龔勁濤 馮文林

（1綿陽師范學(xué)院物理與電子工程學(xué)院，四川 綿陽 621000；2重慶理工大學(xué)光電信息學(xué)院，重慶 巴南 400054）

恒定功率的啟動(dòng)方式因其達(dá)到最大速度用時(shí)短位移小，而被方程式賽車所普遍采用，同時(shí)與之相關(guān)的習(xí)題和試題也廣泛出現(xiàn)在各種輔導(dǎo)材料和考試中，是考核機(jī)車啟動(dòng)類問題的常見形式之一.但這類問題的題設(shè)有時(shí)卻因出題者的疏忽或想當(dāng)然，造成與實(shí)際的錯(cuò)位，甚至引發(fā)錯(cuò)誤.首先請(qǐng)看2009年上海高考試卷的一道試題.

例1（2009年上海高考試卷20題）質(zhì)量為5×103kg的汽車在t＝0時(shí)刻的速度v0＝10m／s，隨后以P＝6×104W的額定功率沿平直公路繼續(xù)前進(jìn)，經(jīng)72s達(dá)到最大速度，設(shè)汽車受到恒定阻力，其大小為2.5×103N.問（1）汽車的最大速度vm；（2）汽車72s內(nèi)經(jīng)過的路程s[1].

解：（1）功率一定，速度增大牽引力減小，汽車作加速度越來越小的變加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)牽引力（F）等于阻力（f）時(shí)，速度達(dá)到最大值，即：P＝Fv＝fvm，得

該試題的求解過程顯然正確，并沒有不合理之處.但題設(shè)“經(jīng)72s達(dá)到最大速度”這一條件卻與實(shí)際不符，下面就對(duì)此進(jìn)行討論.首先通過微積分運(yùn)算推導(dǎo)出運(yùn)動(dòng)時(shí)間與運(yùn)動(dòng)速度之間的關(guān)系.

式（1）就是該汽車以額定功率啟動(dòng)時(shí)其時(shí)間、速度、阻力和功率之間的定量關(guān)系，而當(dāng)v＝P／f或fv＝P時(shí)，t→∞，說明當(dāng)汽車以額定功率啟動(dòng)并保持額定功率運(yùn)行時(shí)，在理論上最大速度永遠(yuǎn)不可能達(dá)到.那么是不是這類問題就應(yīng)該無解，沒有討論的價(jià)值呢？顯然不是，雖然理論上最大速度值不可能達(dá)到，但從模型法分析問題的角度我們可認(rèn)為：在實(shí)際速度足夠接近最大速度時(shí)可視為達(dá)到最大速度，就如在摩擦力足夠小時(shí)可以視為光滑面處理一樣是同一個(gè)道理.那么如何認(rèn)定足夠接近最大速度的大小呢？按照處理問題時(shí)常采取的標(biāo)準(zhǔn)，取v＝99%vm＝23.76m·s-1，代入式（1）可知所需時(shí)間約為112s.而代入t＝72s，利用Excel的單變量解方程功能求解上述方程，得到的速度約為22.1m·s-1，只有最大速度24m·s-1的92.1%，由此可見題設(shè)給出的“經(jīng)72s達(dá)到最大速度”顯然與實(shí)際還有一定差距，與實(shí)際情形不太相符.

接下來我們分析另外一道習(xí)題：

例2質(zhì)量為2×103kg的汽車，發(fā)動(dòng)機(jī)的額定功率為60kW.假設(shè)汽車在平直公路上從靜止開始以額定功率加速運(yùn)動(dòng)，汽車受到的阻力恒定，經(jīng)過150m后達(dá)到最大速度，其大小為30m·s-1.求：

（1）汽車所受阻力的大小；

（2）汽車做加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間[2-4].

常見解法如下：

解：

（2）根據(jù)動(dòng)能定理：

圖1 速度時(shí)間圖

上述解法同樣沒有不當(dāng)之處，但若利用速度時(shí)間（v-t）圖像分析，如圖1所示，經(jīng)過20s汽車位移顯然應(yīng)當(dāng)在：300m＜s＜600m之間，而不可能是題干中給出的150m，現(xiàn)對(duì)此進(jìn)行分析：

將式（2）代入式（1），得

從式（4）看出當(dāng)汽車以額定功率從靜止開始啟動(dòng)并在行駛中保持功率不變，在阻力恒定時(shí)，汽車運(yùn)動(dòng)的時(shí)間、速度、位移三者之間的關(guān)系唯一確定，不能任意假設(shè).那么題設(shè)中 “經(jīng)過150m后達(dá)到最大速度”這一條件是否符合式（3）給出的運(yùn)動(dòng)關(guān)系？如果不符合，那么汽車經(jīng)過多少米才能達(dá)到最大速度？同理取v＝0.99vm＝29.7m·s-1時(shí)，我們近似認(rèn)為達(dá)到最大速度，代入式（2）得相應(yīng)位移應(yīng)為2813m；代入（3）式時(shí)間t＝108s；若取v＝0.999vm＝29.97m·s-1為最大速度，相應(yīng)的位移和時(shí)間應(yīng)為4869m和177s.而即使取v＝0.90vm＝27m·s-1，得到的位移和時(shí)間也應(yīng)是898m和42s，由此可見題設(shè)中的經(jīng)過150m達(dá)到最大速度的假設(shè)是與實(shí)際完全不符的錯(cuò)誤假設(shè).

從以上兩個(gè)典型問題的分析不難看出對(duì)于機(jī)車額定功率啟動(dòng)問題的設(shè)置應(yīng)符合：運(yùn)動(dòng)的時(shí)間、速度、位移三者之間的運(yùn)動(dòng)關(guān)系，不能隨意假設(shè)，同時(shí)應(yīng)在設(shè)定最大速度時(shí)注意與實(shí)際盡可能保持一致，希望出題者在涉及此類問題時(shí)引起重視.

[1]趙曰峰，趙林明，等.談汽車以額定功率啟動(dòng)達(dá)到最大速度的時(shí)間[J].物理教師，2014（4）：58.

[2]蔡志東.功率一定，力和速度成反比的現(xiàn)象能發(fā)生嗎[J].物理教學(xué)，2008（12）：9-11.

[3]蔡志東.不可能出現(xiàn)“功率一定，力和速度成反比”的現(xiàn)象：由一道經(jīng)典習(xí)題引發(fā)的思考[J].物理教師（高中版），2008（12）：30-32.

[4]趙燦冬.對(duì)一道汽車加速典型習(xí)題的質(zhì)疑[J].物理教師，2007（2）：29-30；31-32.