吳海娜,蘇 卓,駱 凱,王 旗,程顯中

(東北大學(xué),遼寧沈陽 110819)

馬格努斯滑翔機運動的探索與研究

吳海娜,蘇 卓,駱 凱,王 旗,程顯中

(東北大學(xué),遼寧沈陽 110819)

通過建立模型和理論計算解釋了馬格努斯滑翔機運動軌跡的成因,通過數(shù)據(jù)分析和實驗驗證給出馬格努斯力的產(chǎn)生所需要的必要條件。

馬格努斯效應(yīng);伯努利原理;滑翔機

高速旋轉(zhuǎn)的球在空中飛行時其軌道會彎曲的現(xiàn)象稱為馬格努斯效應(yīng)。這種現(xiàn)象在體育運動及炮彈飛行過程中是很常見的[1-3]。生活中,我們只需將兩個紙杯底對底疊放,并用膠帶連接為一體,馬格努斯滑翔機就做好了。簡單的小制作蘊含著深奧的科學(xué)原理,平穩(wěn)落地的馬格努斯滑翔機,怎么達到“滑翔”的效果?如何探究這一運動效果的具體成因?研究這一運動有何現(xiàn)實意義?本文從實際試驗出發(fā),建立物理模型,從伯效里方程出發(fā),采用力學(xué)推導(dǎo),建立起馬格努斯滑翔機受力的數(shù)學(xué)表達式,探討在馬格努斯力的作用下,馬格努斯滑翔機的運動軌跡影響參數(shù)。

1 實驗設(shè)計及實驗結(jié)果

將兩個輕質(zhì)杯子的底部粘在一起來制作一個滑翔機。將一根彈性帶子纏繞在滑翔機的中心并抓住余下的自由端。當(dāng)握著滑翔機時,拉伸帶子的自由端然后釋放滑翔機。你會觀察到它一邊自轉(zhuǎn)一邊又能夠十分平穩(wěn)的在空氣中降落。雖然飛的不是很高但從高空向下放飛它,它依然能夠平穩(wěn)下落。

圖1 (a)實驗軌跡

圖1 (b)實驗軌跡

通過改變杯子的長度,和發(fā)射力度,在無風(fēng)條件下,根據(jù)實驗現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)杯子的長度增長,杯子的升力增大,而杯子的半徑越小,杯子的升力越小,且彈簧彈力越小,杯子旋轉(zhuǎn)速度越小,升力越小。我們得出推論:當(dāng)平動速度足夠大,空氣阻力足夠小,“滑翔機”會保持滑翔很長一段水平距離。杯子水平速度越大,升力越大,杯子轉(zhuǎn)速越大,升力越大。

2 理論解釋

我們發(fā)現(xiàn)馬格努斯滑翔機基于兩個原理,第一為馬格努斯效應(yīng)。當(dāng)一個旋轉(zhuǎn)物體的旋轉(zhuǎn)角速度矢量與物體飛行速度矢量不重合時,在與旋轉(zhuǎn)角速度矢量和移動速度矢量組成的平面相垂直的方向上將產(chǎn)生一個橫向力。在這個橫向力的作用下物體飛行軌跡發(fā)生偏轉(zhuǎn)的現(xiàn)象稱作馬格努斯效應(yīng)。第二為伯努利原理,這是在流體力學(xué)的連續(xù)介質(zhì)理論方程建立之前,水力學(xué)所采用的基本原理,其實質(zhì)是流體的機械能守恒。即:動能+重力勢能+壓力勢能=常數(shù)。其最為著名的推論為:等高流動時,流速大,壓力就小。對于我們所要研究的馬格努斯滑翔機,把機身當(dāng)做一個圓柱體,則此圓柱體繞自身軸線旋轉(zhuǎn)并且有流體在垂直于該軸線方向流過時,受到一個垂直于流動方向的橫向力。

建立理論模型,用圓柱體代替滑翔機,獲得一個前進的初速度和向后轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動角速度。

流過半徑為a的圓柱的均勻流函數(shù)[4-5]:

具有環(huán)量按照順時針方向旋轉(zhuǎn)的無旋窩的流函數(shù)

均勻流和附著渦的流函數(shù)[5]:

由伯努利方程,繞圓柱的壓強分布:

故升力:

圓柱體受到空氣阻力R升力L重力G:

圖2 受力分析

考慮水平射出時初始條件,初始位置坐標(biāo)為零,水平速度為v0。計算不同初速度初轉(zhuǎn)速時使用代入實際數(shù)據(jù)求出軌跡圖。

圖3 (a)初速度4.5阻力系數(shù)0.02

圖3 (b)初速度4.5阻力系數(shù)0.015

圖3 (c)初速度4.5阻力系數(shù)0.03

根據(jù)圖1的實驗數(shù)據(jù)和圖3的理論數(shù)據(jù)對照發(fā)現(xiàn),兩者符合得非常好,驗證了理論分析的正確性。

3 結(jié) 論

自制的馬格努斯滑翔機實驗的用料和制作方法非常簡單,但其中卻蘊含著有趣的科學(xué)原理。文章通過研究其受力分析,通過建立物理模型,分析其受力得到其運動軌跡方程,得出位移方程、馬格努斯力所產(chǎn)生的橫向位移與滑翔器的初速度、旋轉(zhuǎn)角速度、空中飛行時間、質(zhì)量、半徑以、空氣的密度、流體對球的阻力系數(shù)及粘性有關(guān),并得到實驗驗證。研究此情形下的運動有一定實際意義,為眾多飛行器及球類的運動提供借鑒。

[1] 于鳳軍.馬格努斯效應(yīng)與空竹的下落運動[J].大學(xué)物理,2012(9):19-21.

[2] 呂逢嬌.馬格努斯效應(yīng)在流量儀表上的應(yīng)用[J].大學(xué)物理實驗,2013(2):48-50.

[3] 于妍,王金平,劉若晗,等.球類旋轉(zhuǎn)對球軌跡的影響[J].中國科技縱橫,2014(14):64.

[4] 李豐.香蕉球的運動分析及方程推導(dǎo)[J].硅谷, 2013(1):174.

[5] 呂逢嬌.馬格努斯效應(yīng)在流量儀表上的應(yīng)用[J].大學(xué)物理實驗,2013(2):3-5.

Exploration and Research on the M ovement of M agnus G lider

WU Hai-na,SU Zhuo,LUO Kai,WANG Qi,CHENG Xian-zhong
(Northeastern University,Liaoning Shenyang 110819)

Through the establishment of theatricalmodel,we explained the causes for Magnus glide trajectory. The necessary conditions for the force of Magnus are provided according to the data analysis and the experimental verification.

Magnus effect;Bernoulli's principle;glider

O 4-33

A

10.14139/j.cnki.cn22-1228.2015.005.002

1007-2934(2015)05-0004-03

2015-06-25

遼寧省教育廳科學(xué)研究一般項目(L2014099);遼寧省普通高等教育內(nèi)涵發(fā)展-專業(yè)建設(shè)專項(跨校修讀學(xué)分專項) (UPRPI2014024)