谷雨，馬鉞

（1.中國(guó)科學(xué)院沈陽(yáng)自動(dòng)化研究所，遼寧沈陽(yáng)110016；2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京100049）

現(xiàn)代生產(chǎn)制造業(yè)中，無(wú)論在高精度加工領(lǐng)域，還是傳統(tǒng)產(chǎn)品生產(chǎn)線中，多電機(jī)同步系統(tǒng)已經(jīng)得到了越來(lái)越多的應(yīng)用［1］。例如在造紙、軋鋼等生產(chǎn)過(guò)程中，電機(jī)同步效果直接影響了系統(tǒng)生產(chǎn)效率和產(chǎn)品質(zhì)量［2］。

為實(shí)現(xiàn)電機(jī)間的協(xié)調(diào)同步，目前的控制策略主要有：主從控制，并行控制［3］，交叉耦合控制［4］，虛擬總軸控制［5］等。但是，這些控制策略中往往存在著控制精度不高等問(wèn)題，而且隨著電機(jī)數(shù)目的增加，耦合強(qiáng)度呈指數(shù)增加，對(duì)整個(gè)系統(tǒng)控制愈發(fā)復(fù)雜［6］。為了簡(jiǎn)化控制結(jié)構(gòu)，提高可控電機(jī)數(shù)目，學(xué)者們［7-9］通過(guò)只考慮相鄰電機(jī)影響而提出了相鄰交叉耦合的控制策略。但是這種控制策略將系統(tǒng)中的電機(jī)同等看待，而忽略了電機(jī)之間的實(shí)際關(guān)系。在多電機(jī)同步系統(tǒng)中，電機(jī)的關(guān)系并不相同，重要性也并不一致［10］。對(duì)于所有電機(jī)采用相同的控制強(qiáng)度，限制了同步控制精度和生產(chǎn)效率。

本文參考了相鄰交叉耦合控制策略，考慮電機(jī)之間的主次關(guān)系，改進(jìn)電機(jī)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，提出了加權(quán)交叉耦合的多電機(jī)同步控制策略以及相應(yīng)的控制算法。在文章最后，基于外觀質(zhì)量檢測(cè)線進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了采用加權(quán)交叉耦合控制改進(jìn)之后，同步控制效果提升明顯。

1 加權(quán)交叉耦合控制策略

1.1 同步控制策略

在多電機(jī)同步系統(tǒng)中，不僅要考慮每臺(tái)電機(jī)自身狀態(tài)，還要考慮其他電機(jī)的影響。在相鄰交叉耦合控制［8］中，電機(jī)參考相鄰2臺(tái)電機(jī)的狀態(tài)，根據(jù)電機(jī)間的同步誤差補(bǔ)償控制信號(hào)。但是由于電機(jī)職能的不同，電機(jī)間的影響程度也就不同。如在一條產(chǎn)品質(zhì)量檢測(cè)線中，有出入料帶電機(jī)，離心轉(zhuǎn)盤電機(jī)，水平帶電機(jī)等10 多臺(tái)電機(jī)同時(shí)運(yùn)行。生產(chǎn)過(guò)程中，處于檢測(cè)環(huán)節(jié)的傳動(dòng)電機(jī)，遠(yuǎn)比出入料電機(jī)對(duì)于檢測(cè)結(jié)果帶來(lái)的影響大。如果只考慮相鄰電機(jī)，無(wú)法區(qū)分電機(jī)間的主次關(guān)系，則降低了控制效率。

因此，針對(duì)不同電機(jī)需要設(shè)定不同的權(quán)重。設(shè)定系統(tǒng)中某臺(tái)電機(jī)的重要程度更高，則該電機(jī)可以影響更多電機(jī)。這樣，當(dāng)高權(quán)重電機(jī)出現(xiàn)擾動(dòng)時(shí)，通過(guò)系統(tǒng)中大部分電機(jī)共同作用，可以達(dá)到更快的恢復(fù)速度。而當(dāng)次要電機(jī)出現(xiàn)擾動(dòng)時(shí)，只由少數(shù)電機(jī)來(lái)分擔(dān)誤差擾動(dòng)，簡(jiǎn)化了控制結(jié)構(gòu)。

1.2 加權(quán)交叉耦合的多電機(jī)模型

對(duì)于n臺(tái)電機(jī)的多電機(jī)系統(tǒng)，第i臺(tái)電機(jī)的機(jī)械轉(zhuǎn)動(dòng)方程為［9］

式中：ωi為第i臺(tái)電機(jī)的轉(zhuǎn)速；Hi，Ci分別為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和非線性參數(shù)；Fi為外部擾動(dòng)；τi為輸入轉(zhuǎn)矩。設(shè)定轉(zhuǎn)速誤差為

