鄭秋生，何 锫,2,3，李 驥

(1.長(zhǎng)沙理工大學(xué)計(jì)算機(jī)與通信工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410114;2.廣州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與教育軟件學(xué)院，廣東 廣州 510006;3.北京大學(xué)高可信軟件技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100871)

1 引言

遺傳程序設(shè)計(jì)GP(Genetic Programming)[1]是重要的自動(dòng)程序設(shè)計(jì)方法，包括線(xiàn)性與非線(xiàn)性表示兩類(lèi)。多表達(dá)式程序設(shè)計(jì)MEP(Multi Expression Programming)、基因表達(dá)式程序設(shè)計(jì)GEP(Gene Expression Programming)、文法演化GE(Grammatical Evolution)以及Hoare語(yǔ)義型遺傳程序設(shè)計(jì)等都是線(xiàn)性表達(dá)的遺傳程序設(shè)計(jì)方法[2～9]，它們?cè)诙嗄繕?biāo)優(yōu)化、金融預(yù)測(cè)、海量數(shù)據(jù)分析、軟件工程、信息安全等領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用[6, 10]。

與傳統(tǒng)GP相比較，MEP等線(xiàn)性表達(dá)的GP(某些文獻(xiàn)也將線(xiàn)性表達(dá)的GP簡(jiǎn)稱(chēng)為線(xiàn)性GP)既便于個(gè)體表示、遺傳操作，又易于描述復(fù)雜結(jié)構(gòu)和實(shí)現(xiàn)，因此自提出以來(lái)一直很受關(guān)注。然而一切GP都以遺傳算法[11]為基礎(chǔ)，因而轉(zhuǎn)換、評(píng)估工作十分繁復(fù)，除要將個(gè)體的樹(shù)型/線(xiàn)性表示方式轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的表現(xiàn)型外，還要執(zhí)行、測(cè)試所得的近似解以確認(rèn)它的合適程度。如此一來(lái)，評(píng)估(某些語(yǔ)義計(jì)算甚至一個(gè)小小的步驟就得耗費(fèi)數(shù)十小時(shí)以上)等的計(jì)算耗費(fèi)了大量的時(shí)空資源，成為GP研究的挑戰(zhàn)性問(wèn)題[12]。

本文擬就評(píng)估問(wèn)題對(duì)MEP做深入探討。先系統(tǒng)化分析它的表示、評(píng)估過(guò)程中重復(fù)計(jì)算現(xiàn)象的根源所在，而后給出規(guī)避這些問(wèn)題的理論依據(jù)、實(shí)際解決方案。因無(wú)須重復(fù)計(jì)算相同的語(yǔ)義工作，新方法在演化效率上有了顯著提高。

2 背景和相關(guān)工作

多表達(dá)式程序設(shè)計(jì)[3,6,9]作為線(xiàn)性表達(dá)的遺傳程序設(shè)計(jì)方法,主要通過(guò)將搜索目標(biāo)分為基因型與表現(xiàn)型兩個(gè)層面來(lái)規(guī)范求解過(guò)程。由于引入了雙層概念，MEP等線(xiàn)性表達(dá)方法的評(píng)估須先履行兩型間的轉(zhuǎn)換，而后執(zhí)行、測(cè)試表現(xiàn)型所刻畫(huà)的程序。

MEP的個(gè)體可以表示為線(xiàn)性序列c1,c2,…,cn，其中ci(1≤i≤n)或取自由常量、變量組成的終端集，或取自函數(shù)集F，當(dāng)然此時(shí)須依函數(shù)的數(shù)目以及此前獲得的cj(1≤j

Table 1 MEP individual representation

表1中基因1對(duì)應(yīng)的表現(xiàn)型或表達(dá)式為a；基因2對(duì)應(yīng)的表達(dá)式為b；基因3的表達(dá)式為a+b；基因4的表達(dá)式為a；基因5的表達(dá)式為b×(a+b)；基因6的表達(dá)式為(b×(a+b))+a。由此可見(jiàn)，語(yǔ)義的重復(fù)計(jì)算現(xiàn)象會(huì)充斥評(píng)估過(guò)程，這在MEP里尤為明顯。

有關(guān)MEP的算法流程如下所示(讀者也可以參見(jiàn)文獻(xiàn)[3,6,9])：

(1)隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)個(gè)體種群；

(2)評(píng)估種群中的個(gè)體，若滿(mǎn)足評(píng)估標(biāo)準(zhǔn)、精度或算法終止條件，則停止，最佳個(gè)體所表征的解即為所求目標(biāo)；

