何 偉, 徐福緣

(上海理工大學 管理學院,上海 200093)

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庫存展示量影響需求的促銷易腐品最優(yōu)訂貨策略

何 偉, 徐福緣

(上海理工大學 管理學院,上海 200093)

零售商經(jīng)常會選擇多種商品進行促銷以提高收益，促銷商品與人民群眾的日常生活密切相關。本文建立庫存影響需求的促銷易腐品的訂貨決策模型，允許缺貨發(fā)生，且短缺拖后率與已經(jīng)發(fā)生的缺貨量和等待時間相關。證明了最優(yōu)解的存在性和唯一性，提出了求解最優(yōu)訂購策略的搜索算法。通過仿真實驗驗證模型和算法，得到主要參數(shù)的靈敏度分析結果。

庫存影響需求；促銷商品；變質；模型

0 引言

在經(jīng)典的庫存控制模型中，庫存系統(tǒng)的外部需求通常假設為常數(shù)，但是實際中市場需求則因為受到諸多因素的影響而發(fā)生變化，需求通常會受到物品的庫存水平的影響。文獻[1]研究了需求依賴即時庫存水平的易變質多物品最優(yōu)訂購策略；文獻[2]在需求依賴于庫存水平下給出了供應商提供延期支付期和量折扣策略的庫存模型。文獻[3]研究需求率基于庫存的變質物品的兩貨棧模型。有很多學者則基于庫存影響需求下的庫存模型進行了深入的研究[4～8]。

促銷商品是大賣場用來吸引顧客前來購買從而提高商場總銷售額的常用營銷手段[9]。而實際中賣場為了吸引顧客光顧，促進其它商品銷售，一般會選擇消耗量大、購買頻率高的蔬菜水果等農產品作為促銷商品推出，如沃爾瑪、家樂福、永輝超市等的天天低價策略，文獻[10，11]指出這類產品由于腐爛變質等原因隨著時間的推移發(fā)生數(shù)量和價值方面的損耗。文獻[12]提出了電子商務零售中經(jīng)常會選擇多種商品進行促銷以提高零售收益。文獻[13]研究了等待時間和缺貨量的共同影響，認為當接近下次補貨點時，由于等待時間較短，顧客一般愿意等待，而此時缺貨量較大，如商品補貨能力受限，顧客則不愿意等待，但沒有考慮促銷商品的特點，即庫存影響需求和顧客等待時間。

促銷商品的銷售量較大，缺貨時有發(fā)生，在傳統(tǒng)的庫存系統(tǒng)研究中，一般假設短缺不允許發(fā)生[14，15]，文獻[16]假設允許缺貨，提出了短缺量完全拖后和部分拖后的庫存控制模型，文獻[17]對文獻[16]中的前兩個模型進行理論證明，但是未對模型三進行理論證明，本文從理論上解決了模型三最優(yōu)解的存在性和唯一性問題。

本文建立庫存影響需求的促銷易腐品的訂貨決策模型，根據(jù)促銷商品的特點，允許缺貨發(fā)生，且短缺拖后率與已經(jīng)發(fā)生的缺貨量和顧客等待時間相關；通過分析，在理論上證明了各種情形下的模型最優(yōu)解的存在性和唯一性，并提出了求解最優(yōu)訂購策略的搜索算法。最后，通過仿真實驗驗證模型和算法，并對主要參數(shù)進行了靈敏度分析，為銷售商制定采購計劃和經(jīng)營決策提供理論依據(jù)。

1 模型假設與記號

在以下的分析過程中，使用的主要假設與記號如下：

(1)瞬時供貨，提前期為零；

(3)假設物品易腐率θ是一個常數(shù)，0≤θ≤1，物品變質后無殘值；

(4)允許缺貨，且短缺量拖后率函數(shù)為:D1(t)=α-γS(t),t1≤t0缺貨量部分拖后，γ的取值越大，缺貨拖后率越??；

(5)S(t)表示t時刻等待供貨的需求量；

(6)Q是單周期的訂貨量，S為單周期內的最大缺貨量；

(7)T為訂貨周期，t1表示不缺貨的區(qū)間長度，t2表示缺貨的區(qū)間長度，顯然T=t1+t2，三者均可作為決策變量，但決策變量實為其中任意兩者；

(8)K表示訂貨費，c是單位商品的購買費用，p是單位商品的銷售價，h表示單位商品的庫存保管費用，s是商品單位時間的缺貨費用，r表示因缺貨造成缺銷商品的機會成本；M為系統(tǒng)最大庫存量；

(9)P(t1,T)為系統(tǒng)的單位時間平均利潤。

2 模型建立

根據(jù)假設可知在[0,t1]內的庫存水平隨著需求而下降，因此表示庫存水平的狀態(tài)方程為

(1)

