宋振云

（湖北職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機電工程學(xué)院，湖北 孝感 432000）

0 引言

在數(shù)學(xué)規(guī)劃、控制論、最優(yōu)化等非線性分析領(lǐng)域，凸性及其廣義凸性所發(fā)揮的不可替代作用［1-3］已眾所周知.隨著其研究的深入，應(yīng)用的廣泛性被不斷向外拓展，應(yīng)用的價值也愈來愈明顯.近年來，凸性及其廣義凸性受到眾多專家學(xué)者的關(guān)注，使得對凸性和廣義凸性的研究成為熱點，尤其是關(guān)于凸性和廣義凸性的各類新的凸函數(shù)概念被不斷提出，進而被進一步深入研究和廣為應(yīng)用，僅就實數(shù)區(qū)間上的二元冪平均所給出的凸函數(shù)，就有如幾何凸函數(shù)［4］、調(diào)和凸函數(shù)［5］、平方凸函數(shù)［6］、對數(shù)凸函數(shù)［7］、AH-凸函數(shù)［8］、GA-凸函數(shù)［9］、GH-凸函數(shù)［10］、HA-凸函數(shù)［11］、HG-凸函數(shù)［12］等，又如rP-凸函數(shù)［13］、P-凸函數(shù)［14］、MG-凸函數(shù)［15］、GM-凸函數(shù)［16］等.

本文基于應(yīng)用上對函數(shù)凸性的特殊要求，考慮對凸函數(shù)、對數(shù)凸函數(shù)、AH-凸函數(shù)的進一步推廣問題，給出了AM-凸函數(shù)的定義，討論了AM-凸函數(shù)的判定定理和相關(guān)性質(zhì)，建立了AM-凸函數(shù)的Jensen型不等式.

定義1設(shè)I?(0,+∞)，f(x)是I上的正值函數(shù)，如果 ?x1,x2∈I及 ?t∈[0,1]，存在r∈R，使得

則稱f(x)為I上的AM-凸（凹）函數(shù).其中，當(dāng)r＞0 時，稱f(x)為I上的AMr+-凸（凹）函數(shù)，當(dāng)r＜0 時，稱f(x)為I上的AMr--凸（凹）函數(shù).

注1當(dāng)r=0 時，AM-凸（凹）函數(shù)即為對數(shù)凸（凹）函數(shù)，當(dāng)r=1 時，AM-凸（凹）函數(shù)即為通常的凸（凹）函數(shù)，當(dāng)r=-1時，AM-凸（凹）函數(shù)即為AH-凸（凹）函數(shù).

1 關(guān)于AM-凸函數(shù)的判定

全文約定所有討論只考慮r≠0 的情形，對r=0 時的相關(guān)討論見文獻(xiàn)［7］.

定理1設(shè)I?(0,+∞)，f(x)是I上的正值函數(shù)，則

（i）f(x)為I上的 AMr+-凸（凹）函數(shù)的充要條件是：?x1,x2,x3∈I且x1＜x2＜x3，有

（ii）f(x)為I上的 AMr--凸（凹）函數(shù)的充要條件是：?x1,x2,x3∈I且x1＜x2＜x3，有

證明只證（i），同理可證（ii）.

若f(x)為I上的AMr+-凸函數(shù)，則

因為f(x)是I上的正值函數(shù)，r＞0，所以，將上式整理即得

由于r＞0 時，以上證明步步可逆，所以充分性成立.若f(x)在I上是AMr+-凹的，則上述證明中的不等號反向，因此定理1（i）的后半部分成立.

定理2設(shè)I?(0,+∞)，f(x)是定義在I上的正值函數(shù)，則

（i）f(x)為I上的 AMr+—凸（凹）函數(shù)的充要條件是(f(x))r(r＞0)為I上的凸（凹）函數(shù)；

（ii）f(x)為I上的 AMr--凸（凹）函數(shù)的充要條件是(f(x))r(r＜0)為I上的凹（凸）函數(shù).

證明只證（i），同理可證（ii）.

設(shè)g(x)=(f(x))r（x∈I且r＞0），如果g(x)=(f(x))r為I上的凸函數(shù)，注意到r＞0，那么 ?x1,x2∈I及?t∈[0,1]，則有

所以，f(x)為I上的AMr+-凸函數(shù).

