魏金占,趙自力(1．南寧市勘察測(cè)繪地理信息院,廣西南寧 5300; ．珠海市規(guī)劃設(shè)計(jì)研究院,廣東珠海 1500)

權(quán)屬發(fā)證過(guò)程中圓弧段面積變化問(wèn)題研究

魏金占1?,趙自力2
(1．南寧市勘察測(cè)繪地理信息院,廣西南寧 530022; 2．珠海市規(guī)劃設(shè)計(jì)研究院,廣東珠海 215002)

摘 要:地塊面積在轉(zhuǎn)換前后經(jīng)常出現(xiàn)面積偏差,經(jīng)分析可知當(dāng)前國(guó)內(nèi)地塊面積出現(xiàn)誤差多由圓弧段的擬合造成,通過(guò)將圓弧段模型泰勒展開,經(jīng)過(guò)反算,得到滿足一定精度條件下擬合線段的數(shù)量,保證地塊面積在轉(zhuǎn)換前后達(dá)到一定精度需求。該方法原理簡(jiǎn)單,既保證了數(shù)據(jù)入庫(kù)后面積滿足精度需求,又不會(huì)增加數(shù)據(jù)的復(fù)雜程度。

關(guān)鍵詞:圓弧段擬合；精度；地塊面積

1　引 言

城市土地的巨大價(jià)值日益得到社會(huì)共識(shí),據(jù)搜狐網(wǎng)報(bào)道,2015年北京新年土地市場(chǎng)首次出讓,樓面價(jià)再次接近5萬(wàn)元/ m2,寸土寸金毫不夸張。因此由于土地權(quán)屬產(chǎn)生的糾紛日益受到社會(huì)重視,而產(chǎn)生糾紛的原因,除了歷史問(wèn)題外,很多也是由于在面積核算時(shí)沒有足夠合理科學(xué)算法,造成面積計(jì)算上的細(xì)微差異。以測(cè)量限差和儀器精度而言,1 km2誤差1 m2,誤差在1個(gè)PPM(百萬(wàn)分之一),已經(jīng)是當(dāng)前硬件設(shè)備的極限,但如果用于土地發(fā)證很容易造成社會(huì)不穩(wěn)定。當(dāng)前土地發(fā)證精度要求已經(jīng)達(dá)到0．01 m2,也就是說(shuō),僅僅依靠硬件手段技術(shù)提升已經(jīng)不能解決此問(wèn)題,必須查根溯源找出造成面積計(jì)算誤差源頭。

2　地塊面積偏差原因

地塊面積確認(rèn)是非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆尚袨?而地塊面積的核算多在CAD端完成,屬性管理多在GIS平臺(tái)實(shí)現(xiàn),由于兩種平臺(tái)對(duì)圓弧段表述不同造成面積入庫(kù)后出現(xiàn)較大差異。眾所周知,造成面積計(jì)算誤差不外乎三類原因:一是坐標(biāo)提取時(shí)精度取舍問(wèn)題,如有些情況取到小數(shù)點(diǎn)后面兩位,有些取到小數(shù)點(diǎn)后三位,因此在面積核算時(shí)不可避免造成面積核算的不一致;二是對(duì)數(shù)據(jù)模型描述的差異,如樣條曲線定義不同,則以樣條曲線為邊界的地塊面積必然不同;三是在不同軟件轉(zhuǎn)換時(shí),對(duì)曲線轉(zhuǎn)換精度取舍問(wèn)題處理不當(dāng)造成,如用一定數(shù)量的小段線段來(lái)擬合曲線。第一種原因即可以理解為硬件原因,第二種原因可在數(shù)據(jù)描述時(shí)采用統(tǒng)一模型避免出現(xiàn)誤差,第三種原因可通過(guò)反算確定小段線段的數(shù)量來(lái)達(dá)到精度要求。

