（江蘇省震澤中學(xué)215000）

提高數(shù)學(xué)能力學(xué)生需具備的幾種意識

曹 菊

（江蘇省震澤中學(xué)215000）

數(shù)學(xué)的教學(xué)活動不在于為學(xué)生提供了、設(shè)計了或是解決了多少數(shù)學(xué)問題，而在于是否激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、提高了學(xué)習(xí)能力，增強(qiáng)了創(chuàng)新意識。高中學(xué)生的數(shù)學(xué)能力是以扎實(shí)的基礎(chǔ)知識和基本技能為基礎(chǔ)的，教材中所規(guī)定的基本知識和基本技能，是繼續(xù)學(xué)習(xí)和發(fā)展的重要基礎(chǔ)和必備知識，因此，教師必須首先培養(yǎng)學(xué)生掌握扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能，因?yàn)橹R量越大，則聯(lián)想、類比、想象的空間就越廣，從而產(chǎn)生新思想、新方法的機(jī)會就越多。要提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力，必須先培養(yǎng)學(xué)生形成以下幾種意識。

一、善于提問的意識

愛因斯坦曾經(jīng)指出：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要?！泵绹麛?shù)學(xué)家波利亞認(rèn)為：“對自己提出問題是解決問題的開始。”因?yàn)閺乃季S的形式看，提出一個問題是開放的思維形式，相比較而言，解決一個問題是收斂的思維形式。從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來看，提出一個問題屬于數(shù)學(xué)研究的思維領(lǐng)域，而解決一個問題屬于數(shù)學(xué)解題的方法范疇。因此提出一個數(shù)學(xué)問題，特別是能夠提出一個內(nèi)涵深刻、價值較高的數(shù)學(xué)問題，往往比解決一個數(shù)學(xué)問題難得多。

而現(xiàn)在的學(xué)生學(xué)習(xí)比較被動，滿足于上課聽講下課做題，缺少主動探究的動力，缺乏一種發(fā)現(xiàn)問題并有愿望解決它的意識。因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)注重鼓勵和引導(dǎo)學(xué)生提問題、特別是提有價值的問題。當(dāng)然，一開始肯定是教師提問并做好示范指導(dǎo)，不斷要求學(xué)生也嘗試提問，在教師的不斷“逼迫”下，學(xué)生由開始時的被動的提問，慢慢變?yōu)榉e極主動的提問。學(xué)生在不斷經(jīng)歷提問的過程中，問題意識會明顯增強(qiáng)，提問水平也會不斷提高，逐步變學(xué)生“不問”到“敢問、善問”，直到后來能提出有創(chuàng)造性的問題。不僅僅是在課上課后向教師提問解題的思維過程，可能的方法，需要注意的方面等，還應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生學(xué)著向自己提問，引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題，從問題中再發(fā)現(xiàn)問題，多考慮問題的逆命題，命題條件的加強(qiáng)與放寬，命題結(jié)論的加強(qiáng)與放寬，命題的泛化與特殊化等，讓學(xué)生在善于提問中提高自身的數(shù)學(xué)能力。

二、解題求簡的意識

“繁”與“簡”是在解題教學(xué)中經(jīng)常發(fā)生沖突的一對矛盾。絕大部分題目的解答都不只一種方法，而不同的解法，會產(chǎn)生完全不同的效果，有人“山窮水復(fù)疑無路”，卻也有人“柳暗花明”到了“又一村”，不但解題方法精簡巧妙，對思維也有很大啟發(fā)。我們倡導(dǎo)學(xué)生廣開思路，再將各種不同的思路進(jìn)行對比分析，擇優(yōu)選擇，這樣有利于開闊視野，升華認(rèn)知。數(shù)學(xué)上雖有很多題可用多種方法來解決，但我們最好還是能選擇最簡便的方法，因?yàn)楹啽惴椒ú粌H簡潔明了，容易接受，省去繁瑣的過程，減少錯誤發(fā)生的可能，更可節(jié)省時間?？稍诰唧w解題時并不是所有學(xué)生都能很快想到最簡最佳的方法，即使有些簡單的題很多學(xué)生都能想到，仍然會有個別學(xué)生可能繞遠(yuǎn)路了，也即簡題繁解。學(xué)生經(jīng)常會出現(xiàn)因方法不當(dāng)而造成解題煩瑣。究其原因，主要是缺乏與解題信息相關(guān)的眾多數(shù)學(xué)能力和意識。因此，如何減少這種煩瑣的解題過程，培養(yǎng)學(xué)生的求簡意識，是數(shù)學(xué)解題教學(xué)中一個十分重要的問題。