如果f(x)為I上的AMr+-凸函數(shù)，r＞0，那么 ?x1,x2∈I及 ?t∈[0,1]，則有

因此，g(x)=(f(x))r是I上的凸函數(shù).

若f(x)在I上是AMr+-凹的，則上述證明中的不等號反向，所以定理2（i）的后半部分成立.

定理3設(shè)I?(0,+∞)，f(x)是定義在I上的正值函數(shù)，則

（i）f(x)為I上的 AMr+-凸（凹）函數(shù)的充要條件是φ(t)=[f(tx1+(1-t)x2)]r(x1,x2∈I且r＞0)為[0,1]上的凸（凹）函數(shù)；

（ii）f(x)為I上的 AMr--凸（凹）函數(shù)的充要條件是φ(t)=[f(tx1+(1-t)x2)]r(x1,x2∈I且r＜0)為[0,1]上的凹（凸）函數(shù).

證明只證（i），同理可證（ii）.

充分性 因為φ(t)=[f(tx1+(1-t)x2)]r(t∈[0,1])，所以φ(0)=(f(x2))r，φ(1)=(f(x1))r，又φ(t)為 [0,1]上的凸函數(shù)，且r＞0，所以，

故函數(shù)f(x)為I上的AMr+-凸函數(shù).

必要性 ?x1,x2∈I及 ?t1,t2∈[0,1]，有兩個正數(shù)的冪平均的性質(zhì)［17］，有

令X1=t1x1+(1-t1)x2，X2=t2x1+(1-t2)x2，則 ?α∈[0,1]，亦有αX1+(1-α)X2∈I，若f(x)是I上的AMr+-凸函數(shù)，則 ?t1,t2∈[0,1]，?α∈[0,1]，并注意到r＞0 即有

所以，函數(shù)φ(t)=(f(tx1+(1-t)x2))r(r＞0)是[0,1]上的凸函數(shù).若f(x)在I上是AMr+-凹的，則上述證明中的不等號反向，因此定理3（i）的后半部分成立.

定理4設(shè)I?(0,+∞)，f(x)是定義在I上的正的二階可導(dǎo)函數(shù)，則

（i）f(x)為I上的AMr+-凸（凹）函數(shù)的充要條件是：

（ii）f(x)是I上的AMr--凸（凹）函數(shù)的充要條件為：

證明只證（i），同理可證（ii）.

求函數(shù)g(x)=(f(x))r在I上的一階、二階導(dǎo)數(shù)，得

因為f(x)在I上是正的，所以，g″(x)≥(≤)0 ?r[(r-1)(f′(x))2+f(x)f″(x)]≥(≤)0(x∈I)，由定理2，f(x)為I上的AMr+-凸（凹）函數(shù)?g(x)=(f(x))r為I上的凸（凹）函數(shù)

定理5設(shè)I?(0,+∞)，f(x)是定義在I上的可導(dǎo)正值函數(shù)，且f′(x)連續(xù)，則

（i）f(x)為I上的 AMr+-凸（凹）函數(shù)的充要條件是：

（ii）f(x)為I上的AMr--凸（凹）函數(shù)的充要條件是：

證明只證（i），同理可證（ii）.對AM-凸函數(shù)定義中的權(quán)變量t∈[0,1]，易證t=0,1 定理成立.下面證明t∈(0,1)時定理成立.

充分性 ?x1,x2∈I，令x0=tx1+(1-t)x2(t∈(0,1))，則x0∈I，若不等式（5）成立，則

由于r＞0，所以，f(tx1+(1-t)x2)≤[t(f(x1))r+(1-t)(f(x2))r]1r.

故，f(x)為I上的AMr+-凸函數(shù).

必要性 設(shè)f(x)為I上的AMr+-凸函數(shù)，r＞0，則 ?x0,x∈I(x0≠x)，?t∈(0,1)，有

求t→0+的極限，并注意到f′(x)的連續(xù)性，則得

故

同理可證定理5（i）的后半部分成立.

