高振斌，孫月明，李景春

（1.河北工業(yè)大學電子信息工程學院，天津 300401；2.國家無線電監(jiān)測中心，北京 100037）

基于相圖分割的Duffing混沌系統(tǒng)狀態(tài)判定方法

高振斌1，孫月明1，李景春2

（1.河北工業(yè)大學電子信息工程學院，天津 300401；2.國家無線電監(jiān)測中心，北京 100037）

判別Duffing混沌系統(tǒng)所處的狀態(tài)是采用Duffing混沌振子進行微弱周期信號檢測的關(guān)鍵問題．本文針對系統(tǒng)在混沌和大周期兩種狀態(tài)相圖的明顯區(qū)別，提出了一種基于相圖分割的系統(tǒng)狀態(tài)判定方法．該方法首先在相圖中做一簡單閉合區(qū)域，進而通過統(tǒng)計相軌跡點處于區(qū)域外的數(shù)量來識別系統(tǒng)的狀態(tài)．給出了實現(xiàn)該方法的主要步驟，并從微弱信號檢測成功率和運算復雜度的角度進行了分析．實驗結(jié)果表明該方法可用于30dB信噪比下弱正弦信號的檢測，并且硬件實現(xiàn)簡單．

微弱信號檢測；混沌；Duffing振子；相圖分割；信噪比

0 引言

由于混沌系統(tǒng)具有對微弱信號敏感而對噪聲免疫的特性，它在微弱信號檢測領(lǐng)域得到了廣泛的關(guān)注，開辟了新的應(yīng)用空間．自1992年BrownR等人[1]首次提出了運用Duffing振子對初值敏感這一特性設(shè)計傳感器的方法以來，混沌理論不斷得到改進和發(fā)展．1997年，王冠宇等人[2-3]研究了Duffing振子在微弱信號檢測方面的應(yīng)用，實現(xiàn)已知頻率下信號幅度的測量，并把可以檢測的信噪比范圍延伸到為26dB，對這一領(lǐng)域的發(fā)展起到了推動作用．之后，哈爾濱工業(yè)大學的聶春燕[4]又對Duffing振子陣列掃描的方法進行了研究，以此測量微弱正弦信號的幅值、相位、頻率等參數(shù)，獲得較好的效果．

由此可知，Duffing混沌系統(tǒng)在微弱信號檢測中領(lǐng)域具有很大優(yōu)勢，提供了與傳統(tǒng)檢測方法不同的檢測途徑．實際應(yīng)用中，混沌系統(tǒng)狀態(tài)的準確判定是Duffing振子成功用于微弱信號檢測的關(guān)鍵．傳統(tǒng)的時序圖法不利于計算機自動處理，而Lyapunov指數(shù)法又易于受到噪聲的影響．本文利用Duffing振子系統(tǒng)在狀態(tài)變化前后相軌跡的明顯差別，提出了一種基于相圖分割的微弱信號檢測方法，并通過計算說明其可行性．

1 信號檢測與狀態(tài)判別原理

1.1 Duffing振子信號檢測原理

根據(jù)已有的研究成果，本文采用和文獻[5]相同的Duffing振子檢測系統(tǒng)模型[5]

其中：k是阻尼比；χt+χ3t是非線性恢復力；cos0t是周期性策動力；χit為待測信號．

由混沌理論可知，沒有待測信號χit時（χit=0），在k固定的情況下，從0逐漸增大的過程中，方程的解所形成的相空間軌跡會依次表現(xiàn)為同宿軌道、倍周期分岔軌道和混沌狀態(tài)[4]．且當增大到由混沌轉(zhuǎn)向大周期的臨界值d時，軌跡會突然發(fā)生變化，從混沌狀態(tài)轉(zhuǎn)向大周期狀態(tài)，如圖1所示．

依據(jù)這個特點，可以得到使用混沌系統(tǒng)檢測微弱正弦信號的原理：如果把系統(tǒng)的策動力的幅值設(shè)為略小于臨界值d，使混沌系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)．然后將待測信號χit輸入系統(tǒng)，如果系統(tǒng)的相軌跡從混沌狀態(tài)變?yōu)榇蟪叨戎芷跔顟B(tài)，就說明待測信號中包含有與內(nèi)策動力信號頻率相同的正弦信號．

