寧博文，程善美，秦憶

（華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，湖北武漢430074）

1 引言

永磁同步電機(jī)具有高效率、高轉(zhuǎn)矩和高功率密度的優(yōu)點(diǎn)，在中、小功率工業(yè)應(yīng)用場合得到了廣泛的運(yùn)用［1］。本質(zhì)上永磁同步電機(jī)是一個(gè)非線性、多變量、強(qiáng)耦合的控制對象，傳統(tǒng)的PI控制器受參數(shù)影響較大，難以達(dá)到高性能的控制目標(biāo)。為提高永磁同步電機(jī)控制性能，非線性控制方法正逐步在電機(jī)控制中得到應(yīng)用。近年來，反步控制作為一種新型的非線性控制方法，在電力傳動(dòng)領(lǐng)域受到了廣泛的關(guān)注［2-4］。

在系統(tǒng)實(shí)際運(yùn)行過程中，負(fù)載轉(zhuǎn)矩的擾動(dòng)會(huì)對系統(tǒng)性能造成影響，而實(shí)際轉(zhuǎn)矩不易直接測量，因此需要設(shè)計(jì)觀測器對其進(jìn)行觀測［5-8］。文獻(xiàn)［5］提出了基于擴(kuò)展Kalman 濾波器的轉(zhuǎn)矩觀測方法，在觀測轉(zhuǎn)子位置、速度的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)了對轉(zhuǎn)矩的觀測。文獻(xiàn)［6］用滑模觀測器觀測負(fù)載轉(zhuǎn)矩，并作為補(bǔ)償量對擾動(dòng)進(jìn)行前饋補(bǔ)償，提升了系統(tǒng)的魯棒性。文獻(xiàn)［7］采用自適應(yīng)反步控制實(shí)現(xiàn)負(fù)載轉(zhuǎn)矩的實(shí)時(shí)估計(jì)，保證了系統(tǒng)的快速跟蹤。文獻(xiàn)［8］將反步法與滑?？刂破飨嘟Y(jié)合，并采用擴(kuò)張觀測器觀測轉(zhuǎn)矩變化，但是觀測器設(shè)計(jì)較為復(fù)雜。

針對上述問題，考慮到電機(jī)結(jié)構(gòu)非線性的特點(diǎn)，本文從轉(zhuǎn)矩和磁鏈2個(gè)控制量考慮，提出了基于反步法的永磁同步電機(jī)直接轉(zhuǎn)矩控制系統(tǒng)。對輸出控制電壓采用SVPWM 調(diào)制，可以使逆變器開關(guān)頻率保持恒定，并有效減小電流和轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)。對于負(fù)載擾動(dòng)的問題，以電機(jī)轉(zhuǎn)速和負(fù)載轉(zhuǎn)矩為觀測對象，設(shè)計(jì)了負(fù)載轉(zhuǎn)矩Luenberger 狀態(tài)觀測器以減小擾動(dòng)對系統(tǒng)的影響，并通過Lyapunov 穩(wěn)定性方法得到的線性矩陣不等式求解反饋增益，保證了觀測器的穩(wěn)定性。仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文提出方法的正確性和可行性。

2 永磁同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型

為簡化分析，假設(shè)磁路不飽和、氣隙磁場呈正弦分布，不計(jì)渦流和磁滯損耗。以表貼式永磁同步電機(jī)為控制對象，即交直軸電感相等，Ld=Lq=L。選取iα，iβ為狀態(tài)變量，結(jié)合電機(jī)機(jī)械運(yùn)動(dòng)方程，得到永磁同步電機(jī)在αβ坐標(biāo)系下狀態(tài)方程為［9］

