趙梅梅

(甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院，甘肅蘭州 730070)

序S-系的(PI)-覆蓋

趙梅梅

(甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院，甘肅蘭州 730070)

在序幺半群上定義了滿足條件(PI)的序S-系，給出了循環(huán)序S-系滿足條件(PI)的充分必要條件，并研究了所有(循環(huán))序S-系具有(PI)-覆蓋的序幺半群.

序S-系；條件(PI)；覆蓋

0 引言

2001年,Bican等[1]證明了任意結(jié)合環(huán)上所有模都有平坦覆蓋.幺半群上(序)S-系的覆蓋是近幾年比較活躍的研究方向.Isbell[2]，F(xiàn)ountain[3]和Kilp[4]考慮了S-系的投射覆蓋，Mahmoudi-Renshaw[5]研究了循環(huán)系的強(qiáng)平坦覆蓋和條件(P)-覆蓋，并給出了循環(huán)S-系有強(qiáng)平坦覆蓋((P)-覆蓋)的充分必要條件，研究了所有循環(huán)S-系有強(qiáng)平坦覆蓋((P)-覆蓋)的幺半群.2012年，我們利用幺半群S的理想I定義了條件(PI)，并刻畫了循環(huán)S-系具有(PI)-覆蓋的幺半群[6].

本文在序幺半群上定義序S-系滿足條件(PI)，給出循環(huán)序S-系滿足條件(PI)的充分必要條件，并研究所有(循環(huán))序S-系具有(PI)-覆蓋的序幺半群.除非特別聲明,S均指序幺半群,S-系均為序右S-系.有關(guān)序幺半群上序S-系的一些定義和結(jié)論參見(jiàn)文獻(xiàn)[7].

1 預(yù)備知識(shí)

定義1 設(shè)I是S的理想.稱序右S-系A(chǔ)滿足條件(PI),如果對(duì)任意的a,a′∈A,任意的s,s′∈S,若as≤a′s′,則存在a″∈A,u,v∈I,使得us≤vs′,a=a″u,a′=a″v.

定義2 設(shè)I是S的理想.稱S的序子幺半群R是弱I-右reversible的,如果對(duì)于任意的p,q∈R,存在s,t∈R∩I使得sp≤tq.顯然若I=S,則序子幺半群R是弱I-右reversible的當(dāng)且僅當(dāng)R是弱右reversible的.

引理2[7]設(shè)S是序幺半群,S/ρ是循環(huán)序右S-系.如果R是[1]ρ的序子幺半群,使得對(duì)于任意的u∈[1]ρ,uS∩R≠?,那么存在S上的右同余σ,使得R?[1]σ且S/σ是S/ρ的一個(gè)覆蓋.

特別地,R=[1]σ當(dāng)且僅當(dāng)R是S的左單式序子幺半群.

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)S是序幺半群,I是S的理想,ρ是S上的序右同余,則S/ρ滿足條件(PI)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意的s,t∈S,如果[s]≤[t],那么存在u,v∈I,使得us≤vt,uρ1ρv.

證明 充分性.設(shè)s,s′,a,a′∈S,滿足[a]s≤[a′]s′,那么[as]≤[a′s′].由條件知存在u,v∈I,使得u(as)≤v(a′s′),uρ1ρv,所以[a]=[1]a=[u]a=[1]ua,[a′]=[1]a′=[v]a′=[1]va′,并且(ua)s≤(va′)s′.因?yàn)镮是理想,所以u(píng)a,va′∈I,故S/ρ滿足條件(PI).

必要性.設(shè)s,t∈S且[s]≤[t],則[1]s≤[1]t.因?yàn)镾/ρ滿足條件(PI),由定義,存在x∈S,u′,v′∈I,使得u′s≤v′t,[1]=[x]u′=[x]v′.設(shè)u=xu′,v=xv′,顯然有us≤vt且uρ1ρv. 】

命題1 設(shè)ρ是序幺半群S上的右同余.如果S/ρ滿足條件(PI),那么R=[1]ρ是弱I-右reversible的.

證明 設(shè)s,t∈R,則[s]≤[t].因?yàn)镾/ρ滿足條件(PI),所以存在u,v∈I,使得us≤vt,且uρ1ρv,從而R=[1]ρ是弱I-右reversible序子幺半群. 】

命題2 設(shè)I是S的理想,P?S是弱I-右reversible序子幺半群,ρ=θ(P×P)，則

(1)P?[1]ρ;

(2)[s]≤[t]當(dāng)且僅當(dāng)存在u,v∈P∩I使得us≤vt;

(3)S/ρ滿足條件(PI).

特別地,P=[1]ρ當(dāng)且僅當(dāng)P是左單式序子幺半群.