要培養(yǎng)學(xué)生的求簡意識，可以從以下幾個方面入手：①對概念的理解要深刻：求簡意識經(jīng)常是建立在對概念深刻理解的基礎(chǔ)上的，只有深刻理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，才能靈活運(yùn)用它來簡化解題過程。②對思維的運(yùn)用要靈活：有些數(shù)學(xué)問題正面求解比較困難，即使絞盡腦汁也難以奏效，這時教師若能引導(dǎo)學(xué)生使用逆向思維，反其道而求之，則往往可使問題迎刃而解。③對實(shí)質(zhì)的把握要整體：有些數(shù)學(xué)問題，從表面上看需要局部求出各有關(guān)量，但實(shí)質(zhì)上若從整體上去把握，處理這些量之間的關(guān)系，則思路更簡潔，解法更巧妙。④對問題的轉(zhuǎn)化要等價：用運(yùn)動、變化、聯(lián)系、發(fā)展的觀點(diǎn)來看待問題，把問題轉(zhuǎn)化成我們熟悉的或者容易解決的新問題，以達(dá)到化繁為簡、化難為易的目的。⑤對數(shù)式的研究要借形：數(shù)形結(jié)合雖不能保證數(shù)學(xué)問題總能得到解決，但它在大多數(shù)情況下能夠使數(shù)學(xué)問題得到較好的解決，尤其是在復(fù)雜情況中能起到良好的直觀作用，給解題帶來意料不到的簡便。

學(xué)生如果養(yǎng)成了求簡意識，就能自覺地去分析題目中的條件和特征，捕捉題目中的重要信息，多角度、多層次地去探索解題思路，簡化解題過程。

三、融會貫通的意識

近年來的數(shù)學(xué)高考的一個顯著的特點(diǎn)就是在“知識的交匯處命題”，當(dāng)然，“交匯”不僅僅指的是知識與技能，而且也應(yīng)包括思維品質(zhì)、意志品質(zhì)等多種因素的交匯。試卷中許多試題十分注重能力的考查，既注意了章內(nèi)知識的縱向發(fā)展，又注意了不同章節(jié)知識之間的綜合交匯，以考查綜合處理問題的能力，突出對重點(diǎn)內(nèi)容、核心考點(diǎn)的考查，如：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、數(shù)列、不等式、三角、立幾、解幾等主干知識每年都是多次考查。對這些主干知識應(yīng)該加大復(fù)習(xí)力度，在訓(xùn)練的同時，要進(jìn)行數(shù)學(xué)知識的歸納和解題方法的總結(jié)。除此之外，把握縱橫聯(lián)系，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，比如關(guān)注三角與向量、解析幾何與向量、數(shù)列與解析幾何、數(shù)列與不等式、概率與方程、函數(shù)導(dǎo)數(shù)與不等式、函數(shù)與數(shù)列、立體幾何與方程等各個知識點(diǎn)的融合。知識技能只有構(gòu)建成網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，并時刻處于待命狀態(tài)，才能發(fā)揮出它的整體功能，在解決問題時才能以整個系統(tǒng)為后盾，進(jìn)行自然、自動、迅速、有效的檢索，提取相關(guān)的知識和技能，從而更好地解題。

課本中的某些例題、習(xí)題，并不是孤立的，而是前后聯(lián)系、密切相關(guān)的，有時其他學(xué)科的知識也和數(shù)學(xué)有著千絲萬縷的聯(lián)系，我們要學(xué)會去發(fā)現(xiàn)、研究和展示這些知識的內(nèi)在聯(lián)系，這樣做不僅有助于自己深刻理解課本知識，有利于強(qiáng)化知識重點(diǎn)，更重要的是能有效地促進(jìn)自己數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)和方法體系的構(gòu)建，使知識和能力產(chǎn)生良性遷移，達(dá)到觸類旁通的效果。因此應(yīng)該切實(shí)領(lǐng)會教材中的基本解題思想和方法，注重通性通法。應(yīng)立足課本，激活已學(xué)過的各個知識點(diǎn)；經(jīng)?；貧w教材，回顧基本概念、性質(zhì)、公式、定理等；要有計劃地對基礎(chǔ)知識進(jìn)行必要的分類整合；要重視并著重加強(qiáng)通性通法的訓(xùn)練和運(yùn)用，要把知識點(diǎn)與方法對號入座，不要盲目追求解題技巧。

高考數(shù)學(xué)題的命題不僅僅是以知識為中心，更是以問題為中心設(shè)計的。題目的設(shè)計思想常常定位在知識與知識之間的聯(lián)系，代數(shù)、幾何、三角的相互滲透，以及各類知識與技能的綜合應(yīng)用上。這就要求我們在教學(xué)中應(yīng)該強(qiáng)調(diào)知識的系統(tǒng)性和完整性，并且學(xué)會歸納總結(jié)知識點(diǎn)和常用的基本方法，了解數(shù)學(xué)各部分知識之間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化。一份綜合試卷中知識點(diǎn)多，注重綜合交叉，重視內(nèi)在融合。因此我們在平時練習(xí)時應(yīng)有選擇的、有意識的、有機(jī)的將各個知識點(diǎn)組合起來，讓學(xué)生能夠從一種多元的視角，融會貫通，發(fā)展綜合能力。