2 關(guān)于AM-凸函數(shù)的性質(zhì)

定理6設(shè)I?(0,+∞)，f(x)是定義在I上的正值函數(shù)，

（i）如果f(x)為I上嚴(yán)格遞減的rP-凸函數(shù)，那么當(dāng) 0＜r≤1 時，f(x)為I上的 AMr+- 凸函數(shù)；當(dāng)r＜0時，f(x)為I上的AMr--凸函數(shù)；

（ii）如果f(x)為I上嚴(yán)格遞增的rP-凸函數(shù)，那么當(dāng)r≥1時，f(x)為I上的AMr+-凸函數(shù)；

（iii）如果f(x)為I上嚴(yán)格遞增的rP-凹函數(shù)，那么當(dāng) 0＜r≤1時，f(x)為I上的 AMr+-凹函數(shù)；當(dāng)r＜0時，f(x)為I上的AMr--凹函數(shù)；

（iv）如果f(x)為I上嚴(yán)格遞減的rP-凹函數(shù)，那么當(dāng)r≥1時，f(x)為I上的AMr+-凹函數(shù).

證明只證（i），同理可證（ii）（iii）（iv）.

當(dāng) 0＜r≤1時，?x1,x2∈I及 ?t∈[0,1]，由冪平均的單調(diào)性知因為f(x)為I上嚴(yán)格遞減的rP-凸函數(shù)，所以

故f(x)為I上的AMr+-凸函數(shù).

當(dāng)r＜0 時，由于，且f(x)是I上嚴(yán)格遞減的rP-凸函數(shù)，所以

因此，f(x)為I上的AMr--凸函數(shù).

定理7設(shè)I?(0,+∞)，f(x)是定義在I上的正值函數(shù)，

（i）如果f(x)為I上的AMr--凸函數(shù)，那么是I上的 AMr+-凹函數(shù)；

（ii）如果f(x)為I上的AMr+-凹函數(shù)，那么是I上的AMr--凸函數(shù).

證明只證（i），同理可證（ii）.

由Cauchy不等式［18］，?x1,x2∈I及 ?t∈[0,1]，有

因為f(x)在I上是正的，所以，

注意到r＜0，因此，

又f(x)是I上的AMr--凸函數(shù)，且f(x)＞0，所以，?x1,x2∈I及?t∈[0,1]，有

因而

定理8設(shè)I,D?R+，f:I→D，且f(I)=D，那么

（i）若y=f(x)為I上嚴(yán)格遞增的AM-凸函數(shù)，則當(dāng) 0＜r≤1 時，其反函數(shù)y=f-1(x)為D上的 AMr+-凹函數(shù)；當(dāng)r＜0 時，其反函數(shù)y=f-1(x)為D上的AMr--凹函數(shù)；

（ii）若y=f(x)為I上嚴(yán)格遞增的AM-凹函數(shù)，則當(dāng)r≥1 時，其反函數(shù)y=f-1(x)為D上的AMr+-凸函數(shù).

證明只證（i），同理可證（ii）.

設(shè)f(x)是I上的嚴(yán)格遞增函數(shù)，則f(x)在I上的反函數(shù)y=f-1(x)是D上的嚴(yán)格遞增函數(shù)，?y1,y2∈D，?x1,x2∈I，使x1=f-1(y1)，x2=f-1(y2)，所以，y1=f(x1)，y2=f(x2).

當(dāng) 0＜r≤1時，因為y=f(x)為I上的AM-凸函數(shù)，所以，

故y=f-1(x)是D上的 AMr+-凹函數(shù).

當(dāng)r＜0 時，注意到，同理可證，定理8（i）的后半部分成立.

定理9設(shè)B?I?R+,A?R+，f:I→R+，μ:A→B，則

（i）若y=f(u)是I上嚴(yán)格遞增的rP-凸函數(shù)，u=μ(x)是A上的AM-凸函數(shù)，則y=f(μ(x))是A上的AM-凸函數(shù)；

（ii）若y=f(u)是I上嚴(yán)格遞減的rP-凸函數(shù)，u=μ(x)為A上的AM-凹函數(shù)，則y=f(μ(x))是A上的AM-凸函數(shù)；

（iii）若y=f(u)是I上嚴(yán)格遞增的rP-凹函數(shù)，u=μ(x)為A上的AM-凹函數(shù)，則y=f(μ(x))是A上的AM-凹函數(shù)；

（iv）若y=f(u)是I上嚴(yán)格遞減的rP-凹函數(shù)，u=μ(x)為A上的AM-凸函數(shù)，則y=f(μ(x))是A上的AM-凹函數(shù).

