房淼森,李少華(江蘇科技大學(xué)電子信息學(xué)院,江蘇鎮(zhèn)江 212000)

一種太陽視運(yùn)動(dòng)軌跡建模方法及其應(yīng)用

房淼森?,李少華
(江蘇科技大學(xué)電子信息學(xué)院,江蘇鎮(zhèn)江 212000)

摘 要:基于日地系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特征,分析太陽視運(yùn)動(dòng)參數(shù)中的方位角和高度角變化規(guī)律,對(duì)方位角和高度角建立相應(yīng)數(shù)學(xué)模型,采用空間解析幾何知識(shí),完成太陽視運(yùn)動(dòng)方位角和高度角的公式推導(dǎo)與求解并提出了太陽視運(yùn)動(dòng)模型的實(shí)際應(yīng)用。此方法簡(jiǎn)便直觀,能夠客觀反映太陽視運(yùn)動(dòng)軌跡,并且通用性較強(qiáng),可應(yīng)用于各種圓周視運(yùn)動(dòng)體系中進(jìn)行視運(yùn)動(dòng)參數(shù)的建立。

關(guān)鍵詞:太陽視運(yùn)動(dòng);天球;太陽方位角;求解公式;地平坐標(biāo)系

1　引 言

太陽的視運(yùn)動(dòng)[1]在地理學(xué)、建筑學(xué)、光學(xué),氣象學(xué)等領(lǐng)域有著重要作用,如何準(zhǔn)確地獲取太陽在任一時(shí)刻的位置顯得十分重要。常用的用來描述太陽視運(yùn)動(dòng)的模型通常是以地平坐標(biāo)系或赤道坐標(biāo)系為基礎(chǔ)建立的,在這兩種模型求解過程中需要對(duì)日地運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)有著深刻的認(rèn)識(shí),單獨(dú)采用某一種模型求解太陽視運(yùn)動(dòng)軌跡十分繁瑣。本文從日地運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中抽象出了一種數(shù)學(xué)模型,結(jié)合了以地平坐標(biāo)系和赤道坐標(biāo)系為基礎(chǔ)的太陽視運(yùn)動(dòng)模型,通過簡(jiǎn)單的演算,便可推導(dǎo)出太陽視運(yùn)動(dòng)方位角和高度角的軌跡公式。

2　天球及其坐標(biāo)系

在實(shí)際的日地系統(tǒng)中,地球圍繞太陽轉(zhuǎn)動(dòng)。但考慮到運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性以及更加方便地描述太陽及其他天體相對(duì)于地球的運(yùn)動(dòng)位置,便出現(xiàn)了天球的概念。根據(jù)天球理論[2],以地球表面上任意一個(gè)觀測(cè)點(diǎn)為球心,作一個(gè)假想的半徑無窮大的球面,該球面稱為天球。從觀測(cè)點(diǎn)進(jìn)行觀測(cè),太陽月亮等天體都在天球上圍繞地軸轉(zhuǎn)動(dòng),這種運(yùn)動(dòng)被稱為天體的視運(yùn)動(dòng)。通常,對(duì)于一個(gè)特定的觀測(cè)點(diǎn),只能觀察到地平線以上的部分,即半個(gè)天球。

天體在天球上的位置時(shí)刻變化,為了精確描述某個(gè)天體在天球中的位置,可以通過赤道坐標(biāo)系和地平坐標(biāo)系從不同的角度來描述天體的位置。赤道坐標(biāo)系是將地球上的經(jīng)緯度坐標(biāo)擴(kuò)展到整個(gè)天球形成的坐標(biāo)系,赤道日晷[3]便是一個(gè)使用赤道坐標(biāo)系來描述太陽位置的典型應(yīng)用實(shí)例,而地平坐標(biāo)系[4]是采用方位角[5]和高度角兩個(gè)參數(shù)來描述天體位置的坐標(biāo)系。在描述天體的視運(yùn)動(dòng)時(shí),通常都采用地平坐標(biāo)系。

3　太陽方位角和高度角的建模方法

3.1日地運(yùn)動(dòng)參數(shù)模型

在建立太陽方位角和高度角的模型時(shí),首先需要假想地球沒有大氣層,排除蒙氣差[6]對(duì)實(shí)際觀測(cè)的太陽高度角和理論值不同的影響;其次,還需要假設(shè)地球是一個(gè)表面光滑的正球體。

為了不失一般性,現(xiàn)建立一空間直角坐標(biāo)系,O-z軸為假想的地軸,xOy平面為假想的赤道面,原點(diǎn)O為觀測(cè)點(diǎn)(如圖1所示)。