因此，通過探究課本典型例題、習(xí)題的內(nèi)在聯(lián)系，讓我們在深刻理解課本知識的同時，更有效地形成知識網(wǎng)絡(luò)與方法體系。構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，是貫穿于整個教學(xué)和學(xué)習(xí)始終的一項(xiàng)系統(tǒng)工程，不可能一蹴而就，其中的重點(diǎn)內(nèi)容更需要在不斷地應(yīng)用、歸納、整合、反思中反復(fù)強(qiáng)化。

四、優(yōu)化思維的意識

數(shù)學(xué)是訓(xùn)練學(xué)生思維的體操，數(shù)學(xué)思維是以數(shù)和形為思維對象，以數(shù)學(xué)語言為載體，以認(rèn)識和發(fā)展數(shù)學(xué)規(guī)律為目的的一種思維活動，是由形象思維、演繹思維、類比思維、直覺思維和函數(shù)思維等思維成分構(gòu)成的一個綜合體。高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)相對于初中來說有著質(zhì)的飛躍。而數(shù)學(xué)知識體系的綜合性特點(diǎn)要求學(xué)生必須具備一定的基礎(chǔ)知識和基本技能，其思維品質(zhì)要有一定的廣度和深度。高中數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵就是讓學(xué)生在解決具體數(shù)學(xué)問題時學(xué)會思考，會由未知向已知、復(fù)雜向簡單轉(zhuǎn)化，從而快速準(zhǔn)確地解題。

我們經(jīng)常會碰到這樣的問題：課上講題時學(xué)生理解得很“明白”，可到考試時學(xué)生自己解題就往往會處出現(xiàn)思維短路，教師分析完畢，學(xué)生又“恍然大悟”。學(xué)生存在的問題不是解答結(jié)果本身太難以致學(xué)生無法理解，而是學(xué)生無法找到通向結(jié)果的思路。思路不暢說明思維不完善。思維方法一直是高考考查的重點(diǎn)，有時即使是填空題，也需要考生以簡縮思維，直覺猜想，歸納驗(yàn)證等思維方法才能解決。而學(xué)生在思維方面還不夠完善，知識點(diǎn)之間縱向橫向的聯(lián)系，能力的交叉融合較為欠缺，不善于將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，不習(xí)慣從陌生問題中分離出熟悉的問題。

教師在教學(xué)中要十分重視思維的訓(xùn)練，數(shù)學(xué)思維力求近似到一種非條件反射，比如吃飯自然就要拿筷子和碗，而不需刻意去記著吃飯就要有筷子有碗。解題方法和規(guī)律的概括凝結(jié)著數(shù)學(xué)思想方法，也對學(xué)生思維提出較高的要求，具體應(yīng)該有。

（一）謹(jǐn)防陷阱漏洞，訓(xùn)練思維的嚴(yán)密性

考察問題時嚴(yán)格、準(zhǔn)確，進(jìn)行運(yùn)算和推理時精確無誤，周到細(xì)致的考慮問題的各種可能情況，謹(jǐn)防各種漏洞。不漏條件，不看錯題，充分利用題設(shè)，注意條件和結(jié)論的變形和引申，使條件與結(jié)論產(chǎn)生必然的聯(lián)系。

（二）鼓勵大膽質(zhì)疑，訓(xùn)練思維的批判性

在思維活動中善于提出獨(dú)立見解，精細(xì)地檢查思維過程，不盲從、不輕信、不唯上、不唯書、不迷信權(quán)威，敢于向人們司空見慣或認(rèn)為完滿無缺的事物提出懷疑。在解決問題時能打破“自我框框”，想出新穎獨(dú)特解法，能及時反思，不斷地驗(yàn)證所擬定的假設(shè)，能評價解題思路的正誤與優(yōu)劣。

（三）倡導(dǎo)一題多解，訓(xùn)練思維的廣闊性

通過一題多解訓(xùn)練，可使學(xué)生認(rèn)真觀察、多方聯(lián)想、恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，在一定程度上開闊學(xué)生的解題思路，克服思維單一、狹窄，提高數(shù)學(xué)思維的廣闊性。

