徐金瑛,魯曉東

(浙江海洋學(xué)院東?？萍紝W(xué)院,浙江舟山 316000)

用Mathematica實(shí)現(xiàn)光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn)的曲率法數(shù)據(jù)處理

徐金瑛,魯曉東?

(浙江海洋學(xué)院東海科技學(xué)院,浙江舟山 316000)

通過(guò)對(duì)光電管中光電流成分的分析,知其大小是隨電壓呈曲線變化的。由此提出用Mathematica軟件來(lái)擬合光電流的伏安特性曲線,并以曲線中曲率最大的點(diǎn)作為遏止電壓點(diǎn),有效減小了由主觀方法估計(jì)帶來(lái)的不穩(wěn)定因素,提高了實(shí)驗(yàn)結(jié)果的準(zhǔn)確性。

光電效應(yīng);光電流;遏止電壓;曲率法

從愛(ài)因斯坦的光電效應(yīng)方程可以看出,光子頻率與其所對(duì)應(yīng)的遏止電壓之間是呈線性關(guān)系的。利用該關(guān)系,就可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)的方法來(lái)確定普朗克常數(shù)[1]。在具體的測(cè)量過(guò)程中由于各種噪聲的存在,使得遏止電壓的變化規(guī)律受到一定程度的掩蓋,影響了測(cè)量的可靠性。目前普遍使用的方法有兩種,一種是用交點(diǎn)法,就是取曲線與橫軸的交點(diǎn),即光電流為零所對(duì)應(yīng)的電壓值,一般光電管中暗電流還是比較明顯的,這勢(shì)必會(huì)嚴(yán)重影響總電流為零時(shí)的電壓值,所以準(zhǔn)確度會(huì)比較低;另一種用拐點(diǎn)法,取曲線中斜率變化最大的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)電壓值,這是符合實(shí)際遏制電壓變化規(guī)律的,因此拐點(diǎn)法相對(duì)更有優(yōu)勢(shì)。但拐點(diǎn)法需要確定變化中何處是屬于拐點(diǎn)的。這就要通過(guò)一條曲線擬合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),然后通過(guò)擬合函數(shù)的某些特征來(lái)確定拐點(diǎn)的位置,本文提出根據(jù)曲線的曲率來(lái)確定拐點(diǎn)的位置,由于整個(gè)數(shù)據(jù)處理過(guò)程涉及大量的計(jì)算,尤其是符號(hào)計(jì)算,因此使用Mathematica軟件明顯比其他的軟件[2-3]更具有優(yōu)勢(shì)。

1 光電流分析

由光電效應(yīng)電路見(jiàn)圖1可知,當(dāng)光電管的反向電壓足夠大時(shí),光電子就沒(méi)有足夠的動(dòng)能到達(dá)陽(yáng)極,即電流表上的電流會(huì)突變到零,此時(shí)的電壓稱為光電流的遏制電壓。但實(shí)際上電電流表上的電流只是有些大的變化并沒(méi)有產(chǎn)生突變到零的過(guò)程,這給我們確定該頻率下光電流的遏制電壓大小帶來(lái)了困難。但只要對(duì)光電流的成分作進(jìn)一步的分析,電流的變化還是有規(guī)律可循的。

圖1 光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn)原理圖

首先光電管陰極表面由于氧化各點(diǎn)的逸出電位是不一樣的,所以同一頻率光量子下激發(fā)出的光電子動(dòng)能不一樣,即光電流會(huì)隨反向電壓的增大緩慢趨于零點(diǎn)的,所以實(shí)驗(yàn)盡量使用新的的光電管,最大程度保證電流突變的特性。另外在陽(yáng)極也常會(huì)有一些陰極材料,在雜散光照射下產(chǎn)生反向陽(yáng)極電流,這部電流相對(duì)較小,但足以影響電流為零時(shí)的位置。還有就是整個(gè)電路工作時(shí)存在的本底電流即暗電流,這部分電流隨電壓變化很小。所以不同電流成分的疊加在一定程度上淹沒(méi)了陰極電流(圖2),但其突變的特點(diǎn)還是存在的。陽(yáng)極電流的電流變化相對(duì)陰極電流幾乎可以忽略的,且陰極的氧化部分認(rèn)為是小部分的,這部分電流隨電壓的變化相對(duì)較小,所以認(rèn)為實(shí)測(cè)電流的變化最大處Vs’與陰極電流的Vs處幾乎一致,也就是曲線曲率最大的地方。

圖2 光電流變化曲線圖

2 曲率法的實(shí)現(xiàn)

2.1 曲線曲率的求法

圖3 曲線曲率定義

2.2 曲率的軟件計(jì)算步驟

(1)通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)離散點(diǎn)給出擬合模型

實(shí)驗(yàn)所關(guān)心的數(shù)據(jù)點(diǎn)分布在電壓反向時(shí)曲線趨向于零的這一部分,從圖2可以看出曲線符合指數(shù)表達(dá)的形式:即y=c+eax+b,所要注意的就是擬合出來(lái)的曲線不是真正電流變化的曲線,而是其數(shù)值上的逼近,因此盡量選擇拐點(diǎn)附近的數(shù)據(jù)。

(2)用FindFit[]求出參數(shù)

Mathematica軟件提供了基于最小二乘方法的曲線擬合的工具[5]Fit[],FindFit[],前者適合用于多項(xiàng)式,后者適合于一般形式的函數(shù),例如: Findfit[data,c+Exp[a+b x],{a,b,c},x],其含義即:求出a,b,c的值,使函數(shù)y=c+eax+b符合對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)data的最小二乘擬合。

