徐霞飛，張平樂

考慮彈性支撐的索力估算

徐霞飛，張平樂

(湖南省武靖高速公路建設(shè)開發(fā)有限公司，湖南邵陽422400)

本文利用D’Alembert原理，對(duì)索在彈性支撐條件下的自由振動(dòng)頻率方程和索力的解析表達(dá)式進(jìn)行了推導(dǎo),并與有限元結(jié)果進(jìn)行了比較．結(jié)果表明，利用振動(dòng)法測(cè)索力時(shí)，考慮索彈性支撐條件，可運(yùn)用本文給出的索力公式進(jìn)行索力估算．

彈性支撐條件；頻率；振動(dòng)法；索力

目前，振動(dòng)法是索力估算中采用最廣泛的方法[1-3]．而現(xiàn)今幾乎所有索力是假定索兩端的邊界約束為理想的固支或簡(jiǎn)支條件下采用梁理論或弦理論而求得[4-5]．但索的實(shí)際邊界并不是理想的固支或簡(jiǎn)支，索力的估算精度會(huì)受實(shí)際邊界條件的影響[6]．本文利用D’Alembert原理，推導(dǎo)出了索在彈性支撐下的自由振動(dòng)頻率方程和索力的解析表達(dá)式，并與有限元結(jié)果進(jìn)行了比較．

1 索的基本方程及其求解

1.1索的基本方程

不考慮索本身的抗彎剛度影響，索的自由振動(dòng)微分方程可以由D’Alembert原理推導(dǎo)得出[7]

式中T為索力；(,)u x t為索的橫向位移函數(shù)；x為縱向坐標(biāo)；()m x為索的單位長(zhǎng)度的質(zhì)量；t為時(shí)間．

方程(1)為線性微分方程，索的振型函數(shù)可采用分離變量法求得式中w為索的自振頻率；1C-4C為根據(jù)初始條件和邊界條件可確定的待定系數(shù)．

1.2彈性支撐條件下的自由振動(dòng)頻率方程

結(jié)合索的實(shí)際邊界約束條件，不考慮索的抗彎剛度的影響，運(yùn)用弦理論，建立如圖1的力學(xué)模型，其邊界條件滿足

式中1K￠、3K￠為索兩端的豎向支承剛度．

圖1 索在彈性支撐條件下的弦模型

引入兩個(gè)無量綱參數(shù)1k￠、3k￠，其中

式中1k￠、3k￠在0-￥之間取值，取兩端點(diǎn)值時(shí)，表示不同的特殊支撐剛度．

將式(2)、(4)代入式(3)得

因?yàn)?C、2C不可能同時(shí)為零，故式(5)的系數(shù)行列式的值一定等于零，即

展開式(6)化簡(jiǎn)得

式中

式(7)為索在彈性支撐條件下的自由振動(dòng)特征頻率方程，此特征方程為一無法直接求解的超越方程，但可以通過迭代的方法求解．

近一步將式(7)簡(jiǎn)化得

式中

n表示所求索的頻率的階數(shù)．

由于A￠、B￠不可能同時(shí)等于零，則一定有

這樣以下函數(shù)可以被定義：

2.1特征頻率方程的數(shù)值分析

首先假定不同的邊界支撐條件，求解無量綱特征頻率方程，將其結(jié)果代入上述(12)中，就可得到此函數(shù)的各階函數(shù)值．

2 自由振動(dòng)特征頻率方程數(shù)值分析

(1)當(dāng)0￡k1￠￡78.000 0且0￡k3￠￡78.000 0時(shí)，使無量綱參數(shù)k1￠、k3￠分別取下列幾組不同值：k1￠=0、0￡k3￠￡78.000 0；k1￠=78.000 0、0￡k3￠￡78.000 0；0￡k1￠=k3￠￡78.000 0；則方程(12)的前三階值的柱狀圖如圖2所示．

圖2 不同支撐剛度下函數(shù)nw前三階值的柱狀圖

由圖2可知：當(dāng)0￡k1￠￡78.000 0且0￡k3￠￡78.000 0時(shí)，對(duì)于第一、第二階頻率，式(12)沒有統(tǒng)一的函數(shù)值；但對(duì)于第三階頻率，w3的值都接近于2p．

(2)當(dāng)78.000 0￡k1￠且78.000 0￡k3￠時(shí)，使無量綱參數(shù)k1￠、k3￠分別取下列幾組不同值：k1￠=78.000 0、78.000 0￡k3￠￡1 000.000 0；k1￠=1 000.000 0、78.000 0￡k3￠￡1 000.000 0；78.000 0￡k1￠=k3￠￡1 000.000 0．則方程(12)的前三階值的柱狀圖如圖3所示．