（四）加強(qiáng)變式訓(xùn)練，訓(xùn)練思維的變通性

為了使學(xué)生的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到延伸和擴(kuò)展，在教學(xué)中教師還要圍繞難點(diǎn)、重點(diǎn)或疑點(diǎn)，從不同角度，善于引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用一題多變，把一些題的已知條件和結(jié)論作適當(dāng)?shù)母淖?，加以引申、推廣，得出新的題目，使學(xué)生不但學(xué)會了一道題的解法，而且學(xué)會了一組題、一類題的解法，這樣有利于學(xué)生對基礎(chǔ)知識的縱橫聯(lián)系和溝通，鞏固所學(xué)知識，在數(shù)學(xué)教學(xué)中恰當(dāng)?shù)剡m時地運(yùn)用一題多問、一題多變、多角度、多方向的思考，使學(xué)生能舉一反三，能以不變應(yīng)萬變，更容易誘發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維的能力。

（五）突破常規(guī)解法，訓(xùn)練思維的獨(dú)創(chuàng)性運(yùn)用非常規(guī)解法，如直覺猜想、數(shù)形結(jié)合、特殊值等方法，可以將結(jié)果較快地猜想或推算出來，然后再進(jìn)行驗(yàn)證。

（六）運(yùn)用矛盾沖突，訓(xùn)練思維的辯證性

“對”與“錯”是數(shù)學(xué)教學(xué)中最常見的一對矛盾沖突，教師可將學(xué)生的錯誤當(dāng)作一種教學(xué)資源，抓住契機(jī)，巧妙地利用“對”與“錯”的矛盾沖突，進(jìn)行深入的討論、爭論、辨析、尋根、糾正，對辨誤糾錯的教學(xué)活動也可以成為優(yōu)化學(xué)生思維品質(zhì)的良機(jī)。

五、回顧學(xué)習(xí)的意識

美國數(shù)學(xué)家波利亞說過：“掌握數(shù)學(xué)就是意味著善于解題。”他把解題過程分為弄清問題、擬定計劃、實(shí)現(xiàn)計劃和回顧四個步驟，在這四個步驟中，回顧這一重要環(huán)節(jié)常被忽視。學(xué)生不善于回顧反思，缺乏解題后對解題方法、數(shù)學(xué)思維的概括，致使掌握知識的系統(tǒng)性較弱、結(jié)構(gòu)性較差，解題能力得不到提高。為了提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率，必須培養(yǎng)學(xué)生的回顧反思意識，使他們有時間、有機(jī)會對自己的解題過程進(jìn)行重新審視。主要可以從以下幾個方面來回顧：1．回顧解題思路：此題已知哪些條件，求解什么，條件與求解的關(guān)系如何，考查的是哪些知識點(diǎn)，有效突破口是什么，思路有沒有問題等。2．回顧解題過程：解題過程中遇到了什么問題，為何求解這么艱難，有沒有隱含的條件忽略了等。3．回顧解題方法：此類題的常規(guī)方法和特殊方法一般有哪些，選取的方法對嗎，有沒有其他方法，是不是最佳最簡方法等。4．回顧出錯原因：對知識理解是否有偏差，或由于思維受阻無法繼續(xù)，或用了繁瑣的方法以致走進(jìn)死胡同，或沒有找到可以等價替換的式子以致走了彎路，或中間分情況討論時漏掉某一環(huán)節(jié)，或是重復(fù)計算等。

解題的目的并不單純?yōu)榱饲蟮脝栴}的結(jié)果，而是通過解題能培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的精神，提高學(xué)生分析問題解決問題的能力，并能夠從相關(guān)的題中注意歸納總結(jié)，找出規(guī)律，舉一反三。而這恰恰主要通過回顧解題的教學(xué)來實(shí)現(xiàn)。因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中要十分重視解題的回顧，教師應(yīng)經(jīng)常與學(xué)生一起對解題的過程和方法進(jìn)行細(xì)致分析，對解題的主要思想、關(guān)鍵因素和同一類型問題的解法進(jìn)行概括，以使學(xué)生真正提升自己。

學(xué)生的邏輯能力、思辨能力、歸納能力等不是一下就能提高的，需要教師不斷地引導(dǎo)鍛煉，除了上面所提及的幾種意識，還有其他方面，限于篇幅，不一一贅述。總之，教師應(yīng)該結(jié)合學(xué)生自身特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生尋找最佳學(xué)習(xí)方法，學(xué)生才能更好地學(xué)好數(shù)學(xué)。

[1]魏仁洪．論中學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新性思維及其培養(yǎng)[D]華中師范大學(xué)，2002．

[2]孔勝濤．在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的求簡意識[J]．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)通訊：教師版，2012．

[3]姚綱．高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要學(xué)會融會貫通[J]．試題與研究：新課程論壇，2013．

[4]潘文娟．?dāng)?shù)學(xué)解題與學(xué)生反思意識的培養(yǎng)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)通訊：教師版，2012．

（責(zé)編 田彩霞）