張玉平，藺想紅

(西北師范大學(xué)計算機科學(xué)與工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

1 引言

隨著人們對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的深入研究，目前人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)已經(jīng)發(fā)展到了第三代——脈沖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Spiking Neural Network)階段[1]。脈沖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用精確定時的脈沖序列對神經(jīng)信息進行編碼和處理，這種包含時間計算元素的計算模型更具生物解釋性，是進行復(fù)雜時空信息處理的有效工具[2]。相比傳統(tǒng)的基于脈沖頻率編碼的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，基于脈沖精確定時特性的脈沖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擁有更強大的存儲和計算能力，它能夠模擬各種神經(jīng)元信息和任意的連續(xù)函數(shù)，非常適合于大腦神經(jīng)信息的處理問題[3]。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)目前主要使用兩種編碼方法：頻率編碼和時間編碼[4]。在頻率編碼中假設(shè)信息是由在某段時間內(nèi)出現(xiàn)的脈沖數(shù)目表示，該方法主要應(yīng)用于傳統(tǒng)的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。另一種方法是時間編碼，它是應(yīng)用脈沖的精確時間進行的信息編碼，該編碼方式已被神經(jīng)科學(xué)的大量實驗成果證實。例如，實驗證據(jù)顯示大腦的巨大記憶容量主要依賴于神經(jīng)信息處理的精確脈沖時間編碼機制[5]。此外，一些模式識別問題，例如顏色識別、視覺形態(tài)識別、氣味識別和聲音辨別等，在基于頻率編碼的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型中不能得到很好的解決，但在基于時間編碼的脈沖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中能夠得到理想的求解效果[6]。同時，脈沖時間編碼還能夠減少所需執(zhí)行給定任務(wù)的神經(jīng)元數(shù)量。因此，考慮脈沖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)基于脈沖精確定時編碼神經(jīng)信息的特征，構(gòu)建高效的脈沖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)監(jiān)督學(xué)習(xí)算法非常關(guān)鍵，同時也是該研究領(lǐng)域的重要問題，日益受到廣大研究者的關(guān)注。

然而，由于脈沖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型內(nèi)在的復(fù)雜性和脈沖序列的離散特性，使得脈沖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的監(jiān)督學(xué)習(xí)算法構(gòu)造和實際應(yīng)用非常困難。Bohte S M等人[7]首次提出了適用于多層前饋脈沖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的誤差反向傳播算法，稱為SpikeProp算法，為了克服神經(jīng)元內(nèi)部狀態(tài)變量由于脈沖發(fā)放而導(dǎo)致的不連續(xù)性，限制網(wǎng)絡(luò)中所有層神經(jīng)元只能發(fā)放一個脈沖。其他研究者進一步擴展了SpikeProp算法，給出了對神經(jīng)元脈沖發(fā)放個數(shù)不作限制的多脈沖學(xué)習(xí)算法[8,9]。SpikeProp及其擴展算法是一類數(shù)學(xué)分析方法，在學(xué)習(xí)規(guī)則的推導(dǎo)過程中，要求所使用的神經(jīng)元模型中的狀態(tài)變量必須能夠解析，且解析能夠用表達式來表示。在最近的研究中，研究者給出了更具生物解釋性的脈沖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)監(jiān)督學(xué)習(xí)算法，能夠?qū)γ}沖序列復(fù)雜時空模式進行學(xué)習(xí)，主要的算法有ReSuMe[10]、Chonotron[11]、PSD[12]算法等。Mohemmed A和Schliebs S[13,14]基于核函數(shù)卷積思想給出了SPAN(Spike Pattern Association Neuron)算法，其主要特點是應(yīng)用核函數(shù)將脈沖序列轉(zhuǎn)換為卷積信號，通過轉(zhuǎn)化后的輸入脈沖序列、神經(jīng)元目標(biāo)輸出和實際輸出脈沖序列，應(yīng)用Widrow-Hoff規(guī)則調(diào)整突觸權(quán)值。這些監(jiān)督學(xué)習(xí)算法雖然對網(wǎng)絡(luò)中所采用的神經(jīng)元模型沒有限制，但算法并不具備誤差反向傳播機制，僅適用于單層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)或遞歸網(wǎng)絡(luò)輸出層突觸權(quán)值的學(xué)習(xí)。