圖3 不同邊界剛度下函數(shù)nw前三階值的柱狀圖

由圖3可知：當(dāng)1k￠378.000 0且3k￠378.000 0時(shí)，對(duì)于第二、第三階頻率，式(12)沒有統(tǒng)一的函數(shù)值；而對(duì)于第一階頻率，1w的值都接近似等于p．

綜上所述：在討論范圍內(nèi)，對(duì)于第一階頻率，函數(shù)1w的值都近似等于p，那么可假設(shè)得對(duì)于第三階頻率，函數(shù)3w的值都近似等于2p，那么可假設(shè)得

2.2特征頻率方程的解

索在考慮邊界約束條件影響時(shí)，由上述數(shù)值分析所得結(jié)論可知，其自振頻率可按下式計(jì)算：

(1)當(dāng)1k￠378.000 0且3k￠378.000 0時(shí)，對(duì)于第一階頻率，由

(2)當(dāng)0￡k1￠￡78.000 0且0￡k3￠￡78.000 0時(shí)，對(duì)于第三階頻率，由可知

式中1w、3w分別表示索的第一、第三階頻率；其它符號(hào)同前．

式(13)為索的頻率表達(dá)式，其解需要通過迭代才能求得．首先由已知的邊界條件1K￠、3K￠和索力T的值，先假定一近似的初始頻率1w或3w，然后代入式(10)求得1q￠或3q￠，再代入公式(13)求得1w或3w，如果前后兩次頻率之差小于容許誤差，則迭代停止，否則，繼續(xù)循環(huán)迭代，至之滿足所需的精度為止．

3 彈性支撐條件下的索力公式

從式(13)可變形得索的索力估算公式(14)．l

采用第一階頻率進(jìn)行索力估算時(shí)

(k1￠>78.000 0且k3￠>78.000 0)；

l采用第三階頻率進(jìn)行索力估算時(shí)

(01k￠￡￡78.000 0且03k￠

￡￡78.000 0)．式中1w、3w分別表示索的第一、第三階實(shí)測(cè)頻率；其它符號(hào)同前．

上述兩式為采用索的第一階和第三階頻率運(yùn)用弦理論求得的考慮彈性支撐條件的索力估算的一般表達(dá)式．式(14)是迭代表達(dá)式，通過已知的邊界條件1K￠、3K￠和實(shí)測(cè)頻率1w或3w，先假定設(shè)計(jì)索力為索力的初值0T，然后代入式(10)求得1q￠或3q￠，再代入索力估算公式(14)求得索力T，如果前后兩次索力之差小于容許誤差，則迭代停止，否則，繼續(xù)循環(huán)迭代，至之滿足所需的精度為止．

本文給出的索力公式最關(guān)鍵的是正確測(cè)量出索的第一階或第三階頻率，關(guān)于索的頻率的測(cè)試可參見文獻(xiàn)[8-9]．

4 索力公式驗(yàn)證

現(xiàn)任取一根索，其索的物理參數(shù)見表1所示．

表1 索的物理參數(shù)

考慮此索受不同彈性支撐條件的約束，通過有限元計(jì)算出此索在相應(yīng)彈性支撐條件下的各階頻率，將本文公式(14)與真實(shí)索力計(jì)算結(jié)果比較見表2．

表2 索力計(jì)算值的比較(kN)

表中1K￠、3K￠、為支撐剛度，偏差為本文公式與真實(shí)索力之差的偏差，由上表可知，采用本文公式計(jì)算索在彈性支撐條件下的索力具有足夠的精度．

4 結(jié)論

本文利用D’Alembert原理，對(duì)索在彈性支撐條件下的自由振動(dòng)頻率方程和索力的解析表達(dá)式進(jìn)行了推導(dǎo),并與有限元結(jié)果進(jìn)行了比較．結(jié)果表明，考慮索的彈性支撐條件時(shí)，可運(yùn)用本文索力公式進(jìn)行索力估算．

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(責(zé)任編校：陳智全)

Estimation of Cable Tension under Elastic Support Conditions

XU Xia-fei,ZHANG Ping-lei
(Hunan Wu Jing Highway Construction and Development Co.,Ltd.,Shaoyang,Hunan 422400,China)

In this paper,according to D’Alembert principle,the natural frequency equation and the explicit expression of the cable tension with elastic support conditions are deduced,and compared with finite element results.The results show that the tension of cable measurement by vibration method considering the elastic support conditions of cable,the formula to cable tension is given in this paperand it can be used to calculate the tension of cable.

elastic support conditions;frequency;the vibration method;cable tension

U443.38

A

10.3969/j.issn.1672-7304.2015.01.005

1672–7304(2015)01–0019–04

2014-12-13

徐霞飛(1979-)，男，湖南漢壽人，碩士研究生。主要從事索結(jié)構(gòu)研究、橋梁隧道施工管理．