其中Eα，Eβ為相反電動(dòng)勢

定子磁鏈方程可以表示為

αβ 坐標(biāo)系下轉(zhuǎn)矩方程可以表示為

式中：uα，uβ為αβ軸定子電壓；iα，iβ為αβ軸定子電流；Rs為定子電阻；L 為定子電感；ωre為轉(zhuǎn)子電角速度；Ψf為永磁磁鏈；θ為轉(zhuǎn)子電角度；Ψα，Ψβ為αβ軸磁鏈；np為極對數(shù)；B 為摩擦系數(shù)；J 為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩；Te為電磁轉(zhuǎn)矩；Ψ為定子磁鏈幅值的平方。

3 非線性反步控制器設(shè)計(jì)

反步法控制器的設(shè)計(jì)分為2個(gè)部分：首先，對速度環(huán)進(jìn)行設(shè)計(jì)，得到保證速度穩(wěn)定跟蹤的轉(zhuǎn)矩虛擬控制律；然后，對轉(zhuǎn)矩和磁鏈子系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)，最終得到具有魯棒性的輸出控制電壓實(shí)際控制律。

定義速度誤差

式中：ω為電機(jī)機(jī)械角速度，ω=ωre/np。

對跟蹤誤差進(jìn)行求導(dǎo)，可以得到：

為了使速度跟蹤誤差趨近于零，定義如下Lyapunov函數(shù)：

對式（7）求導(dǎo)數(shù)可得：

從轉(zhuǎn)矩和磁鏈2 個(gè)控制量考慮，為了實(shí)現(xiàn)永磁同步電機(jī)的轉(zhuǎn)矩和磁鏈跟蹤控制，定義如下轉(zhuǎn)矩和磁鏈誤差：

式中：Ψ*為額定磁鏈的平方。

由eT，eψ可以組成新的系統(tǒng)，對式（10）求導(dǎo)，可得動(dòng)態(tài)誤差：

對于系統(tǒng)構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

對式（13）求導(dǎo)數(shù)：

式中：k2＞0，k3＞0。

將控制式（15）、式（16）帶入式（14），可得：

則控制式（15）、式（16）使得永磁同步電機(jī)系統(tǒng)可以達(dá)到速度的跟蹤響應(yīng)，并且能使轉(zhuǎn)矩和磁鏈達(dá)到跟蹤的效果，使系統(tǒng)具有良好的響應(yīng)能力。

4 負(fù)載轉(zhuǎn)矩觀測器

由選取的虛擬轉(zhuǎn)矩控制式（9）可以看出，需要知道負(fù)載轉(zhuǎn)矩TL的大小。負(fù)載轉(zhuǎn)矩的變化會(huì)造成轉(zhuǎn)速的波動(dòng)，而TL作為未知量不易測量，本文通過設(shè)計(jì)負(fù)載轉(zhuǎn)矩Luenberger狀態(tài)觀測器來觀測負(fù)載轉(zhuǎn)矩的變化。

由于控制周期較快，在每個(gè)控制周期內(nèi)負(fù)載轉(zhuǎn)矩為基本不變，即，以電機(jī)轉(zhuǎn)速和負(fù)載轉(zhuǎn)矩作為觀測對象，可以建立狀態(tài)方程為

其中

上述狀態(tài)方程中（A C）可觀測，滿足現(xiàn)代控制理論中狀態(tài)觀測器極點(diǎn)可以任意配置的充要條件，可以構(gòu)造如下轉(zhuǎn)矩Luenberger觀測器

式中：上標(biāo)“^”表示估計(jì)值；G 為反饋增益矩陣，G=［g1g2］T。

觀測器誤差為

定義如下Lyapunov函數(shù)

式中：P為正定的實(shí)對稱矩陣。V（e）沿任一軌跡的時(shí)間導(dǎo)數(shù)為

反饋增益G=P-1Y，根據(jù)Lyapunov 穩(wěn)定性理論，狀態(tài)觀測器漸近穩(wěn)定的條件是存在P 使線性矩陣不等式成立：

為求解反饋增益矩陣G，使V（e）滿足α穩(wěn)定性［11］，即以下線性矩陣不等式成立：

式中：α＞0。

此時(shí)觀測器誤差e 的收斂速度由α決定，根據(jù)α取值可以求出反饋增益矩陣G，并保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。通過設(shè)計(jì)觀測器求出負(fù)載轉(zhuǎn)矩TL，能夠使系統(tǒng)在存在負(fù)載擾動(dòng)時(shí)快速響應(yīng)，使系統(tǒng)速度保持穩(wěn)定。負(fù)載轉(zhuǎn)矩狀態(tài)觀測器模型框圖如圖1所示。