證明只證（i），同理可證（ii）、（iii）、（iv）.

任取x1,x2∈A，t∈[0,1]，則，tx1+(1-t)x2∈A，

由定理條件知，μ(x1),μ(x2),μ(tx1+(1-t)x2)∈B?I，且?r∈R(r≠0)，亦有

因為u=μ(x)為A上的AM-凸函數(shù)，所以，，又y=f(u)是I上嚴(yán)格遞增的rP-凸函數(shù)，所以

故函數(shù)y=f(μ(x))為A上的AM-凸函數(shù).

定理10設(shè)B?I?R+,A?R+，f:I→R+，μ:A→B，則

（i）如果y=f(u)是I上嚴(yán)格遞增的AM-凸函數(shù)，u=μ(x)是A上的凸函數(shù)，則y=f(μ(x))是A上的AM-凸函數(shù)；

（ii）如果y=f(u)是I上嚴(yán)格遞減的AM-凸函數(shù)，u=μ(x)為A上的凹函數(shù)，則y=f(μ(x))是A上的AM-凸函數(shù)；

（iii）如果y=f(u)是I上嚴(yán)格遞增的AM-凹函數(shù)，u=μ(x)為A上的凹函數(shù)，則y=f(μ(x))是A上的AM-凹函數(shù)；

（iv）如果y=f(u)是I上嚴(yán)格遞減的AM-凹函數(shù)，u=μ(x)為A上的凸函數(shù)，則y=f(μ(x))是A上的AM-凹函數(shù).

3 AM-凸函數(shù)的Jensen型不等式及其應(yīng)用

定理11設(shè)I?(0,+∞)，f(x)是定義在I上的AM-凸（凹）函數(shù)，則 ?xi∈I，?ti∈[0,1](i=1,2,…,n)，且，有

證明若f(x)是I上的AMr+- 凸函數(shù)，令φ(x)=(f(x))r(x∈I)，則當(dāng)r＞0 時，由定理2（i）知，φ(x)為I上的凸函數(shù)，因此有凸函數(shù)φ(x)在I上的Jensen型不等式

當(dāng)r＜0 時，同理可證定理仍然成立.

若f(x)在I上是AMr+-凹的，則證明中的不等號反向，所以定理11的后半部分成立.

關(guān)于定理11，它的一個等價形式為：

定理12設(shè)I?(0,+∞)，f(x)為I上的AM-凸（凹）函數(shù)，?xi∈I，?qi∈R+(i=1,2,…,n)，則

特別地，如果q1=q2=…=qn=1，則有

推論1設(shè)I?(0,+∞)，f(x)為I上的AM-凸（凹）函數(shù)，?xi∈I(i=1,2,…,n)，則

例1設(shè)xi∈R+，ti∈[0,1](i=1,2,…,n)，且，證明

證明考察函數(shù)f(x)=x(x＞0)，則 (r-1)(f′(x))2+f(x)f″(x)=r-1，

顯然，當(dāng)r≥1 時，(r-1)(f′(x))2+f(x)f″(x)≥0，由定理 4 知，函數(shù)f(x)=x(x＞ 0)是 AMr+-凸函數(shù)，將f(x)=x(x＞0)代人定理11（8）式，得

由上述證明過程可知，當(dāng)r≤1時，不等式（9）成立.

注2：在不等式（10）中，取r=0 即為著名的加權(quán)算術(shù)-幾何平均不等式：

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［6］吳善和.平方凸函數(shù)與琴生型不等式［J］.首都師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2005,26（1）：16-21.

［7］吳善和.對數(shù)凸函數(shù)與琴生型不等式［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2004，7（5）：61-64.

［8］陳少元.AH-凸函數(shù)及其應(yīng)用［J］.湖北職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報，2013，16（2）：106-109.

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［10］陳少元.GH-凸函數(shù)及其Jensen型不等式［J］.首都師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2013（5）：1-5.

［11］宋振云.HA-凸函數(shù)及其Jensen不等式［J］.德州學(xué)院學(xué)報，2014，30（4）：16-21.

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［13］吳善和.rP-凸函數(shù)與琴生型不等式［J］.數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2005,35（3）：220-228.

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［15］宋振云.MG-凸函數(shù)及其Jensen不等式［J］.山東師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2014，30（4）：56-60.

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