設(shè)定2臺(tái)電機(jī)i與j之間的影響關(guān)系由aij來(lái)表示。當(dāng)電機(jī)之間存在影響關(guān)系時(shí)，aij=1，否則aij=0。第i 臺(tái)電機(jī)對(duì)于系統(tǒng)的重要程度通過(guò)其影響的電機(jī)數(shù)目之和來(lái)表示。

對(duì)于n臺(tái)電機(jī)，可將同步誤差表示為如下矩陣：

并設(shè)：

則有：

式中：L為多電機(jī)系統(tǒng)的關(guān)系矩陣；ε為同步誤差矩陣；E 為轉(zhuǎn)速誤差矩陣。

由定義可知L 為對(duì)稱矩陣，且L 的秩為Rank=n-1。

于是，如果能夠控制系統(tǒng)使得同步誤差ε為零，則有方程LE=0?？梢缘玫椒匠掏ń鉃?/p>

即滿足，

可以保證系統(tǒng)誤差同步。

2 控制器設(shè)計(jì)穩(wěn)定性分析

2.1 控制器算法設(shè)計(jì)

若要有效控制多電機(jī)系統(tǒng)，則需要控制同步誤差以及單臺(tái)電機(jī)誤差。設(shè)定電機(jī)系統(tǒng)的總誤差：

式中：β為正常數(shù)。

定義控制量為ui(t)如下：

其中，Λ是正常數(shù)。并根據(jù)ui(t) 定義以下向量：

根據(jù)滑?？刂评碚?，如果能夠控制τi(t)使得ri(t)處于滑動(dòng)平面上，則系統(tǒng)誤差將以指數(shù)形式趨于零。

設(shè)計(jì)控制轉(zhuǎn)矩為

式中：kr，kε均為正控制增益；Li為關(guān)系矩陣L第i行行向量。

由式（1）、式（9）和式（10）可以得到關(guān)于多電機(jī)系統(tǒng)的閉環(huán)方程：

2.2 穩(wěn)定性及有效性分析

定義李雅普諾夫函數(shù)為

顯然，V(t) ≥0。將其對(duì)t求導(dǎo)，可得：

將式（11）左乘以ri(t) ，帶入上式得：

其中

另有

于是有：

由此可知系統(tǒng)穩(wěn)定，并由式（7），式（9），式（11），根據(jù)Barbalat 定理［12］和LaSall 定理［13］，當(dāng)t →∞時(shí)即系統(tǒng)穩(wěn)定并且其同步誤差和轉(zhuǎn)速誤差均將收斂于零。

3 仿真與實(shí)驗(yàn)

3.1 仿真實(shí)驗(yàn)

現(xiàn)對(duì)于上述策略進(jìn)行Simulink 仿真驗(yàn)證。根據(jù)某火腿腸廠在線外觀質(zhì)量檢測(cè)系統(tǒng)搭建10臺(tái)交流電機(jī)同步系統(tǒng)模型。

按照生產(chǎn)線流程關(guān)系：入料電機(jī)→提升電機(jī)→離心轉(zhuǎn)盤電機(jī)→自轉(zhuǎn)電機(jī)→水平帶電機(jī)→水平帶電機(jī)→調(diào)相輪電機(jī)→膠輥帶電機(jī)→自轉(zhuǎn)電機(jī)→出料電機(jī)，定義電機(jī)之間權(quán)重比例關(guān)系如下：

其他電機(jī)參數(shù)和期望轉(zhuǎn)速參考自系統(tǒng)電機(jī)實(shí)際參數(shù)以及運(yùn)行情況。

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

首先選取外觀質(zhì)量檢測(cè)線中檢測(cè)水平帶電機(jī)，針對(duì)同步效果進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)，并與相鄰交叉耦合控制和無(wú)同步控制器對(duì)比結(jié)果如圖1、圖2所示。

圖1 單電機(jī)跟蹤誤差曲線Fig.1 The curves of single motor′s tracking error

圖2 單電機(jī)同步誤差曲線Fig.2 The curves of single motor′s synchronization error

從圖1、圖2 可以看出，當(dāng)系統(tǒng)中出現(xiàn)擾動(dòng)時(shí)，加權(quán)交叉耦合控制效果要優(yōu)于相鄰交叉耦合。對(duì)比相鄰交叉耦合控制，單電機(jī)擾動(dòng)（見圖1）調(diào)節(jié)時(shí)間由1.33 s 縮短到0.73 s，超調(diào)量也由12.7%減小到3.16%。在同步誤差方面（見圖2），加權(quán)交叉耦合在0.39 s 左右達(dá)到最大超調(diào)0.3%，控制效果優(yōu)于相鄰交叉耦合。

現(xiàn)對(duì)于系統(tǒng)效率改進(jìn)效果進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。系統(tǒng)效率與電機(jī)總誤差正相關(guān)，設(shè)定系統(tǒng)加權(quán)誤差為EW：