圖1　太陽視運(yùn)動(dòng)模型

首先以觀測(cè)點(diǎn)所在位置做一個(gè)切面H,使其完全通過O-y軸,該切面即為觀測(cè)點(diǎn)所在的地平面。令O -z軸與該平面的交角為φ,φ為觀測(cè)點(diǎn)地理緯度并且令n為該切面的單位法向量。其次通過觀測(cè)點(diǎn),在xOz平面內(nèi)作一個(gè)指向正北方向的單位向量p。最后,過觀測(cè)點(diǎn)作一太陽光直射的單位向量l,l與xOy平面的交角為δ,δ為太陽赤緯[7],也叫太陽直射點(diǎn)緯度,與地球的公轉(zhuǎn)和黃赤交角有關(guān)。根據(jù)天球模型中的太陽視運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律,l實(shí)際上在一直繞著O-z軸轉(zhuǎn)動(dòng),而l在xOy平面內(nèi)的投影與O-x軸的順時(shí)針方向角為時(shí)角[8]ω,時(shí)角與觀測(cè)點(diǎn)的經(jīng)度有關(guān)。

3.2太陽赤緯的求解

太陽赤緯是求解太陽高度角和方位角的一個(gè)重要參數(shù),現(xiàn)提出一種簡(jiǎn)單的求解太陽赤緯的方法。假想地球勻速繞太陽轉(zhuǎn)動(dòng)(如圖2所示),從12月22日為起點(diǎn)開始到某一天,地球在公轉(zhuǎn)軌道上轉(zhuǎn)過一個(gè)角度α,圖為地球公轉(zhuǎn)俯視圖,其中N為北極點(diǎn),圖中D0所在緯度為太陽在12月22日的赤緯,為南緯23.5°,D1所在緯度為待求的太陽赤緯。

圖2　地球公轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)俯視圖

由此可知,太陽赤緯在一年中的變化是在D所在圓上逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。若在該圓周上取365個(gè)日序[9]點(diǎn)(閏年則取366個(gè)日序點(diǎn))將其等分,則相應(yīng)日期對(duì)應(yīng)的點(diǎn)即為太陽當(dāng)日的赤緯。因此通過計(jì)算待求赤緯的日序與12月22日的差值天數(shù),便可由以下公式確定地球公轉(zhuǎn)過程中的α角:

式中:α為公轉(zhuǎn)角,d1為待求日期的日序,d0為12 月22日的日序。

現(xiàn)作出地球在12月22日的主視圖(如圖3所示),與圖2所示的俯視圖對(duì)應(yīng)。

圖3　地球在12月22日公轉(zhuǎn)軌道上的主視圖

線段DS即為太陽赤緯在一年中變化對(duì)應(yīng)的位置, MN為赤道,O為球心。D1點(diǎn)所示的位置為待求太陽赤緯。過D1點(diǎn)作MN的平行線交圓與Q點(diǎn),則∠QOM即為待求的太陽赤緯。根據(jù)日地公轉(zhuǎn)系統(tǒng)的特征,∠SON為黃赤交角[10],約為23.5°,令該角為ε。因此,通過三角函數(shù)關(guān)系易得太陽赤緯滿足以下關(guān)系式:

式中:δ為太陽赤緯,α為地球從12月22日到待求赤緯日期的公轉(zhuǎn)角。

3.3時(shí)角的求解

時(shí)角是求解太陽高度角方位角的直接影響參量,時(shí)角通常指的是觀測(cè)點(diǎn)的地方時(shí)[11]對(duì)應(yīng)的時(shí)間角。時(shí)角可由以下公式確定:

[12]

式中:ω為時(shí)角,T0為格林尼治世界標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間24小時(shí)制標(biāo)準(zhǔn)的小時(shí)數(shù),如時(shí)間為14:30對(duì)應(yīng)的T0為14.5,λ為觀測(cè)點(diǎn)的經(jīng)度,東經(jīng)為λ正值,西經(jīng)為λ負(fù)值。

3.4太陽高度角的求解

根據(jù)模型可以得知,觀測(cè)點(diǎn)對(duì)太陽視運(yùn)動(dòng)高度角的描述可以表示為向量n和向量l的夾角的余角(如圖4所示),令太陽高度角為hs。

圖4　太陽高度角示意圖

由于H平面完全通過O-y軸,因此易得其平面方程為:

由式(4)可得平面H的單位法向量n為:

根據(jù)時(shí)角和太陽赤緯可得太陽直射光線的單位向量l為:

由向量的夾角公式可得:→n·→l

由于:

