)刻負(fù)荷值。預(yù)測得到2012年夏季典型日負(fù)荷曲線的第1時(shí)刻的負(fù)荷值為15 362 MW。

預(yù)測的第2步為2012年負(fù)荷曲線的預(yù)測。利用第1步的預(yù)測結(jié)果，設(shè)定此步中的迭代初始點(diǎn)對為（1，15 362），插值點(diǎn)對與上一步相同。2012年夏季典型日的負(fù)荷曲線預(yù)測結(jié)果見表1。

為了說明本文提出的分形預(yù)測改進(jìn)方法的有效性，本文還利用不同方法對2012年的典型日負(fù)荷曲線進(jìn)行預(yù)測，由于篇幅有限僅展示各類方法的預(yù)測曲線如圖3所示，其中方法1為傳統(tǒng)分形方法，方法2在方法1的預(yù)測結(jié)果之上進(jìn)行了電量修正，方法3為文獻(xiàn)[4]介紹的方法。不同方法的預(yù)測誤差見表2，具體結(jié)果說明如下。

（1）本文提出的相對誤差的平均值為1.671%，低于其他3種方法。相比于傳統(tǒng)分形方法而言，其預(yù)測誤差大幅度降低。傳統(tǒng)分形方法因無法考慮各年間負(fù)荷曲線的增長信息，當(dāng)僅通過歷史負(fù)荷曲線生成的統(tǒng)計(jì)意義上的IFS進(jìn)行預(yù)測時(shí)將產(chǎn)生較大的誤差。

（2）方法2在方法1的基礎(chǔ)上進(jìn)行了電量修正，本例中利用2012年夏季典型日用電量的實(shí)際值對方法1中獲得的曲線進(jìn)行比例縮放，使修正后曲線對應(yīng)的日用電量與實(shí)際日用電量相等。進(jìn)行電量修正后，預(yù)測精度得到提高。但由于該方法需提前預(yù)測日用電量，當(dāng)日用電量的預(yù)測存在誤差時(shí)，該方法的誤差將增大。

（3）方法3在個(gè)別時(shí)刻負(fù)荷值的預(yù)測精度高于本文提出的方法，但其并不能較好地反映實(shí)際曲線的形態(tài)，總體上預(yù)測精度較低。

表1 某省電網(wǎng)2012年夏季典型日負(fù)荷預(yù)測值Tab.1 Load forecasting ofsummer typicaldaily load of one certain province in 2012

圖3 不同預(yù)測方法的結(jié)果對比Fig.3 Result comparison ofdifferentforecasting methods

表2 不同預(yù)測方法的誤差對比Tab.2 Error comparison of different forecasting methods %

5 結(jié)論

（1）電力負(fù)荷曲線的自相似性與時(shí)間起點(diǎn)的選取無關(guān)是本文利用“時(shí)序平移”來求取迭代初始點(diǎn)的理論基礎(chǔ)。

（2）傳統(tǒng)分形插值方法無法直接應(yīng)用于典型日負(fù)荷曲線預(yù)測，利用調(diào)整向量對歷史曲線進(jìn)行處理，可以克服這種局限。算例證明了本文提出的改進(jìn)分形預(yù)測方法具有較高的精度，可以滿足工程實(shí)踐的要求。

（3）與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、支持向量機(jī)等方法相比，本文所提算法對樣本容量要求低，可同時(shí)預(yù)測1 d 24點(diǎn)的負(fù)荷值。此外，本文的方法并不需要提前對電量、負(fù)荷率等參數(shù)進(jìn)行預(yù)測，具有較強(qiáng)的操作性。

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Improved Forecasting Method of TypicalDaily Load Curve Based on FractalInterpolation

LIMeng1，CHENG Haozhong1，YANG Zonglin2，HAN Xinyang3，YANG Jingfei1
（1.Key Laboratory ofControlofPower Transmission and Transformation ofMinistry ofeducation，ShanghaiJiao Tong University，Shanghai200240，China；2.EastChina Grid Company Limited，Shanghai200240，China；3.State Power Economic Research Institute，Beijing 100052，China）

This paper proposes an improved method of forecasting typical daily load curve combined with particle swarm optimization.In point of the typicaldaily load curve characteristics of similar shape and upward trend year by year，this paper adopts adjustment vector to express the trend，and optimizes the adjustment vector using particle swarm algorithm in the progress ofgenerating attractors ofiterative function system.Aiming atthe experientialselection problems ofthe initialiteration pointin the traditionalfractalprediction，a method based on time-shifting technique is proposed to calculate the initialpointfor the fractalinterpretation iteration.Combined with the adjustmentvector optimization and time-shifting thought，an improved fractal prediction model is then established.Case study results show thatthe proposed algorithm possesses advantages ofmore accurate forecasting results．

load curve forecasting；typical day load；fractal interpretation；iterative function system；particle swarm optimization（PSO）

TM715

A

1003-8930（2015）03-0036-06

10.3969/j.issn.1003-8930.2015.03.07

李萌（1988—），女，碩士研究生，研究方向?yàn)殡娋W(wǎng)規(guī)劃與優(yōu)化、電力系統(tǒng)負(fù)荷預(yù)測。Email：lmfighting@sina.com

2013-08-12；

2013-11-15

2012年度上海市優(yōu)秀學(xué)術(shù)帶頭人計(jì)劃項(xiàng)目（12XD1402900）；上海領(lǐng)軍人才資助項(xiàng)目（2012020）

程浩忠（1962—），男，博士，教授，研究方向?yàn)殡娋W(wǎng)規(guī)劃、電壓穩(wěn)定性、電能質(zhì)量。Email：hzcheng@sjtu.edu.cn

楊宗麟（1956—），男，本科，高級(jí)工程師，研究方向?yàn)殡娏κ袌龇治鲱A(yù)測、電力規(guī)劃。Email：wmy0817@163.com