(3)按定義求曲率

在根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算出a,b,c后,f(x)的形式已經(jīng)確定,便可以由(1)式計(jì)算出曲率的函數(shù)表達(dá)式。

(4)用FindMaximum[]找出最大點(diǎn)

按實(shí)驗(yàn)條件確定的數(shù)據(jù)范圍,畫(huà)出光電管的伏安曲線,并通過(guò)FindMaximum[]找出范圍內(nèi)的曲率最大值對(duì)應(yīng)的電壓值,并標(biāo)上標(biāo)記。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

本例用實(shí)驗(yàn)室所測(cè)一組數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)明分段線性擬合方法的使用,實(shí)驗(yàn)使用GD-Ⅲ型光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn)儀,低壓汞燈光源。分別對(duì)波長(zhǎng)為 365 nm、405 nm、436 nm、546 nm、577 nm的光譜源進(jìn)行測(cè)量,所測(cè)數(shù)據(jù)如表1。

表1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

按步驟逐步輸入Mathematica符號(hào)命令:

(1)輸入實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

data={{-3.00,-3.8},{-2.5,-3.73},{-2.00,-3.60},{-1.75,-1.10},{-1.50,7. 86}};

在觀察中發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)突變一定在電壓為-1.50以下,所以可以舍棄-1.50以上組。

(2)求出擬合參數(shù)

p=FindFit[data,c+Exp[a+bx],{a,b,c}, x]

得到擬合參數(shù):

{a→11.4203,b→5.9708,c→-3.8779}

因此曲線的函數(shù)為

y[x_]:=c+Exp[a+bx]/p;

即:-3.877977+e11.420+5.9708x

顯示該曲線gcurve=Plot[y[x],{x,-4.,-0.0}];如圖4所示,可以看出拐點(diǎn)在x<-1的區(qū)域。

圖4 擬合的伏安曲線

圖5 曲率分布

(4)求出曲率并畫(huà)出值的分布

得到:

結(jié)果如圖5,曲線在該范圍內(nèi)存在極大值。

(5)找出拐點(diǎn)

確定拐點(diǎn)位置,根據(jù)圖5,查找范圍為[-4,-1];

point=FindMaximum[{k,-4￡x￡-1},{x, -3}];

得到顯示拐點(diǎn)的坐標(biāo)point,其中point[[2]]為{x→-2.270}即遏止電壓值,在圖形上用“”標(biāo)出該位置,同時(shí)畫(huà)出原始數(shù)據(jù)點(diǎn)和擬合伏安曲線如圖6,以觀察該點(diǎn)的位置是否合理。

圖6 拐點(diǎn)的圖示

gmark=ListPlot[{{x/.point[[2]],y[x]/. point[[2]]}},PlotStyle->{Red},PlotMarkers→{}];gcurve=Plot[y[x],{x,-4.,-1.2}];

gdata=ListPlot[Table[data[[i]],{i,1, 4}]];

Show[gcurve,gmark,gdata,GridLines→Automatic]

其他數(shù)據(jù)按同樣的步驟處理,得到結(jié)果如表2。

表2 處理結(jié)果

由光電效應(yīng)原理[6],當(dāng)入射光的頻率v等于金屬材料的截止頻率v0時(shí),遏止電壓Vs=0,此時(shí)光子的能量剛好提供給金屬的逸出功。此時(shí)遏止電壓與光子頻率的關(guān)系寫(xiě)為:

Vs與v是一種簡(jiǎn)單的線性關(guān)系,由此關(guān)系可以計(jì)算出普朗克常數(shù)為h=(6.53±0.25)×10-34J·S

4 結(jié) 論

光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn)的關(guān)鍵是確定遏止電壓,用曲率法就是最大程度符合當(dāng)達(dá)到遏止電壓時(shí)電流會(huì)突然的特點(diǎn),這個(gè)突變點(diǎn)可以通過(guò)曲線的形狀來(lái)估計(jì)。使用Mathematica軟件則簡(jiǎn)化了曲線的擬合與拐點(diǎn)的計(jì)算數(shù)學(xué)過(guò)程,并使結(jié)果達(dá)到優(yōu)化,減少了人為估計(jì)的不確定性。所要注意的就是用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理時(shí),需要結(jié)合人工的分析,例如數(shù)據(jù)范圍的調(diào)整,如果不注意容易引入一些局部最優(yōu)值[7-9]。

[1] 竺江峰,蘆立娟,魯曉東.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)[M].北京:中國(guó)科學(xué)技術(shù)出版社,2005.

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[3] 劉絨俠,王黨社,彭首軍 用origin軟件處理物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[J].大學(xué)物理實(shí)驗(yàn),2008,22(2):91-93.

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Data Processing w ith Curvature M ethod Based on M athematica in Photoelectric Effect Experiment

XU Jin-ying,LU Xiao-dong
(Donghai Technology College,Zhejiang Ocean University,Zhejiang Zhoushan 316000)

By analyzing the components of photocurrent in Phototube,it is said that the current changes in stage following with changing of its voltage.A method based on Mathematica is proposed to fit the volt-ampere characteristics curve of photocurrent,and to regard the point where the curvature goes to maximum as cut-off voltage.Themethod reduced the negative effect from subjective estimation,so the accuracy of experimental results is promoted.

photoelectric effect;photocurrent;cut-off voltage;curvaturemethod

O 4-39

A

10.14139/j.cnki.cn22-1228.2015.006.028

1007-2934(2015)06-0094-04

2015-07-06

?通訊聯(lián)系人