證明 (1) 因?yàn)?∈P,所以對(duì)任意的p∈P,有p≤p·1,1·1≤1,1≤1·1,p·1≤p,即p∈[1]ρ,所以P?[1]ρ.

(2)設(shè)s,t∈S,且[s]≤[t],則存在n≥0,pi,qi∈P,si∈S,1≤i≤n,使得s≤p1s1,q1s1≤p2s2,…,qnsn≤t.因?yàn)镻是弱I-右reversible的,由p1,q1∈P知存在u1,v1∈P∩I,使得u1p1≤v1q1,所以u(píng)1s≤u1p1s1≤v1q1s1≤v1p2s2.而v1p2,q2∈P,又因?yàn)镻是弱I-右reversible的,故存在u2,v2∈P∩I,使得u2(v1p2)≤v2q2,所以(u2u1)s≤v2p3s3.繼續(xù)這樣做,可以得到u,v∈P∩I,使得us≤vt.相反地,設(shè)s,t∈S,且存在u,v∈P∩I,使得us≤vt，則有s≤1·s,us≤vt,1·t≤t,所以[s]≤[t].

(3)由(1),(2)易證. 】

下面在序幺半群上給出序S-系有(PI)-覆蓋的定義.

定理2 設(shè)S是序幺半群,I是S的理想,則每個(gè)循環(huán)序右S-系S/ρ有(PI)-覆蓋當(dāng)且僅當(dāng)[1]ρ包含弱I-右reversible序子幺半群R,使得對(duì)于任意的u∈[1]ρ,uS∩R≠?.

證明 充分性.設(shè)R是[1]ρ的I-右reversible序子幺半群,使得對(duì)于任意的u∈[1]ρ,uS∩R≠?.根據(jù)引理2的證明,在S上定義右同余σ=θ(R×R)?ρ,使得R?[1]σ且S/σ是S/ρ的一個(gè)覆蓋，則由命題2知S/σ滿足條件(PI).

必要性.假設(shè)S/ρ有(PI)-覆蓋S/σ,由引理1我們?cè)O(shè)R=[1]σ?[1]ρ且對(duì)于任意的u∈[1]ρ,uS∩R≠?，則命題1知R是弱I-右reversible序子幺半群. 】

稱序幺半群S滿足條件(A),如果每個(gè)序右S-系的循環(huán)序子系滿足升鏈條件.稱序右S-系A(chǔ)S是弱局部循環(huán)的,如果AS的每個(gè)有限生成序子系都包含在一個(gè)循環(huán)序S-系中.

引理3[7]設(shè)S是序幺半群,則以下條件等價(jià):

(1)S滿足條件(A);

(2)每個(gè)弱局部循環(huán)序S-系是循環(huán)的;

由文獻(xiàn)[7]的討論可知:每個(gè)序S-系有(P)-覆蓋當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)弱局部循環(huán)序S-系有(P)-覆蓋.結(jié)合引理3、定理2可得

定理3 設(shè)S是序幺半群,I是S的理想,則以下條件等價(jià):

(1)每個(gè)序右S-系有(PI)-覆蓋;

(2)S滿足條件(A),且每個(gè)循環(huán)序右S-系有(PI)-覆蓋;

(3)S滿足條件(A),且S的每個(gè)左單式序子幺半群T都包含一個(gè)弱I-右reversible序子幺半群R,使得對(duì)于任意的u∈T,uS∩R≠?.

推論1[7]設(shè)S是序幺半群,則以下條件等價(jià):

(1)每個(gè)序右S-系有(P)-覆蓋;

(2)S滿足條件(A),且每個(gè)循環(huán)序右S-系有(P)-覆蓋;

(3)S滿足條件(A),且S的每個(gè)左單式序子幺半群T都包含一個(gè)弱右reversible序子幺半群R,使得對(duì)于任意的u∈T,uS∩R≠?.

特別地，當(dāng)序幺半群S和序右S-系上的偏序“≤”變成離散序“=”時(shí)，S為幺半群，序S-系為S-系.

定義4[6]設(shè)I是S的理想,稱右S-系A(chǔ)滿足條件(PI),如果對(duì)任意的a,a′∈A,任意的s,s′∈S,若as=a′s′,則存在a″∈A,u,v∈I,使得us=vs′,a=a″u,a′=a″v.

定義6[6]設(shè)I是S的理想.稱S的子幺半群R是I-右reversible的,如果對(duì)于任意的p,q∈R,存在u,v∈R∩I使得up=vq.顯然,若I=S,則子幺半群R是右reversible的當(dāng)且僅當(dāng)R是I-右reversible的.