當(dāng)不同權(quán)重的電機(jī)出現(xiàn)擾動(dòng)時(shí)，針對(duì)加權(quán)交叉耦合與相鄰交叉耦合的系統(tǒng)效率損失情況進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)。選取檢測(cè)水平帶電機(jī)（權(quán)重6）和提升電機(jī)（權(quán)重2）進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖3、圖4所示。

圖3 系統(tǒng)加權(quán)誤差曲線（權(quán)重2）Fig.3 The curves of system weighted error（weight=2）

圖4 系統(tǒng)加權(quán)誤差曲線（權(quán)重6）Fig.4 The curves of system weighted error（weight=6）

圖3、圖4 的仿真結(jié)果指出，不同職能電機(jī)出現(xiàn)擾動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)效率損失的確不同，檢測(cè)水平帶電機(jī)位于檢測(cè)系統(tǒng)中心環(huán)節(jié)，出現(xiàn)負(fù)載擾動(dòng)時(shí)，對(duì)效率影響更大（見圖4）。相鄰交叉耦合并沒(méi)有區(qū)分電機(jī)的重要程度，當(dāng)檢測(cè)水平帶電機(jī)出現(xiàn)擾動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)誤差變化較大（EW=6=-1.41），提升電機(jī)等權(quán)重小的電機(jī)的誤差變化較?。‥W=2=-0.59）。采用加權(quán)耦合控制之后，檢測(cè)水平帶的負(fù)載擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)誤差影響減弱（EW=6=-0.99），而由提升電機(jī)的擾動(dòng)而造成的系統(tǒng)誤差并沒(méi)有太大變化（EW=2=-0.64）。

仿真結(jié)果表明，加權(quán)交叉耦合能夠?qū)崿F(xiàn)多電機(jī)間的協(xié)調(diào)同步，并且性能優(yōu)于常規(guī)控制策略。

4 結(jié)論

本文針對(duì)目前的同步控制器中，對(duì)于電機(jī)無(wú)差別處理而導(dǎo)致的同步精度下降問(wèn)題進(jìn)行了研究，提出了加權(quán)交叉耦合控制策略。該策略對(duì)系統(tǒng)中不同權(quán)重的電機(jī)采取了不同的控制強(qiáng)度。..以此為基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)了控制轉(zhuǎn)矩，并通過(guò)李雅普諾夫定理證明了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和算法的有效性。仿真結(jié)果表明，采用加權(quán)交叉耦合控制算法后，多電機(jī)系統(tǒng)同步效果得到了有效改善，有助于提升生產(chǎn)效率。

［1］劉福才，張學(xué)蓮.多級(jí)電機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)的同步控制理論與應(yīng)用研究.［J］.控制工程，2002，9（4）：87-97.

［2］陳威，吳益飛，杜仁慧，等.雙電機(jī)同步驅(qū)動(dòng)伺服系統(tǒng)的魯棒動(dòng)態(tài)面控制［J］.信息與控制，2013，42（5）：625-631.

［3］彭思齊，戴瑜興，許海霞.LED 多線切割機(jī)自動(dòng)繞線的并聯(lián)差分耦合同步控制［J］.信息與控制，2012，41（5）：559-563.

［4］Shih Y T，Chen C S，Lee A C. A Novel Cross-coupling Control Design for Bi-axis Motion.［J］. International Journal of Machine Tool&Manufacture，2002，42（14）：1539-1548.

［5］Anderson R G，Lorenz R. Web Machine Coordinated Motion Control Via Electronic Line-shafting［J］.IEEE Transaction on Industry Applications，2001，37（1）：247-254.

［6］劉然，孫建忠.基于環(huán)形耦合策略的多電機(jī)同步控制研究［J］.控制與決策，2011，26（6）：957-960.

［7］Dong Sun. Position Synchronization of Multiple Motion Axes with Adaptive Coupling Control［J］.Automatics，2003，39（6）：997-1005.

［8］張承慧，石慶升，程金.一種基于相鄰耦合誤差的多電機(jī)同步控制策略［J］.中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2007，27（15）：59-63.

［9］曹玲芝，李春文，牛超，等.基于相鄰交叉耦合的多感應(yīng)電機(jī)滑模同步控制［J］.電機(jī)與控制學(xué)報(bào)，2008，12（5）：586-592.

［10］張代林，劉宇晗，楊吉祥，等.基于多層模糊控制的交叉耦合補(bǔ)償方法的研究及應(yīng)用.［J］.機(jī)械設(shè)計(jì)，2012，29（1）：36-39.

［11］LaSalle J P. The Stability of Dynamical Systems［M］. SIAM Publications，Philadelphia，1976.

［12］Hartmut，Logemann，Eugene P R. Asymptotic Behavior of Nonlinear Systems［J］. The American Mathematical Monthly，2004，111（10）：864-889.