☉甘肅省天水市一中 宮前長(zhǎng)

多維剖析“探”解法思想指導(dǎo)“究”推廣
——一道高考題的解法探究及推廣歷程

☉甘肅省天水市一中 宮前長(zhǎng)

在學(xué)習(xí)了《數(shù)學(xué)》（必修2）（人教A版）“圓與方程”一章后，給學(xué)生出了一道高考題，為了教給學(xué)生如何進(jìn)行審題、如何進(jìn)行解題方法的選擇、思考角度的選擇、數(shù)學(xué)思想方法的恰當(dāng)選擇和對(duì)試題的拓展，做了一次嘗試，學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性高，課堂效果很好.為此，整理此題的審題方法、思考視角選擇及推廣取向，請(qǐng)各位同仁指導(dǎo)！

一、問(wèn)題提出

題目如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C1：（x+3）2+（y-1）2=4和圓C2：（x-4）2+（y-5）2=4.

（1）若直線l過(guò)點(diǎn)A（4，0），且被圓C1截得的弦長(zhǎng)為2，求直線l的方程；

圖1

（2）設(shè)P為平面上的點(diǎn)，滿足：存在過(guò)點(diǎn)P的無(wú)窮多對(duì)互相垂直的直線l1和l2，它們分別與圓C1和圓C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長(zhǎng)與直線l2被圓C2截得的弦長(zhǎng)相等，試求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).

二、盤點(diǎn)試題特點(diǎn)

試題是立足直線和圓的知識(shí)進(jìn)行問(wèn)題的設(shè)置，題目以考查“能力”為立意的試題.主要考查直線的方程、圓的方程及直線與圓的位置關(guān)系，是一道側(cè)重于理解與掌握的試題，這些內(nèi)容在新課標(biāo)中是屬于“理解、掌握”層次的，從問(wèn)題的設(shè)置上看，試題具有如下的特點(diǎn)：

第（1）問(wèn)采用具體的數(shù)據(jù)進(jìn)行“定量”處理，涉及直線方程、圓的知識(shí)（弦、弦心距、半徑和圓的方程等）、垂徑定理、點(diǎn)到直線的距離公式.

第（2）問(wèn)的設(shè)置是采用在定量的基礎(chǔ)上進(jìn)行“定性”的處理，問(wèn)題是以“存在性探索問(wèn)題”的方式給出，自然就會(huì)給學(xué)生創(chuàng)造出對(duì)所涉及的問(wèn)題進(jìn)行探究的平臺(tái)，由第（1）問(wèn)的“定量”到第（2）問(wèn)的“定性”的過(guò)渡，對(duì)學(xué)生能力的考查是螺旋式上升的.

總之，試題的亮點(diǎn)就會(huì)“暴露”出來(lái)，題目的內(nèi)涵是以“運(yùn)動(dòng)變化的思維”方式進(jìn)行了“不變”和“變”的相互轉(zhuǎn)化處理，尤其是“無(wú)窮多對(duì)”中蘊(yùn)含了特殊與一般的辯證關(guān)系，使所要考查的“直線與圓的位置關(guān)系”凸現(xiàn)出來(lái)，學(xué)生在思考問(wèn)題時(shí)，就會(huì)顯露出多層次、多方向、多種思維方式進(jìn)行考察，從某種意義說(shuō)，此題是值得進(jìn)行課堂探究的.

三、探究解題思路與方法

教學(xué)中，數(shù)學(xué)審題的講解很重要，涉及審題思考角度的選擇、數(shù)學(xué)思想方法的恰當(dāng)選擇、確定目標(biāo)條件的選擇、解題操作方法的選擇等，這一些都需要勤觀察、多聯(lián)想、對(duì)比分析、合理等價(jià)表征及大膽的猜想，為解題方案的形成提供了有用的價(jià)值.

（1）設(shè)直線l的方程為y=k（x-4），即kx-y-4k=0.

由垂徑定理，得圓心C1到直線l的距離d=

（2）通過(guò)上述盤點(diǎn)試題特點(diǎn)的分析，就會(huì)形成如下幾種解題思路.

思路1：根據(jù)試題特點(diǎn)的思路探究，得知所求的點(diǎn)滿足題意的每一對(duì)直線與對(duì)應(yīng)圓的圓心的距離是相等的，即直接設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)和過(guò)此點(diǎn)的直線斜率，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得到關(guān)于點(diǎn)的坐標(biāo)和斜率的方程，再利用過(guò)所求點(diǎn)的直線對(duì)是任意的特征解題.

解法1：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），直線l1、l2的方程分別

因?yàn)橹本€l1被圓C1截得的弦長(zhǎng)與直線l2被圓C2截得的弦長(zhǎng)相等，兩圓半徑相等，由垂徑定理，得圓心C1到直線l1與圓心C2到直線l2的距離相等.

