（甘肅省臨澤縣第四中學(xué)734200）

趣談一個幾何模型的應(yīng)用

李希英（甘肅省臨澤縣第四中學(xué)734200）

縱觀近幾年的中考試題及各類競賽試題，“最佳點”“最短距離”等問題已成為當(dāng)前命題的一個新的亮點。筆者結(jié)合近幾年的數(shù)學(xué)實踐對北師大版教材中的一課后習(xí)題進行剖析與論述。

一、幾何模型的引入及分析

（一）幾何模型的引入

北師大版教材七年級下冊第228頁“問題解決”如下：如圖1所示，要在街道旁修建一個奶站，向居民區(qū)A、B提供牛奶，奶站應(yīng)建在何處，才能使從A、B到它的距離之和最短？

作法：1.作出點A關(guān)于直線l對稱點A′；

2.連接A′B，交l于點P，點P就是奶站的位置。

（二）幾何模型分析

1.特點：已知一定直線同旁有兩定點，可以從此直線上確定一點到兩定點的距離之和最短。

2.理論基礎(chǔ)：軸對稱的性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系（兩點之間，線段最短。）

3.基本性質(zhì)。觀察此圖形（圖2），不難發(fā)現(xiàn)其中的多種關(guān)系，姑且歸納為“1、2、3”。

1——一對全等三角形：Rt△AOP≌Rt△A′OP；

2——兩組相等線段：OA=OA′，AP=A′P；

3——三個相等的角：∠1=∠2=∠3。

二、幾何模型的應(yīng)用

（一）基本運用

由基本圖形可以看出，點P為一動點，可以從直線L上任取，但“最佳位置”卻只有一個，當(dāng)“最佳位置”確定下來以后，問題便化動為靜。因此，在解決一些問題時，往往需要先確定“最佳位置”即作圖后，再進行推導(dǎo)與計算，下面舉幾例加以說明。

1.與三角形相關(guān)。把此模型與三角形，特別是特殊三角形（如直角三角形、等腰三角形）的性質(zhì)相結(jié)合解決問題。

例1：如圖3，一牧童在小河南4千米的A處牧馬，河水向正東方向流去而他正處于他的小屋B西8千米、北7千米處。他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家，他完成這件事所走的最短距離是多少千米？

分析：（1）首先解定保證牧童所走的路程最短的飲馬點。作點A關(guān)于小河的對稱點A′，連接A′B，交小河于點O，點O即為飲馬點。

（2）弄清楚應(yīng)如何恰當(dāng)使用題目中的數(shù)量進行計算。

連接AO，則牧童所走的路程為AO+BO= A′O+OB=A′B。

在Rt△A′BC中，A′C=4+4+7=15（千米），BC=8（千米），則A′B=

所以，牧童完成這件事所走的最短距離為17千米。

點評：本題緊扣原型，賦予了實際情境與新意，同時在計算時用到了重要定理——勾股定理，真可謂獨具匠心。

2.與四邊形相關(guān)。巧妙地把菱形、矩形、正方形的軸對稱性作為本模型的有效載體。

例2：如圖4，在邊長為6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E為AB的中點，F(xiàn)為AC上一動點，則EF+BF的最小值是多少？

分析：根據(jù)菱形的軸對稱性可知，點B關(guān)于AC的對稱點為點D，連接DE交AC于點F（圖5），則點F使BF+EF的值最小，最小值為DE的長，在Rt△ADE中，DE=AEtan60°=3×=3。

點評：本題恰當(dāng)?shù)剡\用了菱形的軸對稱性。

3.與圓相關(guān)。

小結(jié)：通過以上幾例不難看出，當(dāng)模型與常見的平面圖形相結(jié)合時，通常以計算題的形式來呈現(xiàn)。在解決此類問題時，往往先確定動點的“最佳位置”，然后借助直角三角形的重要性質(zhì)——勾股定理來解決。

4.與平面直角坐標(biāo)系相關(guān)。

例4：設(shè)想用電腦模擬臺球游戲，約定：

（1）每個球或球袋都視為一個點，若不遇障礙各球均沿直線前進；

（2）A球擊中B球，意味著B球在A球前進的路線上，且B球被撞擊后沿著A球原來的方向前進；

（3）球撞擊桌邊后的反射角等于入射角。

如圖6，設(shè)桌面上只剩下白球A和6號球B，希望A球撞擊桌邊上點C后反彈再擊中球B，請給出一個算法（在電腦程序中把解決問題的方法稱為算法），告知電腦怎樣找到點C，并求出點C的坐標(biāo)。

分析：假設(shè)A球撞擊桌邊OP后反彈再擊中B球，確定點C的位置是比較簡單的，方法同前面所述，關(guān)鍵是如何求出點C的坐標(biāo)。點A（40，60）關(guān)于x軸的對稱點A′的坐標(biāo)為（40，-60），直線A′B與x軸的交點即是點C，故可設(shè)直線A′B的解析式為y=kx+b，則

解得k=3，b=-180。所以y=3x-180。令y=0，即3x-180=0，x=60。所以點C的坐標(biāo)為（60，0）。

點評：此題構(gòu)思精巧，綜合考查了軸對稱的性質(zhì)，平面直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)的特征、一次函數(shù)的知識。表面看來，題目無從下手，問題的突破口就在于如何實現(xiàn)與“基本圖形”的溝通。

（二）跨學(xué)科應(yīng)用

此模型不僅可以用來解決許多數(shù)學(xué)問題，也可以解決其他學(xué)科中的相關(guān)問題，如物理學(xué)中的光線反射問題。例如，如圖7，一光源從點A發(fā)出光線，經(jīng)平面鏡L反射后過點B，請確定入射點O、入射光線、反射光線的位置。這一問題就需要借助于模型中的“角相等”這一性質(zhì)來準(zhǔn)確作圖。

（三）拓展應(yīng)用

例5：如圖8，已知牧馬營地在M處，每天牧馬人要趕著馬群先到小河L的河邊飲水，再到草地m吃草，然后回到營地M。試設(shè)計出最短的放牧路線。

分析：分別作出點M關(guān)于小河L及草地邊沿M的對稱點P和Q，連接PQ，分別交小河及草地邊沿于點D、E，放牧路線應(yīng)為M-D-E-M。

以上是筆者對數(shù)學(xué)實踐中遇到的一道課后習(xí)題的研究與探討。尤其是在中考復(fù)習(xí)中，我們應(yīng)該深入挖掘教材，善于處理典型題目，以點帶面，真正起到舉一反三、事半功倍的效果，從面大大提高復(fù)習(xí)效率。

（責(zé)編 趙建榮）