由邊界條件I(t1)=0，得微分方程(1)的解

(2)

(3)

缺貨期內等待需求量S(t)滿足下面的微分方程

(4)

由邊界條件S(t1)=0可得(4)式的解

(5)

(6)

由此計算一個訂貨周期T內各項成本如下：

訂貨成本：K

庫存成本：

缺貨成本：

短缺拖后供給成本：

訂購成本：

銷售收入：

所以，系統(tǒng)的平均利潤：

P(T,t1)={TR-TCh-TCs-TCr-cQ-K}/T

帶入化簡可得：

(7)

因此，這種庫存展示量影響需求的促銷易腐品的最優(yōu)訂貨策略問題被抽象為下列有約束非線性規(guī)劃問題：

maxP(T,t1)

(8)

3 模型求解

通過分析 , 可以得到以下關于非線性規(guī)劃問題 (8) 最優(yōu)解的一些理論分析結果。

對P(T,t1)關于t1求導可得：

(9)

(10)

將(10)式帶入(7)式可得

(11)

將(11) 式對t2求導可得

(12)

其中

(13)

由(13)式易得到

(14)

(2)當F>0時，分析如下三種情況：

①當沒有短缺發(fā)生時，即T=t1，此時有

(15)

(16)

②當系統(tǒng)一直缺貨時，即t1=0，此時有

(17)

(18)

③當0

綜合上述分析，可以得到如下定理:

4 模型算法

綜合所述，求解模型(8)的算法如下：

第1步 輸入所有參數(shù)的值，計算E,F,G.

5 數(shù)值例子及靈敏度分析

根據(jù)某大型超市的銷售實際情況，在兩種情形下模型參數(shù)分別設定如下：

模型靈敏度分析如下，通過改變參數(shù)β,M的取值，分析利潤的變化規(guī)律，結果見表1。

表1 F≤0情形下的靈敏度分析

模型靈敏度分析如下，通過改變參數(shù)β,γ的取值，分析利潤的變化規(guī)律，結果見表2。

表2 F>0情形下的靈敏度分析

6 結束語

本文將Padmanabhan & Vrat提出的變質物品庫存模型應用到現(xiàn)實零售業(yè)銷售情形中，考慮促銷商品的特點，提出了促銷易腐商品的訂貨決策模型，并且完成了模型最優(yōu)解存在性和唯一性理論上的證明。假設允許缺貨發(fā)生，且短缺拖后率與已經(jīng)發(fā)生的缺貨量相關，建立了以零售商單位時間內平均總利潤為目標函數(shù)的庫存模型。通過對模型的分析，提供了尋求模型整體最優(yōu)解的搜索算法。仿真實驗表明：采用搜索算法得到的訂貨周期能使得庫存系統(tǒng)利潤達到最大，并且可以在存儲空間限制范圍內通過增大庫存水平的辦法來增加系統(tǒng)的平均利潤。本文為企業(yè)優(yōu)化庫存管理決策提供了可行方案，但僅僅是針對變質促銷商品的庫存優(yōu)化問題，對于隨機變質率或者不同銷售屬性的多物品聯(lián)合庫存優(yōu)化問題是下一步研究的方向。

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The Optimal Replenishment Strategy for Perishable and Off-price Products with Stock-dependent and Capacity Constraint

HE Wei, XU Fu-yuan

(BusinessSchool,UniversityofShanghaiforScienceandTechnology,Shanghai200093,China)

For improving sales performance, multi-items are often selected for promotion. Off-price item is closely related to people’s daily life. We discuss the inventory problem of perishable and off-price items with stock-dependent demand rate. Some customers are more impatient to wait, therefore the sale opportunity is reduced and a bigger shortage leads to a larger loss. The existence of the optimal solution to the model is discussed, and a search algorithm of the optimal order strategy is provided. Simulation experiments are presented to illustrate the model and the main parameters are carried out.

stock-dependent demand rate; off-price item; perish ability; model

2014- 06-16

國家自然科學基金資助項目(71171135)；上海市一流學科項目資助(S1201YLXK)；滬江基金資助項目(A14006)；上海市研究生創(chuàng)新基金資助項目(JWCXSL1301)

何偉(1981-),男,安徽滁州人，博士研究生,研究方向:供應鏈、企業(yè)供需網(wǎng)及其管理;徐福緣(1948-)，男，浙江紹興人，教授，博士生導師，主要研究方向：系統(tǒng)工程企業(yè)供需網(wǎng)及其管理。

F274；O227

A

1007-3221(2015)04- 0105- 06