基于這一原理檢測微弱正弦信號時，需要解決的關(guān)鍵問題是如何區(qū)分系統(tǒng)是處于混沌狀態(tài)還是大周期狀態(tài)．由于待測信號中存在噪聲，相圖中的軌跡曲線變得模糊．直接觀察系統(tǒng)相軌跡圖判別系統(tǒng)狀態(tài)的傳統(tǒng)方式，雖然簡潔直觀，但不宜于在計算機上或電路上實現(xiàn)自動判斷．時序圖法可通過示波器一次輸出多個信號狀態(tài)，而混沌狀態(tài)和大周期狀態(tài)所對應(yīng)的時序波形不同，比較即可區(qū)分，效率確實得到了提高，但由于系統(tǒng)在臨界狀態(tài)下時序波形多樣，難以分辨，檢測效果仍不理想．相對而言準確性高的Lyapunov指數(shù)法經(jīng)過數(shù)值計算，以定量指標作為標準，分析軌跡趨勢，判斷運動狀態(tài)，但原理與計算方法都較為復雜，并且受噪聲影響較大．針對這一問題，本文采用相圖分割的方法判別系統(tǒng)狀態(tài)，以實現(xiàn)微弱信號檢測目的．

1.2 基于相圖分割的系統(tǒng)狀態(tài)判別方法

由于Duffing振子系統(tǒng)在混沌狀態(tài)和大周期狀態(tài)時系統(tǒng)相圖截然不同，如果在其相對規(guī)則的環(huán)狀軌道內(nèi)設(shè)置一個盡可能大的封閉區(qū)域，那么大周期狀態(tài)下軌跡點主要集中在區(qū)域外，混沌狀態(tài)下部分軌跡點落在區(qū)域內(nèi)．通過統(tǒng)計相軌跡點處于區(qū)域外的數(shù)量，就可以判定相系統(tǒng)的狀態(tài)．

注意到Duffing振子的相圖特征，相圖分割法的基本思路是：在Duffing振子的二維相圖中做出一封閉區(qū)域，把相軌跡圖中所有點分為域內(nèi)點和域外點2部分，域外點占總軌跡點數(shù)的比例越大，說明系統(tǒng)越接近大周期狀態(tài)．具體實現(xiàn)步驟為：1）在Duffing振子的規(guī)則環(huán)狀軌道內(nèi)建立一盡可能大的不與該軌道相交的封閉區(qū)域，并且邊界線方程要取的盡量簡單些．2）統(tǒng)計相軌跡在區(qū)域內(nèi)和區(qū)域外的點，并求出區(qū)域外的點數(shù)No占總點數(shù)Nt的比值Nr=No/Nt．3）對輸出結(jié)果的解釋是：比值足夠大，說明點主要集中在區(qū)域外，符合大周期狀態(tài)特點，判定輸入中存在正弦信號．

根據(jù)實現(xiàn)步驟，本文選擇方形區(qū)域這種非常容易實現(xiàn)的方式，即方域分割，邊界線如圖2所示，邊界線方程為

圖1 混沌狀態(tài)和大周期狀態(tài)Fig.1 Thechaoticstateandperiodicstatus

式中：R為方形區(qū)域的邊長，其選取應(yīng)滿足不與環(huán)形軌跡相交并且要使得方形區(qū)域盡可能大．

2 信號檢測的可行性與可實現(xiàn)性分析

2.1 可行性實驗研究

由于Duffing方程為非線性方程,它不存在解析解,故只能依靠計算機數(shù)值計算來求出它的解．計算中采用定步長四階龍格-庫塔方法對Duffing方程進行求解．

根據(jù)混沌系統(tǒng)信號檢測理論，當周期策動力的頻率與待測信號中正弦信號的頻率相同，即0=20時，系統(tǒng)由混沌狀態(tài)轉(zhuǎn)為大周期狀態(tài)，此時，區(qū)域外的點數(shù)No占總點數(shù)Nt的比值Nr取最大值．

圖2 方域分割示意圖Fig.2 Thedomainsegmentationdiagram

不同信噪比下計算的結(jié)果如圖3所示．圖中橫坐標為信號搜索使用的系統(tǒng)周期策動力角頻率0，縱坐標為該頻率下相軌跡中方域外的點占總的相軌跡點數(shù)的比值Nr．圖3a）、圖3b）給出了信噪比為10dB和20 dB的條件下的結(jié)果．可以看出，比值Nr最大時對應(yīng)的0與待測信號中正弦信號頻率相同，符合理論預測；圖3c）、圖3d）都是信噪比為30dB時得到的計算結(jié)果，但圖3c）所示跟理論預測相符，能檢測到信號，圖3d）所示不符合理論預測，檢測失敗．