引理4[6]設(shè)S是幺半群,I是S的理想,則每個(gè)循環(huán)S-系S/ρ有(PI)-覆蓋當(dāng)且僅當(dāng)[1]ρ包含一個(gè)I-右reversible子幺半群R,使得對(duì)于任意的u∈[1]ρ,有uS∩R≠?.

引理5[6]設(shè)S是幺半群,I是S的理想,則每個(gè)循環(huán)S-系有(PI)-覆蓋當(dāng)且僅當(dāng)S的每個(gè)左單式子幺半群T都包含一個(gè)I-右reversible子幺半群R,使得對(duì)于任意的u∈T,有uS∩R≠?.

稱幺半群S滿足條件(A),如果每個(gè)右S-系的循環(huán)子系滿足升鏈條件.稱右S-系A(chǔ)S是局部循環(huán)的,如果對(duì)于任意的x,y∈A,存在z∈A,使得(xS∪yS)?zS.

引理6[8]設(shè)S是幺半群,則以下條件等價(jià):

(1)S滿足條件(A);

引理7 設(shè)S是幺半群,則每個(gè)右S-系有(PI)-覆蓋當(dāng)且僅當(dāng)下列條件成立：

(1)每個(gè)局部循環(huán)右S-系有(PI)-覆蓋;

幺半群S滿足條件(A)的充分必要條件是每個(gè)局部循環(huán)S-系是循環(huán)的.結(jié)合引理6和引理7可得以下結(jié)論.

定理4 設(shè)S是幺半群,I是S的理想,則以下條件等價(jià):

(1)每個(gè)右S-系有(PI)-覆蓋;

(2)S滿足條件(A),且每個(gè)循環(huán)右S-系有(PI)-覆蓋;

(3)S滿足條件(A),且S的每個(gè)左單式子幺半群T都包含一個(gè)I-右reversible子幺半群R,使得對(duì)于任意的u∈T,有uS∩R≠?.

證明 (1)?(2).由引理6和引理7易證.(2)?(3)由引理5易證. 】

推論2[8]設(shè)S是幺半群,則每個(gè)右S-系有(P)-覆蓋當(dāng)且僅當(dāng)

(1)每個(gè)局部循環(huán)S-系有(P)-覆蓋;

推論3[8]設(shè)S是幺半群,則以下條件等價(jià):

(1)每個(gè)右S-系有(P)-覆蓋;

(2)S滿足條件(A),且每個(gè)循環(huán)右S-系有(P)-覆蓋;

(3)S滿足條件(A),且S的每個(gè)左單式子幺半群T都包含一個(gè)右reversible子幺半群R,使得對(duì)于任意的u∈T,有uS∩R≠?.

[1] BICAN L,EL BASHIR R,ENOCHS E.All modules have flat covers[J].BullLondMathSoc,2001,33:385-390.

[2] ISBELL J.Perfect monoids[J].SemigroupForum,1971,2:95-118.

[3] FOUNTAIN J.Perfect semigroups[J].ProcEdinbMathSoc,1976,20(2):87-93.

[4] KILP M.Perfect monoids revisited[J].SemigroupForum,1996,53:225-229.

[5] MAHMOUDI M,RENSHAW J.On covers of cyclic acts over monoids[J].SemigroupForum,2008,77:325-338.

[6] 趙梅梅,喬虎生.關(guān)于循環(huán)系的(P)-覆蓋的一個(gè)推廣[J].山東大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版,2012,47(4):94-96.

[7] ERSHAD M,KHOSRAVI R.On strongly flat and condition(P)S-posets[J].SemigroupForum,2011,82(3):530-541.

[8] KHOSRAVI R,ERSHAD M,SEDAGHATJOO M.Strongly flat and condition(P)covers of acts over monoids[J].CommAlgebra,2010,38:4520-4530.

(責(zé)任編輯 馬宇鴻)

(PI)-coversofS-posets

ZHAOMei-mei

(CollegeofScience,GansuAgriculturalUniversity,Lanzhou730070,Gansu,China)

S-poset satisfying condition (PI) is defined over pomonoid，some necessary and sufficient conditions of cyclicS-posets satisfying condition (PI) are given，and the monoids over which every(cyclic)S-poset has a (PI)-cover are characterized.

S-poset；condition (PI)；cover

2014-12-18;修改稿收到日期:2015-05-25

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11461060)；隴原創(chuàng)新人才扶持計(jì)劃資助項(xiàng)目

趙梅梅(1986—)，甘肅慶陽(yáng)人，助教，碩士.主要研究方向?yàn)榘肴豪碚? E-mail:zhaomm@gsau.edu.cn

O

A

1001-988Ⅹ(2015)04-0018-03