結(jié)合式(7)和(8)故太陽高度角的最終表達(dá)式為:

式中:hs為太陽高度角,ω為時(shí)角,φ為地理緯度,δ為太陽赤緯。

3.5太陽方位角的求解

根據(jù)模型可以得知,觀測(cè)點(diǎn)對(duì)太陽視運(yùn)動(dòng)的方位角可由單位正北向量p所指線段OP、光線向量l在平面H上的投影線段OM和有向線段PL代表的向量s在平面H上的投影線段MP構(gòu)成的三角形確定(如圖5所示),令太陽方位角為As。

圖5　太陽方位角示意圖

現(xiàn)有OP長(zhǎng)度為1,根據(jù)P點(diǎn)和L點(diǎn)的位置,可得向量s為:

由此可得MP為:

又根據(jù)太陽高度角hs可知光線向量l在平面H上的投影線段OM為:

最后結(jié)合式(11)和(12),通過余弦定理,化簡(jiǎn)后可求得太陽方位角的公式為:

式中:As為太陽方位角,hs為太陽高度角,φ為地理緯度,δ為太陽赤緯。

4　太陽視運(yùn)動(dòng)公式的應(yīng)用

4.1城市光伏發(fā)電設(shè)備

目前,由于城市地域限制,無法布置大規(guī)模的光伏發(fā)電陣列而通常采用傳感器反饋控制的雙軸光伏發(fā)電[13]設(shè)備。如此,需要額外為光伏發(fā)電設(shè)備設(shè)計(jì)傳感器追蹤模塊而增加了成本。同時(shí),由于光線的特殊性,一些設(shè)計(jì)成本較低的追日傳感器會(huì)受多云天氣、城市樓宇鏡面反射等干擾而降低設(shè)備的追蹤精度甚至失效,降低了設(shè)備的發(fā)電效率。當(dāng)采用太陽視運(yùn)動(dòng)公式組后,光伏發(fā)電設(shè)備便不需要傳感器追蹤模塊,將設(shè)備固定后,只需根據(jù)其所處的經(jīng)緯度、當(dāng)前的日期,時(shí)間等參數(shù)便可以計(jì)算出太陽所處的位置,進(jìn)而控制機(jī)組的朝向,實(shí)現(xiàn)對(duì)太陽的高精度跟蹤。

4.2建筑日照時(shí)數(shù)測(cè)量

日照時(shí)數(shù)通常指的是某一地點(diǎn)可受到太陽光照射的總時(shí)數(shù)。理想狀態(tài)下,在沒有任何遮擋物并不考慮大氣因素的情況下,任何一地全年的理論日照時(shí)數(shù)都是全年時(shí)間的一半。測(cè)量實(shí)際的建筑日照時(shí)數(shù),只需要通過相機(jī)對(duì)測(cè)地點(diǎn)周邊的建筑分布進(jìn)行水平360°成像,提取出360°的建筑遮擋視角數(shù)據(jù),結(jié)合太陽高度角的計(jì)算公式,求取一年中太陽高度角大于建筑遮擋視角的無遮擋區(qū)域?qū)?yīng)的日照時(shí)間,即為建筑日照時(shí)數(shù)。

4.3住宅區(qū)樓宇間距

隨著城市建設(shè)的快速發(fā)展,因樓宇之間的間距引起的光照權(quán)糾紛日益嚴(yán)重。根據(jù)相關(guān)規(guī)定,建筑的高度不能影響其周邊建筑的日照需求,日照需求的最小值應(yīng)為1 h。

對(duì)于我國(guó)正南正北朝向的普通住宅區(qū),可以通過計(jì)算太陽高度角和方位角的方法確定樓宇之間的最小間距。由于太陽的視角僅為0.5°,對(duì)應(yīng)的視運(yùn)動(dòng)偏移時(shí)間約為2 min,因此為了簡(jiǎn)便計(jì)算,將太陽看成一質(zhì)點(diǎn),不考慮其視角。根據(jù)每日最短日照時(shí)間1 h和太陽高度角以12:00對(duì)稱的關(guān)系可知,在實(shí)際的樓宇布置地點(diǎn)冬至日地方時(shí)為11:30,應(yīng)有太陽光線不被前一幢樓遮擋。設(shè)地方時(shí)11:30的樓宇遮擋視角為γ,相應(yīng)的太陽高度角為hs,則應(yīng)有γ≤hs(如圖6所示)。

圖6　樓宇間距示意圖

假設(shè)樓宇高度為X,間距為V,將樓宇一層的窗戶看成質(zhì)點(diǎn)U,∠QUB即為樓宇遮擋視角γ,UN為正北方向,As為太陽在地方時(shí)為11:30時(shí)對(duì)應(yīng)的方位角。此時(shí)有如下不等式組成立:

通過求解(14)中的式子,最終應(yīng)有下式成立:

式中,V為樓宇間距,X為樓宇高度,hs和As分別為當(dāng)?shù)?1:30的太陽高度角和方位角。

5 結(jié) 語

本文提出的太陽視運(yùn)動(dòng)模型抽象精簡(jiǎn),通過簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)推導(dǎo),得出太陽視運(yùn)動(dòng)的地平坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡,并在建筑、天文等諸多領(lǐng)域有所應(yīng)用。此外,該建模方法也適合地月運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)和其他恒星相對(duì)于地球的視運(yùn)動(dòng)系統(tǒng),通用性較強(qiáng)。

參考文獻(xiàn)

[1] 李亞斌,劉丹,金一丞.航海模擬器中的太陽視運(yùn)動(dòng)軌跡的算法[J].大連海事大學(xué)學(xué)報(bào)·自然科學(xué)版,2002,28 (z1):47～50.

[2] 賀曉雷.太陽方位角的公式求解及其應(yīng)用[J].太陽能學(xué)報(bào),2008,29(1):69～73.

[3] 劉群.日晷投影原理及其應(yīng)用[J].貴州師范大學(xué)學(xué)報(bào)·自然科學(xué)版,2003,21(3).

[4] 王國(guó)安,米鴻濤,鄧天宏等.太陽高度角和日出日落時(shí)刻太陽方位角一年變化范圍的計(jì)算[J].氣象與環(huán)境科學(xué), 2007,30(B09):161～164.

[5] 肖影,金龍旭.方位角測(cè)量跟蹤系統(tǒng)設(shè)計(jì)及實(shí)驗(yàn)[J].光學(xué)精密工程,2007,15(5):741～745.

[6] Tablebizadeh P,Mehbrabian A M.Prediction of the Optimum Slope and Surface Azimuth Angles using the Genetic Algorithm[J].Energy and buildings,2011,43(11):2998～3005.

[7] 張闖,呂東輝,頊超靜.太陽實(shí)時(shí)位置計(jì)算及在圖像光照方向中的應(yīng)用[J].電子測(cè)量技術(shù),2010,33(11):79～89,93.

[8] Andrew H,Roger T.Using Bright Sunshine At Low-elevation Angles To Compile An Historical Record Of The Effect Of Aerosol On Incoming Solar Radiation[J].Atmospheric Environment,2008,42(33):7600～7610.

[9] Paul S.Tariq A.Wide-azimuth angle gathers for anisotropic wave-equation migration[J].Geophysical prospect- ing , 2013,61(1):75～91.

[10] 鄧可卉,袁敏.古代中西黃赤交角測(cè)量和計(jì)算中幾個(gè)問題的比較[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào)·自然科學(xué)漢文版, 2007,36(2):240～243.

[11] Sendall K,Kooyman R.Latitude,solar elevation angles and gap-regenerating rain forest pioneers[J].The Journal of E-cology,2011,99(2):491～502.

[12] 孫玉巍,石新春,王丹等.基于經(jīng)緯度計(jì)算的太陽自動(dòng)跟蹤系統(tǒng)[J].中國(guó)電力,2011,44(11):63～67.

[13] 張暉.基于單片機(jī)的雙軸光伏尋日系統(tǒng)設(shè)計(jì)[J].電子設(shè)計(jì)工程,2012,20(23):99～101.

A Modeling Method of Sun’s Orbit Visual Motion and Its Application

Fang Miaosen,Li Shaohua
(Jiangsu University of Science and Technology,Zhenjiang 321100,China)

Abstract:Analyzed the azimuth and elevation angle of Sun’s orbit visual motion and created a mathematical model of Azimuth and elevation angle based on the motion characteristics of the Sun-Earth system.Solved the equation for azimuth and elevation angle with spatial analytic geometry knowledge and finally presented its application.The method is simple,intuitive and it is able to objectively reflect Sun’s orbit visual motion.The model can be applied to various circumference visual motion system,establishing the visual motion parameters.

Key words:Sun’s orbit visual motion;celestial;solar azimuth;solving equations;horizon coordinate system

文章編號(hào):1672-8262(2015)01-109-04中圖分類號(hào):P128.13,P226

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

收稿日期:?2014—07—29

作者簡(jiǎn)介:房淼森(1991—),男,碩士研究生,研究方向?yàn)闄z測(cè)技術(shù)與自動(dòng)化裝置。