圖3 單次搜索時軌跡圖中方域外軌跡點所占比例Fig.3 Thepercentageofthepointsthatoutsidethesquareareainasinglesearch

這是因為在仿真計算過程中，噪聲是隨機產(chǎn)生的．由于噪聲的隨機性，相同信噪比條件下的噪聲信號也會有所不同，單次檢測結(jié)果出現(xiàn)偶然性．為了使檢測結(jié)果正確可靠，在同一信噪比下重復上述過程，進行多次實驗，再統(tǒng)計各個搜索頻率下得到最大Nr的次數(shù)Pi，

Pi=第i頻率下Nri大于其他各頻率下Nr的次數(shù)/總試驗次數(shù)

Pi即判定輸入中有該頻率正弦信號的概率．如果某一頻率下的概率值Pi明顯大于其他頻率點，則可以認為輸入中有該頻率的正弦信號，具體方法如下．

取實驗次數(shù)為500，方域分割檢測微弱信號的實現(xiàn)步驟為：

1）根據(jù)設(shè)定的參數(shù)，依次選取0dB到37dB信噪比的待測信號輸入到檢測系統(tǒng)，統(tǒng)計方域內(nèi)、外點數(shù)，得到0=15，16，17，18，19，20，21，22，23，24，25的11個頻率點下，相應(yīng)相軌跡圖中方域外的軌跡點占總軌跡點數(shù)的比值Nri．

2）求取Nri最大值對應(yīng)的0．將該頻率點得到最大Nri的次數(shù)Ci加1．

3）重復上述過程500次，求各頻點下得到最大百分比的次數(shù)Ci，除以總實驗次數(shù)500，得到被判定輸入中包含該頻率正弦信號的概率Pi．

圖4 不同信噪比下信號檢測結(jié)果Fig.4 Thesignaldetectionresultunderdifferentsignal-to-noiseratio

表1 方域分割法不同信噪比下的信號檢測結(jié)果Fig.1 The signal detection resultsunder differentsignal-to-noise ratio

由表1可以看出，在信噪比取值為0dB，10dB，20dB時，Nri最大值對應(yīng)的0全部與待檢信號頻率i相同，即單次檢測成功的概率為100%，說明信噪比較高的情況下方域分割法的檢測性能很好．降低待測信號信噪比至27dB，雖然Nri最大值對應(yīng)頻率0i的次數(shù)不為0，但其僅為總次數(shù)的1.8%，但檢測效力依然較高．進一步降低信噪比至30dB，從圖4c）中可以看到0i時Pi較之前波動的幅度增大，最大達到了5.52%．當信噪比降為37dB時，0=15，16，……，25各頻率點對應(yīng)的Pi分別為12.4%，12.4%，10.4%，7%，6.4%，25.4%，5.8%，6.8%，5.8%，3.2%，4.4%，但在0=i時Pi=25.4%，大于其他頻率下Pi的取值，而且區(qū)別比較明顯，可以認為輸入中含有該頻率的正弦信號．因此，方域分割法能用于信噪比大于30dB時信號檢測．在信噪比更低時，檢測性能逐漸變差，但通過多次檢驗仍可以推斷出輸入中可能含有某頻率分量的信號．

2.2 可實現(xiàn)性分析

在使用數(shù)字電路實現(xiàn)基于混沌振子的信號檢測系統(tǒng)中，為了節(jié)省資源，一般使用歸一化定點數(shù)進行運算．為了統(tǒng)計方域外的軌跡點數(shù)，需要把軌跡點坐標（x,y）中x和y的值與閾值進行比較，x、y中任何一個大于閾值則說明此軌跡點在方域外．對方域外軌跡點的個數(shù)進行記數(shù)即可判定系統(tǒng)狀態(tài)．方域分割的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)如圖5．