城市管理中因某些原因,邊線表示的模型多采用直線段和圓弧段,如道路口轉(zhuǎn)彎處表示多采用圓弧段[6]。而在數(shù)據(jù)入庫(kù)時(shí),多數(shù)GIS平臺(tái)采用多線段擬合來(lái)表示圓弧段[1,7],因此CAD制圖進(jìn)入后臺(tái)GIS平臺(tái)后,在日常管理統(tǒng)計(jì)時(shí)就會(huì)出現(xiàn)制圖面積與統(tǒng)計(jì)面積不同的情況,如圖1所示。

圖1　CAD平臺(tái)與GIS平臺(tái)轉(zhuǎn)換前后面積差異

直接按照GIS平臺(tái)的數(shù)據(jù)模型構(gòu)面后面積偏差很大[8],因此在土地面積確認(rèn)中必須解決這類問(wèn)題。

3　問(wèn)題解決

城市管理中對(duì)于面積的要求一般要優(yōu)于0．01 m2,因此當(dāng)約定的精度確定后,就可以通過(guò)反向計(jì)算相關(guān)參數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)面積不超限。

一般城市管理中多采用三點(diǎn)定圓模式,因此當(dāng)圓弧確定后,則三點(diǎn)所在的圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角也就確定,唯一不確定的就是用多少段小段線段來(lái)擬合圓弧[2,3],如圖2所示。

圖2　通過(guò)擬合小段線段的數(shù)量來(lái)控制擬合精度

其中每個(gè)三角形與對(duì)應(yīng)扇形面積之差即為引起面積偏差的主要原因[4,8],上圖顯示,下半部分的擬合引起誤差小于上半部分。

4　數(shù)學(xué)推理及程序?qū)崿F(xiàn)

如上文所述,城市權(quán)屬發(fā)證面積精度要求在0．01 m2以內(nèi),因此可以做以下數(shù)學(xué)計(jì)算和推理。假設(shè)誤差面積為0．01,半徑為R,切分小段段數(shù)為n,圓弧段圓心角a,則圓弧段引起的面積誤差為:

(1/2)×R×R×[a-n×sin(a/ n)] =0．01

將sin(a/ n)按照泰勒級(jí)數(shù)展開,以上方程即為:

a-n×a/ n+n×(a/ n)3/6-n×(a/ n)5/120…=1/ (50 ×R2)

因a很小,n×(a/ n)5/120及以后的部分可以進(jìn)行簡(jiǎn)略,上式可以簡(jiǎn)化為:

n×(a/ n)3＜6/ (50×R2)

則可求得n的取值范圍:

n＞sqrt[(25×R2a3) /3]

通過(guò)以上數(shù)學(xué)推理可知,三點(diǎn)定圓滿足一定面積精度需求的小線段數(shù)量n即可確定。對(duì)于參數(shù)中的半徑和圓心角,可以通過(guò)如下算法實(shí)現(xiàn)。

首先確定圓的半徑,具體如下:

設(shè)X,Y,R為未知,x1,y1,x2,y2,x3,y3為常數(shù),x1, y1,x2,y2分別為圓弧段起始點(diǎn)和末端點(diǎn),X,Y,R分別代表圓心坐標(biāo)和半徑。帶入圓方程,如下:

式(1)-式(2),就是左邊減左邊,右邊減右邊,得到:

整理得:

式(2)-式(3)整理得:

再整理上面兩式得:

為了便于程序?qū)崿F(xiàn),作如下假設(shè):

a=2×(x2-x1);

b=2×(y2-y1);

c=x2×x2+y2×y2-x1×x1-y1×y1;

d=2×(x3-x2);

e=2×(y3-y2);

f=x3×x3+y3×y3-x2×x2-y2×y2;

則通過(guò)數(shù)學(xué)推理可得:

X=(b×f-e×c) / (b×d-e×a);

Y=(d×c-a×f) / (b×d-e×a);

R=sqrt[(x-x1)×(x-x1)+(y-y1)×(y-y1)]。

圓心角的計(jì)算如圖3所示:

圖3　圓心角計(jì)算示意圖

已知圓心坐標(biāo)(X,Y),圓弧段兩端的坐標(biāo),則通過(guò)三角函數(shù)可知,三角形OAD中AD邊對(duì)應(yīng)的頂角即為圓心角的一半,即:

0．5×a=arctan(AD/ AO)

上式變換后,a=2×arctan(AD/ AO)

AD邊長(zhǎng)為AB邊長(zhǎng)一半,AO邊長(zhǎng)為半徑,其中AB邊長(zhǎng)計(jì)算如下:

AB=sqrt[(x1-x2)2+(y1-y2)2]

以上公式可以變換為:

a=2×arctan{sqrt([x1-x2)2+(y1-y2)2] / (2×R)}

由此即可計(jì)算出在圓弧段引起面積的誤差在限差內(nèi)的各項(xiàng)參數(shù)了。

對(duì)于其他定義的圓弧段,如圓心和兩端點(diǎn)、圓心和起始點(diǎn)及圓心角等,同樣可以通過(guò)計(jì)算半徑和圓弧段的圓心角來(lái)反算以上相關(guān)參數(shù)。

5　小 結(jié)

城市管理中對(duì)于土地面積的確認(rèn)非常嚴(yán)謹(jǐn),本文通過(guò)對(duì)引起面積偏差的原因進(jìn)行初步分析,提出合理可行的解決方案。

雖然通過(guò)其他手段如屬性字段或者擴(kuò)展屬性記錄面積信息,但在頻繁的數(shù)據(jù)互轉(zhuǎn)時(shí)很容易丟[5]。而該方案通過(guò)反算擬合線段的數(shù)量來(lái)保證轉(zhuǎn)換前后面積在容差之內(nèi),可以保證轉(zhuǎn)換后的數(shù)據(jù)再轉(zhuǎn)入其他GIS平臺(tái)或CAD平臺(tái)精度不降低。此外該方案實(shí)現(xiàn)原理簡(jiǎn)單,易于編程實(shí)現(xiàn),是當(dāng)前解決不同平臺(tái)因圓弧段引起面積偏差的有效手段,不足之處是造成一定的數(shù)據(jù)節(jié)點(diǎn)的增加。隨著IT技術(shù)提升,節(jié)點(diǎn)增加造成的效率降低問(wèn)題幾乎可以忽略。此外該方法僅用于處理圓弧段,對(duì)于橢圓弧、樣條曲線弧等未作深入分析,也是后續(xù)研究需要加強(qiáng)的地方。

參考文獻(xiàn)

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[8] 北京超圖軟件股份有限公司．SuperMap Objects開發(fā)教程(中級(jí)篇)[Z]．北京,北京超圖軟件股份有限公司,2008．

Study of Land Area Deviation During the Course of Land Area Identification

Wei Jinzhan1,Zhao Zili2
(1．Nanning Explore and Survey Geoinformation Insititute,Nanning 530022,China; 2．Zhuhai Institute of Urban Planning & Design,Zhuhai 519000,China)

Abstract:There is always area deviation during the conversion of different data．It is the curve fitting that causes the deviation of land area nowadays．By analyzing the Taylor expansion of curve model,the number of poly-lines is calculated which satisfies the demands of the precision control during the land area identification．The new method is very simple,which not only ensures the land area’s precision but also does not increase the complexity of the ownership conversion．

Key words:arc fitting;precision;land area

文章編號(hào):1672-8262(2015)05-103-03中圖分類號(hào):P209

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:B

收稿日期:?2015—06—08

作者簡(jiǎn)介:魏金占(1980—),男,碩士,注冊(cè)測(cè)繪師,研究方向:GIS應(yīng)用、遙感、測(cè)繪信息化等。

基金項(xiàng)目:珠海市規(guī)劃設(shè)計(jì)研究院2014年度科研計(jì)劃《DEM數(shù)據(jù)在規(guī)劃編制中的應(yīng)用》。