圖1 負(fù)載轉(zhuǎn)矩狀態(tài)觀測器原理圖Fig.1 Schematic diagram of the load torque observer

5 系統(tǒng)仿真分析

為了驗(yàn)證本文所設(shè)計(jì)的反步控制器的有效性和負(fù)載轉(zhuǎn)矩觀測器的正確性，在Matlab環(huán)境下進(jìn)行了仿真。永磁同步電機(jī)具體參數(shù)為：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=0.000 828 kg·m2，永磁體磁鏈Ψf=0.094 28 Wb，定子電阻Rs=0.779 Ω，定子電感L=0.003 026 H，極對數(shù)np=4，額定轉(zhuǎn)矩TN=4 N·m?？刂葡到y(tǒng)總體結(jié)構(gòu)框圖如圖2所示。

圖2 基于轉(zhuǎn)矩觀測的PMSM控制系統(tǒng)框圖Fig.2 The control block diagram of PMSM system based on torque observer

線性矩陣不等式（24）中α=2 000，具體求解可以利用Matlab中的LMI工具箱，求解得到的反饋矩陣

仿真波形如圖3 和圖4 所示。圖3 為電機(jī)轉(zhuǎn)速給定低速100 r/min 時(shí)的電機(jī)轉(zhuǎn)速響應(yīng)和負(fù)載轉(zhuǎn)矩估計(jì)波形圖；圖4 為電機(jī)轉(zhuǎn)速給定高速1 500 r/min 時(shí)的電機(jī)轉(zhuǎn)速響應(yīng)和負(fù)載轉(zhuǎn)矩估計(jì)波形圖。電機(jī)空載啟動(dòng)，為了驗(yàn)證負(fù)載轉(zhuǎn)矩觀測器的效果，在系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運(yùn)行過程中，改變負(fù)載轉(zhuǎn)矩值，在0.05 s 時(shí)改變負(fù)載為2 N·m，在0.01 s 時(shí)變?yōu)? N·m。從仿真波形圖中可以看出，轉(zhuǎn)速響應(yīng)快速，在負(fù)載出現(xiàn)變化時(shí)轉(zhuǎn)速波動(dòng)小，且能很快恢復(fù)到穩(wěn)態(tài)值，轉(zhuǎn)矩狀態(tài)觀測器可以快速估計(jì)出負(fù)載轉(zhuǎn)矩的大小。

圖3 低速運(yùn)行時(shí)速度與負(fù)載轉(zhuǎn)矩估計(jì)響應(yīng)曲線Fig.3 Response of speed and estimation of the load torque at low speed

圖4 高速運(yùn)行時(shí)速度與負(fù)載轉(zhuǎn)矩估計(jì)響應(yīng)曲線Fig.4 Response of speed and estimation of the load torque at high speed

6 結(jié)論

本文從減小傳統(tǒng)直接轉(zhuǎn)矩控制轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)出發(fā)，考慮到電機(jī)結(jié)構(gòu)的非線性，提出了一種基于反步法的直接轉(zhuǎn)矩控制方案。

該方案對輸出控制電壓采用SVPWM 調(diào)制，使得逆變器開關(guān)頻率保持恒定并且能有效減小電流和轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)。對于負(fù)載擾動(dòng)問題，設(shè)計(jì)了負(fù)載轉(zhuǎn)矩觀測器，可以準(zhǔn)確估計(jì)負(fù)載轉(zhuǎn)矩值以減小擾動(dòng)對系統(tǒng)的影響。仿真驗(yàn)證了系統(tǒng)的有效性和可行性。

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