(3)若不滿(mǎn)足終止條件，則在當(dāng)前種群上實(shí)施雜交、變異等遺傳操作以期獲得新的種群；

(4)轉(zhuǎn)第(2)步，反復(fù)迭代。

MEP的應(yīng)用[6,9,13～20]概括地講涵蓋數(shù)字電路設(shè)計(jì)、天線(xiàn)設(shè)計(jì)、符號(hào)回歸、金融預(yù)測(cè)與建模、分類(lèi)、數(shù)據(jù)分析、入侵檢測(cè)、決策支持系統(tǒng)、算法設(shè)計(jì)以及TSP求解等領(lǐng)域。圖像配準(zhǔn)是利用圖像序列實(shí)施3D重建的關(guān)鍵任務(wù)。文獻(xiàn)[17]將這一難題歸結(jié)為面向特征點(diǎn)的公式發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，嘗試采用MEP求解。 文獻(xiàn)[13]等則探討了MEP等諸多線(xiàn)性表達(dá)的GP在基本入侵檢測(cè)方面的應(yīng)用。Alavi A H團(tuán)隊(duì)[18～20]解決實(shí)際工程應(yīng)用問(wèn)題多次采用了MEP。如他們?cè)谖墨I(xiàn)[18]中借助MEP對(duì)瀝青混合材料的永久變形進(jìn)行分析；在文獻(xiàn)[19]中對(duì)土壤液化的評(píng)估實(shí)施MEP建模。MEP在國(guó)內(nèi)也得到了關(guān)注。文獻(xiàn)[14，15]等充分考慮GEP、MEP的優(yōu)勢(shì)，在個(gè)體表示、解讀方面做了努力，提高了性能。

綜上所述，MEP應(yīng)用面很廣，是解決數(shù)據(jù)分析、實(shí)際工程應(yīng)用問(wèn)題的有力工具。然而，MEP與其他GP家族成員一樣，也有計(jì)算量大、評(píng)估耗時(shí)的不足。鑒于目前直接改進(jìn)其評(píng)估工作的研究尚不多見(jiàn)，以下擬系統(tǒng)深入地分析個(gè)體表示，嘗試規(guī)避評(píng)估過(guò)程凸顯的重復(fù)計(jì)值現(xiàn)象，從而提高算法性能。

3 MEP中的重復(fù)評(píng)估問(wèn)題

MEP實(shí)質(zhì)是以一定法則不斷改變、演化產(chǎn)生新的個(gè)體集(也叫種群)的方式來(lái)獲取問(wèn)題的解的。從第2節(jié)的表1易見(jiàn)，個(gè)體的評(píng)估會(huì)出現(xiàn)大量重復(fù)計(jì)值現(xiàn)象。本節(jié)將深入分析MEP算法模型上的這一問(wèn)題，指出重復(fù)計(jì)值現(xiàn)象產(chǎn)生的充分條件和理論計(jì)算依據(jù)。

定理1設(shè)MEP的函數(shù)集和終端集分別是F、T，T中終端符的個(gè)數(shù)為|T|，則染色體中基因個(gè)數(shù)多于|T|時(shí)，必有重復(fù)運(yùn)算。

定義1(等型基因) 設(shè)I是MEP系統(tǒng)中長(zhǎng)度為d的個(gè)體(染色體)，I中第d1、d2(1≤d1,d2≤d)兩號(hào)基因等型，如果它們所表征的表現(xiàn)型或抽象語(yǔ)法樹(shù)一致。

定理2設(shè)MEP的函數(shù)集和終端集分別是F、T，那么評(píng)估個(gè)體I的長(zhǎng)為d的前綴片段(個(gè)體前d個(gè)基因構(gòu)成的基因片段)所需的運(yùn)算量總數(shù)，記為N(T,F,I,d)，可由式(1)獲得。

(1)

其中,di是基因在個(gè)體I中的下標(biāo)。

證明施歸納于個(gè)體前綴基因片段的長(zhǎng)度d如下：

(1)歸納基始：d=0或1時(shí)，結(jié)論顯見(jiàn)成立。

(2)歸納論證步驟分兩步進(jìn)行。

①當(dāng)?shù)赿個(gè)基因?yàn)榻K端符時(shí)： 評(píng)估d個(gè)前綴基因的總運(yùn)算量N(T,F,I,d)實(shí)質(zhì)是在前d-1個(gè)基因評(píng)估運(yùn)算量基礎(chǔ)上增加了一次常量提取運(yùn)算，因而結(jié)論成立，符合公式描述。