思路2：根據(jù)試題特點(diǎn)的思路探究，對(duì)所求的點(diǎn)滿足題意的每一對(duì)直線進(jìn)行特殊化處理，即此直線對(duì)經(jīng)過(guò)圓心，此直線對(duì)互相垂直.又其點(diǎn)在兩圓心連線的中垂線上，從而形成如下的解法.

解法2：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），兩圓心C1、C2的坐標(biāo)是（-3，1）、（4，5），設(shè)C1C2的中點(diǎn)M的坐標(biāo)是PC1⊥PC2且過(guò)點(diǎn)P、M的直線與直線C1C2垂直，有解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為

思路3：根據(jù)試題特點(diǎn)的思路探究，對(duì)過(guò)所求的點(diǎn)P滿足題意的每一對(duì)直線進(jìn)行特殊化處理，即此直線對(duì)互相垂直.又所求點(diǎn)P在兩圓心連線的中垂線上，由等圓的方程相減易知中垂線的方程，從而形成如下的解法.

解法3：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），由兩等圓的方程相減可知兩圓心的連線的中垂線的方程是（x+3）2+（y-1）2=（x-4）2+（y-5）2，即14x+8y-31=0.因?yàn)辄c(diǎn)P在中垂線上，所以14m+8n-31=0，與聯(lián)立，解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為

思路4：根據(jù)試題特點(diǎn)的思路探究，對(duì)過(guò)所求的點(diǎn)P滿足題意的每一對(duì)直線進(jìn)行特殊化處理，即此直線對(duì)經(jīng)過(guò)圓心，此直線對(duì)互相垂直，點(diǎn)P恰好是以兩圓心的連線段為正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)（不含兩圓心），可以借助相應(yīng)的等腰直角三角形的知識(shí)來(lái)解決.

解法4：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），兩圓心C1、C2的坐標(biāo)是（-3，1）、（4，5），由兩等圓的方程相減可知兩圓心的連線的中垂線的方程是（x+3）2+（y-1）2=（x-4）2+（y-5）2，即14x+8y-31=0.因?yàn)辄c(diǎn)P在中垂線上，所以14m+8n-31=0.由等腰Rt△PC1C2知，C1C2=√2PC1，即（4+3）2+（5-1）2= 2［（m+3）2+（n-1）2］，聯(lián)立上述兩個(gè)等式，解得點(diǎn)P的坐標(biāo)

思路5：根據(jù)試題特點(diǎn)的思路探究，對(duì)過(guò)所求的點(diǎn)P滿足題意的每一對(duì)直線對(duì)進(jìn)行特殊化處理，即此直線對(duì)經(jīng)過(guò)圓心，此直線對(duì)互相垂直，點(diǎn)P恰好是以兩圓心的連線段為直徑的圓與其中垂線的交點(diǎn)，很快聯(lián)立方程組得到所求點(diǎn)的坐標(biāo).

在進(jìn)行社區(qū)醫(yī)院的工作中，對(duì)患者進(jìn)行自我管理模式健康教育是很有必要進(jìn)行的，社區(qū)醫(yī)院應(yīng)該充分認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)，做好對(duì)患者的安全教育工作，使其配合醫(yī)院的治療，從而增強(qiáng)治療療效，幫助患者恢復(fù)身體健康。

解法5：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），兩圓心C1、C2的坐標(biāo)是（-3，1）、（4，5），設(shè)C1C2的中點(diǎn)M的坐標(biāo)是由解法3知兩圓心的連線的中垂線方程是14x+8y-31=0.因?yàn)辄c(diǎn)P在中垂線上，所以14m+8n-31=0.以C1C2為直徑的圓的方程是（x+3）（x-4）+（y-1）（y-5）=0即有（m+3）（m-4）+（n-1）（n-5）=0，聯(lián)立上述等式，解關(guān)于m、n的方程得點(diǎn)P的坐標(biāo)為

思路6：由思路4的啟發(fā)，所求點(diǎn)P一定組成了特殊的Rt△PC1M（點(diǎn)M是兩圓心連線的中點(diǎn)），直線C1C2旋轉(zhuǎn)45°后與線段C1C2中垂線的交點(diǎn)是確定的，就是所求的點(diǎn)P，這樣形成一種新的簡(jiǎn)單解法.