本文在SPAN算法的基礎(chǔ)上，提出了一種把核函數(shù)卷積應(yīng)用于多層脈沖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的監(jiān)督學(xué)習(xí)算法。該算法通過脈沖序列的卷積計算表示形式，將離散的脈沖序列轉(zhuǎn)換為連續(xù)函數(shù)的分析過程，并解釋為特定的神經(jīng)生理信號。在多層前饋網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中，應(yīng)用梯度下降思想推導(dǎo)得到隱含層和輸出層的突觸權(quán)值學(xué)習(xí)規(guī)則。該算法在多層脈沖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中通過突觸權(quán)值的調(diào)整，能夠?qū)崿F(xiàn)脈沖序列時空模式的學(xué)習(xí)，并應(yīng)用于非線性模式分類問題中，具有更高的分類準(zhǔn)確率。

2 監(jiān)督算法的學(xué)習(xí)規(guī)則

2.1 脈沖序列的卷積表示

脈沖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)監(jiān)督學(xué)習(xí)的目標(biāo)是對于輸入神經(jīng)元任意給定的脈沖序列模式，通過突觸權(quán)值的調(diào)整，神經(jīng)元最終輸出所要求的目標(biāo)脈沖序列模式。脈沖序列S={tf∈Γ:f=1,…,F}表示脈沖神經(jīng)元在區(qū)間Γ=[0,T]所發(fā)放脈沖時間的有序數(shù)列，而脈沖信號用來表示信息或載波，是一種離散信號。其形狀多種多樣，常見的有矩形波。脈沖序列可形式化地表示如下：

(1)

其中，tf表示第f個脈沖發(fā)放時間，δ(x)表示Dirac delta函數(shù)，當(dāng)x = 0時，δ(x)=1，否則δ(x)=0。

由于脈沖序列是由神經(jīng)元發(fā)放脈沖時間所構(gòu)成的離散事件集合，為了方便分析和計算，選擇特定的核函數(shù)κ(t)，應(yīng)用卷積將脈沖序列唯一地轉(zhuǎn)換為一個連續(xù)函數(shù)：

(2)

其中s(t)為公式(1)，通過對脈沖序列基于核函數(shù)的卷積計算，可將脈沖序列解釋為特定的神經(jīng)生理信號，比如神經(jīng)元的突觸后電位或脈沖發(fā)放的密度函數(shù)。該算法中，核函數(shù)為κ(t)=eτ-1te-t/τH(t)，H(t)表示Heaviside函數(shù)，當(dāng)x ≥ 0時,H(x)=1，否則H(x)=0;τ是一個實值常數(shù)。因此，本文中用卷積的形式表示的脈沖序列為：

(3)

為了分析神經(jīng)元輸入和輸出脈沖序列之間的關(guān)系，本文使用廣義的線性泊松神經(jīng)元模型(Linear Poisson Neuron Model)[15]。將神經(jīng)元的突觸后脈沖序列So(t)表示為突觸前脈沖序列的線性加權(quán)形式：

(4)

其中，o表示第o個輸出神經(jīng)元且o∈O；n表示突觸前神經(jīng)元的個數(shù)，即輸入到神經(jīng)元脈沖序列的數(shù)量；Si(t)為公式(3)表示的突觸前脈沖序列；wi表示連接神經(jīng)元的突觸權(quán)值。

2.2 網(wǎng)絡(luò)中權(quán)值的調(diào)整

(5)

其中，o∈O表示輸出層的神經(jīng)元數(shù)量。

為了使網(wǎng)絡(luò)誤差最小化，使用梯度下降方法來調(diào)整權(quán)值：

其中，η表示學(xué)習(xí)率,Δw(t)表示誤差E(t)在時間t對于突觸權(quán)值w的梯度下降值。

對于輸出層突觸權(quán)值woh調(diào)整這部分，使用梯度下降及鏈?zhǔn)揭?guī)則進行推導(dǎo)。突觸權(quán)值woh隨時間更新的公式可表示為：

(6)

公式(6)右邊的第一部分可以做如下處理：

(7)

由神經(jīng)元突觸前后脈沖序列的關(guān)系公式(4)，公式(6)右邊的第二部分可表示為：

這里nh表示隱含層神經(jīng)元的數(shù)目。

于是可以推導(dǎo)出輸出層神經(jīng)元突觸權(quán)值的調(diào)整公式為：

(8)