②當(dāng)?shù)赿個(gè)基因?yàn)楹瘮?shù)運(yùn)算f(d1,d2,…,dm)時(shí)：d個(gè)前綴基因的總評(píng)估運(yùn)算量N(T,F,I,d)應(yīng)包括前d-1個(gè)基因的評(píng)估運(yùn)算量與f(d1,d2,…,dm)本身的運(yùn)算量?jī)刹糠?。?jù)歸納假設(shè)，前者是N(T,F,I,d-1)，后者宜為第d1,d2,…,dm個(gè)基因的評(píng)估運(yùn)算量加上一次m元運(yùn)算f(d1,d2,…,dm)。又對(duì)任意i(1≤i≤m)，第di個(gè)基因本身的評(píng)估運(yùn)算量可借助歸納假設(shè)和總運(yùn)算量概念表達(dá)為：N(T,F,I,d)-N(T,F,I,di-1)。故此結(jié)論成立。

□

為方便理解，表1同時(shí)給出了染色體前綴運(yùn)算總量的計(jì)值示例。由定義1易見(jiàn)，基因間的等型關(guān)系是一種等價(jià)關(guān)系。下面的定理3將著力回答評(píng)估中的重復(fù)運(yùn)算問(wèn)題。

證明需注意三點(diǎn)：

(1)等型基因類(lèi)中的元素僅需實(shí)際計(jì)算一個(gè)(比如該類(lèi)中被第一個(gè)分析和發(fā)現(xiàn)的元素)。

(2)實(shí)際計(jì)算等型基因類(lèi)中的一個(gè)元素時(shí)，涉及F∪T上符號(hào)所表征的計(jì)值運(yùn)算僅有一次。因?yàn)閰⑴c復(fù)合運(yùn)算的子樹(shù)是低深度的子樹(shù)，其計(jì)值早在低深度基因類(lèi)分析過(guò)程中已完成，可以直接引用(不涉及F∪T中元素所明確表示的運(yùn)算)。

(3)關(guān)于深度為1的等型類(lèi)的計(jì)值問(wèn)題，這里按計(jì)值一次的方式處理(涉及到T中符號(hào)，有可能存在某些轉(zhuǎn)換)，其它重復(fù)現(xiàn)象可以通過(guò)引用獲得(不必做有關(guān)轉(zhuǎn)換)。

至此，我們分析了MEP的重復(fù)計(jì)值問(wèn)題。它們包括個(gè)體內(nèi)與種群中個(gè)體間的重復(fù)計(jì)值現(xiàn)象，其中后者較為隱蔽。下節(jié)將據(jù)定理3等結(jié)論給出去除重復(fù)計(jì)算現(xiàn)象的具體技術(shù)方案。實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，定理3可以施用于演化過(guò)程產(chǎn)生的所有種群和個(gè)體，這只需將定理中的d視為演化過(guò)程中所有個(gè)體首尾銜接形成的大個(gè)體即可。

4 新型MEP算法及評(píng)估

依據(jù)以上定理，本節(jié)介紹具有去除重復(fù)運(yùn)算功能的評(píng)估方案：處理單個(gè)基因的算法NMEP及嵌入NMEP的MEP演化算法。

算法NMEP基本思想：通過(guò)不斷構(gòu)建等型基因有向圖Q(V，E)來(lái)識(shí)別重復(fù)的基因，從而避免重復(fù)計(jì)算。V是頂點(diǎn)集，E是有向邊集，V中每個(gè)頂點(diǎn)有編號(hào)且對(duì)應(yīng)一個(gè)基因，并存儲(chǔ)該基因的信息。

算法NMEP

輸入：基因g。

輸出：基因g在V中的相關(guān)頂點(diǎn)編號(hào)及g的其他信息。

步驟1本步驟只在MEP初始化種群之前執(zhí)行一次。初始化等型基因有向圖Q(V，E)：終端符集T={z1,…,zk}中每個(gè)終端符代表的基因g1,…,gk均屬不同等型基因類(lèi)，故在V中創(chuàng)建它們對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)v1,…,vk(下標(biāo)1,2,…,k是頂點(diǎn)在V中的編號(hào)，下同)，并對(duì)所有頂點(diǎn)從1開(kāi)始依序編號(hào)。將基因g1,…,gk所涵蓋的語(yǔ)義動(dòng)作及其基因信息分別寫(xiě)入v1,…,vk頂點(diǎn)中。num_gene等于V中頂點(diǎn)數(shù)。