判別流程具體為：

1）將算法實現(xiàn)過程中求解所得到的軌跡點的坐標（x,y）分別與設(shè)定的閾值進行比較，當x,y的絕對值大于閾值時，比較器輸出為'1'．

圖5 方域分割實現(xiàn)框圖Fig.5 Blockdiagramofthesquaredomainsegmentation

2）兩個比較器的輸出經(jīng)過或門給到計數(shù)器A的計數(shù)使能端，當使能端為'1'時計數(shù)器A計數(shù)．

3）計數(shù)器A記錄方域為軌跡點的個數(shù)，計數(shù)器B記錄所有軌跡點的個數(shù)．

4）計數(shù)得到的值通過除法器，得到的即為方域外點所占百分比．

需要說明的是，在使用定點數(shù)運算時可以簡化比較器電路，只對部分有效位進行比較．比如可以只比較整數(shù)部分是否大于1，或只判斷其中某一位為'1'即可．另外，在每次循環(huán)計算的輸入數(shù)據(jù)個數(shù)一定時，計數(shù)器B可以省略，而且也不需要再進行除法運算．因此，方域分割法判定系統(tǒng)混沌狀態(tài)的實現(xiàn)電路較為簡單．

3 結(jié)束語

本文根據(jù)Duffing振子混沌系統(tǒng)在混沌狀態(tài)和大周期狀態(tài)下相軌跡的明顯差別，提出了基于相圖分割的微弱正弦信號檢測方法．在輸入信噪比優(yōu)于20dB時，通過一次檢測即可判定輸入信號的頻率，檢測效果良好．在輸入信噪比更低時，可通過多次檢測求概率的方法判定輸入中含有某頻率成分的信號．從硬件實現(xiàn)的角度來看，方域分割法判定系統(tǒng)狀態(tài)僅需要比較器、計數(shù)器和除法器，且比較器可簡化，除法器可省略，比較易于工程實現(xiàn)．在工程實際中，可以根據(jù)具體條件，選擇合適的實施方案．

[1]BrownR，ChuaL，PoppB．Issensitivedependenceoninitialconditionsnature'ssen-sorydevice[J]．InternationalJournalofBifurcationandChaos，1992，2（1）：193-199．

[2]王冠宇，陶國良，陳行，等．混沌振子在強噪聲背景信號檢測中的應(yīng)用[J]．儀器儀表學報，1997，18（2）：209-212．

[3]王冠宇，陳大軍，林建亞，等．Duffing振子微弱信號檢測方法的統(tǒng)計特性研究[J]．電子學報，1998，26（10）：38-44．

[4]聶春燕，石要武，劉振澤．混沌系統(tǒng)測量nV級正弦信號方法的研究[J]．電工技術(shù)學報，2002，17（5）：87-90．

[5]王雅曼．弱信號檢測技術(shù)研究[J]．科技創(chuàng)新導報，2011（7）：13-14．

[責任編輯 代俊秋]

AmethodforDuffingchaoticsystemstatusidentificationbasedonphasediagramssegmentation

GAOZhen-bin1，SUNYue-ming1，LIJing-chun2

(1.SchoolofElectronicandInformationEngineering,HebeiUniversityofTechnology,Tianjin300401,China;2.TheStateRadioMonitoringCenter,Beijing100037,China)

IntheweakperiodicsignaldetectionsystemswhichuseDuffingchaoticoscillator,thekeyproblemishow todiscriminatethestateofDuffingchaoticsystem.Inview oftheobviousdifferencesbetweentwokindsofsystemphasediagrams,chaosandlargecycle,anewsystemstatusdeterminationmethodthatbasedonthephasediagramsegmentation isproposed.Bymeansofmakingasimpleareainthephasediagram,thepointsonthephasetrackareseparatedintotwoparts,andthenthestateofthesystemcanbededucedby identifyingwhichareathepointsaremainlylocatedin.Themainstepsofthemethodaregiven.Thecorrectrecognitionrateandthecomputationcomplexityareanalyzed.Itshows thatthismethodisnotonlyfeasibleforweaksinusoidalsignaldetectingwith 30dBsignal-to-noise-ratio,butalsosimpleforimplementation.

weaksignaldetection;chaos;Duffingchaoticoscillator;phasediagramssegmentation;signaltonoiseratio

TN911.23

A

1007-2373(2015)01-0023-05

10.14081/j.cnki.hgdxb.2015.01.005

2014-09-28

國家自然科學基金（61139001）

高振斌（1973-），男（漢族），副教授，Email：gao-zb@163.com．