考慮公式(2)的脈沖序列核函數(shù)卷積計算，可將公式(8)重寫為如下的表示形式：

(9)

將公式(9)積分，可得到輸出層的突觸權(quán)值總的更新規(guī)則為：

對于隱含層突觸權(quán)值whi調(diào)整這部分，誤差導(dǎo)數(shù)的計算使用類似于輸出層的計算方法。

突觸權(quán)值whi隨時間更新的公式可表示為：

(10)

上面公式(10)右邊的第一部分可使用鏈?zhǔn)椒▌t擴展到每個輸出神經(jīng)元，其規(guī)則如下：

(11)

公式(11)中右邊的第二部分可由公式(4)計算得到：

(12)

將公式(7)和公式(12)代入公式(11)，可得：

公式(10)右邊第二部分可推導(dǎo)得出：

這里ni表示輸入層神經(jīng)元的數(shù)目。

因此，綜合上述公式可得到隱含層突觸權(quán)值的調(diào)整公式為：

將上式積分，可得離線的突觸權(quán)值更新規(guī)則為：

3 實驗結(jié)果與分析

為了闡述該算法的特征，這里將執(zhí)行一些仿真實驗。在本文中共設(shè)計兩個實驗，第一個實驗是學(xué)習(xí)多個輸入脈沖序列模式到單個目標(biāo)輸出脈沖序列的映射，這個實驗的目的是驗證該學(xué)習(xí)算法產(chǎn)生脈沖序列的功能。第二個實驗是將該算法應(yīng)用到非線性模式分類問題中，實現(xiàn)對Iris數(shù)據(jù)集的分類任務(wù)，在這個實驗中將驗證該算法的模式識別能力。

3.1 單脈沖序列的學(xué)習(xí)

Figure 1 Spike train model圖1 脈沖訓(xùn)練模型

從圖1中可以看到，在早期的迭代中實際輸出的脈沖與期望目標(biāo)脈沖存在著較大的誤差，在隨后的迭代中輸出的脈沖朝著期望脈沖收斂；注意到在迭代50次內(nèi)神經(jīng)元能夠非常精確地產(chǎn)生所期望的脈沖輸出序列；迭代50次后，在期望的時間內(nèi)接近目標(biāo)脈沖的輸入脈沖被加強，同時，在不期望的時間內(nèi)脈沖的輸出被抑制，在該實驗中，可以推斷該學(xué)習(xí)算法確實能夠訓(xùn)練多個隨機輸入脈沖序列模式映射到一個單目標(biāo)脈沖序列。

圖2表示的是單脈沖序列學(xué)習(xí)在[0 ms，100 ms]誤差的進化過程，其誤差值使用實際輸出序列與目標(biāo)序列之間的差值進行計算。該實驗迭代100次。從圖2中可以看出誤差值隨著迭代次數(shù)的增加而減小，誤差函數(shù)值在進化開始時，誤差值迅速收斂，出現(xiàn)了一個快速減小的過程，迭代到70次后誤差值趨于平穩(wěn)，收斂到一個穩(wěn)定的值，從圖2中可以看出該算法具有較好的收斂性。

Figure 2 Evolution of error圖2 平均誤差進化

3.2 分類問題

在這個實驗中，本文采用多層前饋型脈沖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，并將該算法應(yīng)用到非線性模式分類問題中，實現(xiàn)對Iris數(shù)據(jù)集的分類，目的是學(xué)會分類三類輸入脈沖序列模型。在實驗中，從Iris數(shù)據(jù)集的三類花中每類隨機抽取10個樣本組成訓(xùn)練集(共30個樣本)，每類花中剩余的40個樣本組成測試集(共120個樣本)，輸入特征值采用線性編碼方案。