步驟2演化過(guò)程中，如果基因g取自T中終端符，由于步驟1已對(duì)T中所有終端符進(jìn)行處理，則直接找到V中與基因g同屬一個(gè)等型基因類(lèi)的基因g′對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)v′，輸出v′的編號(hào)及其基因信息。

步驟3如果基因g是函數(shù)形式(pg，s1,…,sn)，其中pg是操作符，s1,…,sn是它的參數(shù)，s1,…,sn所對(duì)應(yīng)的基因gs1,…,gsn必然已被處理，找到基因gs1,…,gsn在V中對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)編號(hào)a1,…,an。對(duì)算法中的操作符需要考慮交換率時(shí)，執(zhí)行步驟3.1、步驟3.3和步驟3.4；不需要時(shí)，執(zhí)行步驟3.2、步驟3.3和步驟3.4。

步驟3.1當(dāng)算法適用交換率時(shí)，如果pg滿(mǎn)足交換率，則需要將a1,…,an按一定順序排列成標(biāo)準(zhǔn)序列(本算法以a1,…,an的升序排列結(jié)果作為標(biāo)準(zhǔn)序列t1,…,tn)，如此便于在步驟3.4的操作中查找滿(mǎn)足與基因g重復(fù)條件的基因；否則，如果pg不滿(mǎn)足交換率，把a(bǔ)1,…,an賦值給t1,…tn；最后，找到頂點(diǎn)vt1。

步驟3.2當(dāng)算法不適用交換率時(shí)，把a(bǔ)1,…,an賦值給t1,…,tn；最后，找到頂點(diǎn)vt1。

為此，嵌入NMEP進(jìn)行評(píng)估去重的算法可重新表述如下：

Begin:

初始化種群；

for(i=1；i≤演化代數(shù)；i++)

{for(j=1;j≤種群大小;j++)

{依次處理種群的每個(gè)個(gè)體q：用算法NMEP處理個(gè)體中的每個(gè)基因；}

如果(i<演化代數(shù))

{交叉；變異；}

}

輸出最佳個(gè)體；

End

5 實(shí)驗(yàn)分析

由以上敘述可知，NMEP僅在評(píng)估時(shí)對(duì)MEP的基因進(jìn)行了等價(jià)去重處理，并沒(méi)有對(duì)演化規(guī)則、過(guò)程進(jìn)行任何變動(dòng)，因而嵌入NMEP的MEP與傳統(tǒng)MEP應(yīng)有一樣的精度，自然無(wú)需就精度進(jìn)行實(shí)驗(yàn)比較。

新方法采用MEP的適應(yīng)值計(jì)算方法，即計(jì)算單染色體中所有基因的適應(yīng)值，然后以最佳值來(lái)表征個(gè)體適應(yīng)值，詳見(jiàn)式(2)。

(2)

本節(jié)針對(duì)符號(hào)回歸問(wèn)題做了三個(gè)實(shí)驗(yàn)，其中目標(biāo)函數(shù)如式(3)～式(5)所示，x,y∈[-100，100]，涉及的參數(shù)見(jiàn)表2，S和E分別表示sin和exp運(yùn)算，比較的對(duì)象是運(yùn)行時(shí)間。

z=x4+x3+x2+x

(3)

z=sin(exp(sin(exp(sin(x)))))

(4)

z=x3+x2y-y

(5)

為更好地體現(xiàn)新方法的時(shí)間優(yōu)勢(shì)(主要得益于消除基因的重復(fù)引用，即語(yǔ)義的重復(fù)計(jì)算現(xiàn)象)，還增加了演化過(guò)程的語(yǔ)義復(fù)雜度，如為每個(gè)基因的處理/運(yùn)行額外添加了語(yǔ)義延時(shí)程序extra()。它的一次執(zhí)行將達(dá)萬(wàn)次“a++”之眾。