解法6：兩圓心C1、C2的坐標(biāo)是（-3，1）、（4，5），設(shè)C1C2的中點(diǎn)為M，則由兩等圓的方程相減就得到了線段C1C2中垂線的方程（x+3）2+（y-1）2=（x-4）2+（y-5）2，即14x+8y-31=0.又直線C1C2的斜率是，設(shè)過(guò)點(diǎn)C1且繞點(diǎn)C1旋轉(zhuǎn)45°的直線的斜率記為k，由夾角公式得tan45°=1，解得，此時(shí)直線C1C2旋轉(zhuǎn)45°后的直線方程是，聯(lián)立兩個(gè)方程，解得.從而得點(diǎn)P的坐標(biāo)

四、結(jié)論拓展，合情推廣

通過(guò)對(duì)試題的分析和解法的探究，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，過(guò)所求點(diǎn)的直線對(duì)的夾角是直角，也可以改為某一角，但此角的范圍是（0，π），由試題特點(diǎn)的幾何圖形旋轉(zhuǎn)分析，點(diǎn)是存在的，仍在兩等圓圓心的連線的中垂線上，從而得到下述結(jié)論.

結(jié)論1：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C1：（x-a）2+（y-b）2=r2和圓C2：（x-c）2+（y-d）2=r2.設(shè)P為平面上的點(diǎn)，滿足：存在過(guò)點(diǎn)P的無(wú)窮多對(duì)互相垂直的直線l1和l2，它們分別與圓C1和圓C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長(zhǎng)與直線l2被圓C2截得的弦長(zhǎng)相等，滿足條件的點(diǎn)P一定在兩等圓圓心連線的中垂線上，又在圓心連線為直徑的圓上.

結(jié)論2：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C1：（x-a）2+（y-b）2=r2和圓C2：（x-c）2+（y-d）2=r2.設(shè)P為平面上的點(diǎn)，滿足：存在過(guò)點(diǎn)P的無(wú)窮多對(duì)夾角為α（0＜α＜π）的直線l1和l2，它們分別與圓C1和圓C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長(zhǎng)與直線l2被圓C2截得的弦長(zhǎng)相等，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)一定滿足兩等圓的方程相減的直線方程，即滿足兩圓心的連線的中垂線的方程.

由探究解題思路與處理方法中的解法1可知，過(guò)某一點(diǎn)的無(wú)窮多對(duì)互相垂直的直線（割線）被兩個(gè)等圓所截的弦長(zhǎng)相等，在平面中這樣的點(diǎn)是存在的.如果其他條件不變，只是將兩個(gè)“等圓”改為“不是等圓”時(shí)，又有怎樣的結(jié)果？

推廣：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C1：（x-a）2+（y-b）2=和圓C：（x-c）2+（y-d）2=相離.設(shè)P為該平面上

2的點(diǎn)，滿足：存在過(guò)點(diǎn)P的無(wú)窮多對(duì)互相垂直的直線l1和l2，它們分別與圓C1和圓C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長(zhǎng)與直線l2被圓C2截得的弦長(zhǎng)之比為r1∶r2，試求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)？（解法參照解法1）

五、總結(jié)

對(duì)一道數(shù)學(xué)題的問(wèn)題“點(diǎn)（知識(shí)點(diǎn)、關(guān)鍵點(diǎn)、連接點(diǎn)、結(jié)構(gòu)點(diǎn)等）”的深入剖析，就會(huì)破解它提升難度的“線（知識(shí)發(fā)展“線”、思維聯(lián)系“線”等）”和“面（解析幾何層面、函數(shù)層面、向量層面等）”有了更清晰的掌握和理解，為深刻審題和形成解題思路及解法的構(gòu)思鋪平了道路，也就能夠把握住這道數(shù)學(xué)題所反映的數(shù)學(xué)本質(zhì)，對(duì)提升解數(shù)學(xué)題的能力大有幫助.像本題的“點(diǎn)”主要是“直線對(duì)為什么會(huì)過(guò)定點(diǎn)”、“如何確定直線對(duì)過(guò)定點(diǎn)”，其“線”和“面”就是“過(guò)定點(diǎn)的互相垂直的直線對(duì)具備哪些性質(zhì)”、“過(guò)定點(diǎn)的互相垂直的直線對(duì)的個(gè)數(shù)有多少”等，只要解決了這些問(wèn)題，就會(huì)容易形成解題思路與方法.

在平時(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，多關(guān)注對(duì)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)問(wèn)題中所蘊(yùn)含的思想方法要即時(shí)進(jìn)行歸納、總結(jié)，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題中的問(wèn)題“點(diǎn)”進(jìn)行講命題立意、說(shuō)題意、探題理、尋方法等“線”和“面”活動(dòng)，深化思維，自然凸現(xiàn)優(yōu)美解法，真正回歸到教材中在基礎(chǔ)題上進(jìn)行挖掘、提煉思想方法，形成高效課堂.

1.羅增儒．?dāng)?shù)學(xué)解題學(xué)引論［M］．西安：陜西師范大學(xué)出版社，2008.

2.宮前長(zhǎng).關(guān)注幾何性質(zhì)喚出簡(jiǎn)捷解法［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2010（10）.

3.宮前長(zhǎng).高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的根本：回歸教材［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2014（4）.FH