對于每一類輸入脈沖序列模型，首先把每個樣本的四個特征值分別歸一化后線性編碼在[10 Hz，40 Hz]的頻率。接著把每個頻率轉(zhuǎn)化為[0 ms，100 ms]的脈沖序列。然后再把每個樣本的四個特征值分別編碼成四個線性輸入脈沖序列。在Iris數(shù)據(jù)集中把每一類的輸出值1、2和3分別編碼成10 Hz、20 Hz和30 Hz的目標(biāo)脈沖序列。經(jīng)過學(xué)習(xí)后，輸出神經(jīng)元為每個分類訓(xùn)練產(chǎn)生一個脈沖序列。本文設(shè)定該學(xué)習(xí)方法在[0 ms，100 ms]進行學(xué)習(xí)，在學(xué)習(xí)過程中分別計算輸入脈沖序列與三個目標(biāo)脈沖序列的誤差值，根據(jù)誤差值來確定輸入脈沖所屬類別。該實驗訓(xùn)練100次，在每次訓(xùn)練中都選擇不同的隨機數(shù)初始化突觸權(quán)重。

圖3顯示了訓(xùn)練100次后，Iris數(shù)據(jù)集的訓(xùn)練集在學(xué)習(xí)過程中三類輸入脈沖序列模型各自與目標(biāo)脈沖序列的平均誤差率的進化。在剛開始時誤差迅速減小,然后出現(xiàn)了一個波動過程，隨后開始穩(wěn)定下來并且慢慢減小。在分類過程中，一些類的學(xué)習(xí)誤差減小較快，這是由于這些類的分類速度快于其他的類，例如類2。為了測試分類情況，本文分別對Iris數(shù)據(jù)集的訓(xùn)練集和測試集進行測試。在分類中神經(jīng)元能夠?qū)崿F(xiàn)訓(xùn)練集和測試集的分類，且訓(xùn)練集平均分類正確率達到94.6%，測試集平均分類正確率達到93.7%，很好地實現(xiàn)了對Iris數(shù)據(jù)集的分類效果。

Figure 3 Iris training set average error rate evolution圖3 Iris訓(xùn)練集平均誤差率變化曲線

另外，本文所提算法在Matlab 7.0環(huán)境下進行仿真計算，與BP算法對Iris分類結(jié)果比較如表1所示。

Table 1 Fisher Iris data classification comparisonunder different learning algorithms

從表1中可以看出，本文所提算法在對Iris這樣簡單的數(shù)據(jù)集進行分類時，測試集和訓(xùn)練集在分類正確率上優(yōu)于傳統(tǒng)的BP算法。

4 結(jié)束語

應(yīng)用核函數(shù)的卷積計算將脈沖序列轉(zhuǎn)換為連續(xù)的函數(shù)，通常用來比較和解釋脈沖模型，或是在單層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中進行學(xué)習(xí)。本文針對脈沖神經(jīng)元精確定時的編碼信息特點，提出基于卷積計算的多層脈沖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的監(jiān)督學(xué)習(xí)算法，該算法在核函數(shù)卷積計算的基礎(chǔ)上產(chǎn)生脈沖序列，并將其推廣到多層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中。在網(wǎng)絡(luò)中權(quán)值的調(diào)整是在基本的Widrow-Hoff規(guī)則上進行推導(dǎo)的。需要注意的是，核函數(shù)是在權(quán)值調(diào)整之前進行計算的，而在網(wǎng)絡(luò)中輸出層和隱含層的權(quán)值是應(yīng)用梯度下降的方法進行調(diào)整的。因此，核函數(shù)的應(yīng)用并不依賴于某種神經(jīng)模型。在實驗部分，構(gòu)造多層前饋網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，實驗的第一部分，其結(jié)果顯示應(yīng)用該算法能夠產(chǎn)生預(yù)期的脈沖序列，實驗的第二部分，應(yīng)用該算法對Iris數(shù)據(jù)集進行分類測試，并對測試結(jié)果進行了分析，實驗結(jié)果證實了該算法的有效性。

作為未來的研究工作，該學(xué)習(xí)算法可應(yīng)用到真實世界的時間計算任務(wù)中?？衫^續(xù)學(xué)習(xí)使用該算法作為液態(tài)機制的讀出函數(shù)。并且，可構(gòu)造遞歸結(jié)構(gòu)的脈沖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，進一步研究將該算法應(yīng)用于該網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中的可行性，豐富遞歸脈沖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的監(jiān)督學(xué)習(xí)算法。研究該算法在線學(xué)習(xí)的可行性及動態(tài)突觸和LIF神經(jīng)元參數(shù)關(guān)聯(lián)的效果。

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