Table 2 Parameters of experiment 1～experiment 3

圖2～圖4為通過(guò)實(shí)驗(yàn)1～實(shí)驗(yàn)3對(duì)比嵌入NMEP的MEP與傳統(tǒng)MEP的時(shí)間開(kāi)銷(xiāo)，圖中橫坐標(biāo)表示運(yùn)行次數(shù)，縱坐標(biāo)表示時(shí)間，單位是s。每個(gè)實(shí)驗(yàn)都有兩條曲線(xiàn)，位于下方的曲線(xiàn)(時(shí)間少)均是嵌入NMEP的MEP的演化時(shí)間；位于上方的曲線(xiàn)(時(shí)間多)均是傳統(tǒng)MEP的演化時(shí)間。由圖2～圖4可知，傳統(tǒng)MEP在時(shí)間性能上明顯落后于嵌入NMEP的MEP，也即新評(píng)估方法擁有較大的時(shí)間優(yōu)勢(shì)。

Figure 2 Time comparison between NMEP-based MEP and traditional MEP in experiment 1圖2 實(shí)驗(yàn)1中嵌入NMEP的MEP與傳統(tǒng)MEP時(shí)間比較

Figure 3 Time comparison between NMEP-based MEP and traditional MEP in experiment 2圖3 實(shí)驗(yàn)2中嵌入NMEP的MEP與傳統(tǒng)MEP時(shí)間比較

Figure 4 Time comparison between NMEP-based MEP and traditional MEP in experiment 3圖5 實(shí)驗(yàn)3中嵌入NMEP的MEP與傳統(tǒng)MEP時(shí)間比較

圖5～圖7刻畫(huà)三個(gè)實(shí)驗(yàn)中NMEP查出傳統(tǒng)MEP演化過(guò)程包含的基因的重復(fù)次數(shù)。圖中橫坐標(biāo)表示演化代數(shù)，縱坐標(biāo)表示傳統(tǒng)MEP的基因的重復(fù)引用次數(shù)。從圖5～圖7的基因的重復(fù)引用總量看來(lái)，重復(fù)量是不可小覷的。試想如果被重復(fù)計(jì)算的語(yǔ)義動(dòng)作的時(shí)間復(fù)雜度很高，那么大量重復(fù)將耗費(fèi)龐大的運(yùn)算時(shí)間和其他資源。

Figure 5 Repeat number NMEP finds out in experiment 1圖5 實(shí)驗(yàn)1中算法NMEP查找出的重復(fù)次數(shù)

Figure 6 Repeat number NMEP finds out in experiment 2圖6 實(shí)驗(yàn)2中算法NMEP查找出的重復(fù)次數(shù)

Figure 7 Repeat number NMEP finds out in experiment 3圖7 實(shí)驗(yàn)3中算法NMEP查找出的重復(fù)次數(shù)

綜觀(guān)圖2～圖7，當(dāng)傳統(tǒng)MEP的種群在演化過(guò)程中涉及的基因重復(fù)引用量、語(yǔ)義動(dòng)作的運(yùn)算量越大，嵌入NMEP的MEP所節(jié)省的時(shí)間就越多。由上可知，嵌入NMEP的MEP在不改變傳統(tǒng)MEP演化規(guī)則和精度的基礎(chǔ)上，能夠準(zhǔn)確有效地識(shí)別被重復(fù)使用的基因，避免重復(fù)計(jì)算帶來(lái)的大量的資源消耗，使得MEP在性能上得到較大的提高。這表明，針對(duì)MEP的去重運(yùn)算研究不僅具有充分的理論依據(jù)，而且在具體實(shí)現(xiàn)環(huán)節(jié)也是可行的，是擁有重要前景的一個(gè)研究領(lǐng)域。

6 結(jié)束語(yǔ)

本文首先深入分析了MEP的基因在染色體中的表示特點(diǎn)及采用的評(píng)估方法，發(fā)現(xiàn)每個(gè)染色體中的任何基因都有可能多次被當(dāng)前或其它后續(xù)種群中的其他基因引用，造成重復(fù)計(jì)算的現(xiàn)象，繼而給出了現(xiàn)象出現(xiàn)的充分條件，以及處理的理論依據(jù)和具體算法。算法NMEP在保證與傳統(tǒng)MEP精度相同的基礎(chǔ)上，能有效識(shí)別會(huì)被重復(fù)引用的基因，避免大量重復(fù)計(jì)算，節(jié)省了寶貴的時(shí)空資源。最后的實(shí)驗(yàn)結(jié)論表明，去重計(jì)值后，嵌入NMEP的MEP在性能上有顯著提高?？梢?jiàn)，去重研究對(duì)于MEP的整體研究具有重要的意義。我們下一步將用類(lèi)似方法分析GEP的評(píng)估問(wèn)題，相信在深度優(yōu)先解碼方式下會(huì)有相似效果。

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