☉江蘇省南通市教育科學(xué)研究中心 曾榮

提煉教學(xué)主線，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從無痕走向有痕*

☉江蘇省南通市教育科學(xué)研究中心 曾榮

“數(shù)學(xué)是思維的體操”，學(xué)生思維能力的形成、提升，以及數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建構(gòu)過程往往是潛移默化的，是無痕的.然而，正是這種“無痕”，使學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了畏懼心理.對于思維能力正在不斷提升的中學(xué)生來說，教師在教學(xué)時(shí)，若能將體現(xiàn)思維過程的思維鏈“有痕”地展示給學(xué)生，無疑會對學(xué)生思維能力的提高起到很大的幫助作用［1］.而要實(shí)現(xiàn)這種從無痕到有痕的轉(zhuǎn)變，教師最有效的方式便是善于提煉教學(xué)主線，圍繞主線進(jìn)行教學(xué).本文結(jié)合不同課型，重點(diǎn)介紹課堂教學(xué)中如何進(jìn)行教學(xué)主線的提煉.

一、新授課中提煉主線，讓新知自然生成

學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提升主要表現(xiàn)為以下三方面：掌握基本的知識技能、形成科學(xué)的思想方法、培養(yǎng)探究創(chuàng)新的意識和能力.其中知識技能是從事一切數(shù)學(xué)活動的源頭活水，學(xué)生的知識技能主要是在新授課中開始形成的.在新授課中，教師要善于結(jié)合知識的自然生成過程、探究方法的類比遷移提煉主線，引導(dǎo)學(xué)生獲取新知.

1.以知識的自然生成過程為主線

“數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是存在于學(xué)生頭腦里的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)與認(rèn)識結(jié)構(gòu)有機(jī)結(jié)合而成的心理結(jié)構(gòu)”［2］.學(xué)生頭腦里的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)是課程教材里的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)和老師的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)在學(xué)生頭腦里的反映.而教師良好的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的呈現(xiàn)則表現(xiàn)為：教師善于整合教材，根據(jù)知識的自然生成過程提煉課堂教學(xué)主線，并圍繞主線精心設(shè)計(jì)教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)，幫助學(xué)生整體建構(gòu)，不斷提升學(xué)生的思維能力.以“向量的概念及表示”［3］為例進(jìn)行說明.

“向量的概念及表示”是一節(jié)概念講解課，涉及的基本概念有向量、單位向量、零向量、平行向量、相等向量、相反向量、共線向量等.這些概念看似零碎，但這些概念都扣緊了大小和方向兩個(gè)關(guān)鍵詞.教材編寫者在編寫時(shí)充分考慮到學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和知識間存在的嚴(yán)格的邏輯順序.在認(rèn)知規(guī)律方面，整體按“建構(gòu)模型—研究模型—應(yīng)用模型”順序，局部按“概念—表示法—概念間的關(guān)系”順序編排；在知識編排方面，緊扣向量的兩要素，從大小和方向兩個(gè)角度進(jìn)行研究.從大小角度出發(fā)，如向量的模是一個(gè)單位，則得出單位向量的概念；如向量的模是零，則得出零向量的概念.從方向角度出發(fā)，如兩向量方向相同或相反，則得出平行向量的概念；若平行向量的模相等，則得出相等向量、相反向量的概念.理解了教材編寫者的意圖，我們確定了如下的教學(xué)主線（也是教師最后完整地呈現(xiàn)給學(xué)生的板書設(shè)計(jì)）.

圖1

2.以探究方法的類比遷移為主線

新課程強(qiáng)調(diào)“自主、合作、探究”，數(shù)學(xué)新知的獲取正是在探究活動中逐漸生成、廓清和發(fā)展的.教師在組織學(xué)生進(jìn)行探究的過程中，應(yīng)重視類比、歸納、綜合、概括、猜測、預(yù)見等探究方法的滲透.教師從學(xué)生實(shí)際的探究意識和探究能力出發(fā)，以探究方法的類比遷移為主線，將有利于學(xué)生探究能力的培養(yǎng).以“拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程”為例進(jìn)行說明.

學(xué)生在學(xué)習(xí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程前，已有了學(xué)習(xí)橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn).這種經(jīng)驗(yàn)，不應(yīng)該僅僅體現(xiàn)在知識層面的類比，更應(yīng)該體現(xiàn)在探究方法層面的遷移.教師要善于類比遷移原有的探究方法，并用它引領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.這樣做，不僅有利于拋物線的學(xué)習(xí)，更有利于讓學(xué)生進(jìn)一步感受解析幾何的研究方法，體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.具體的操作流程是這樣的：整體回顧橢圓的研究思路（圖2）—類比確定拋物線的研究思路（圖3）—幾何畫板演示拋物線的生成——建構(gòu)拋物線的定義—建系推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程—簡單運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)方程.

圖2

圖3

二、習(xí)題課中緊扣主線，讓思維有效提升

習(xí)題課教學(xué)中，教師精致的教學(xué)設(shè)計(jì)、合理的變式流程、清晰的方法比較、精當(dāng)?shù)目偨Y(jié)提升，將有效地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力和思維能力.為此，在新授課中，教師要善于將變式的生成過程、方法的比較提煉作為教學(xué)主線，組織學(xué)生開展對習(xí)題的研究.

1.以變式的生成過程為主線

習(xí)題課教學(xué)中經(jīng)常需要對問題進(jìn)行變式，變式教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的一種手段.合理地進(jìn)行變式教學(xué)，不但可以鞏固雙基，還可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.通過不斷地把題目的條件和結(jié)論適當(dāng)改變得出新題目，可使學(xué)生時(shí)時(shí)處在一種愉快的探索知識的狀態(tài)中，從而充分調(diào)動學(xué)生的積極性，啟發(fā)學(xué)生的思維，提高學(xué)生的解題能力和探索能力.教師的這種變式訓(xùn)練，應(yīng)重視思維層次的不斷提升，演變要體現(xiàn)出思維變化的過程.筆者在執(zhí)教“由數(shù)列遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式”［4］時(shí)，對問題變式設(shè)計(jì)了如下教學(xué)主線：在數(shù)列｛an｝中，已知a1=2，試結(jié)合下列遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式.

圖4

通過這一教學(xué)主線，將變式演變的思維過程層層深入地展示在學(xué)生面前，同時(shí)自然地將各種題型概括給學(xué)生，學(xué)生在豐富的變化中掌握了方法，訓(xùn)練了思維，提高了能力.

2.以方法的比較提煉為主線

解題教學(xué)時(shí)，常常需要進(jìn)行一題多解訓(xùn)練.這種一題多解教學(xué)，不能簡單地停留在方法的堆積層面，要善于進(jìn)行方法的比較.通過比較，理解每種方法的出發(fā)點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)各種方法的優(yōu)劣、方法之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而達(dá)到一題多解、多解歸一的目的.筆者在執(zhí)教“數(shù)形結(jié)合法在直線與圓位置關(guān)系中的運(yùn)用”時(shí)，以方法的比較提煉作為教學(xué)主線，取得了較好的效果.

例題已知直線l：x-y+m=0和圓x2+y2=1，求實(shí)數(shù)m的取值范圍，使得直線和圓分別有兩個(gè)、一個(gè)、零個(gè)交點(diǎn).

對于以上例題，筆者在教學(xué)時(shí)讓學(xué)生分別從形和數(shù)兩個(gè)角度進(jìn)行求解，并在學(xué)生交流總結(jié)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生用如下的流程圖（圖5、6）進(jìn)行提煉.通過兩種方法的比較，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)與形的關(guān)系，感悟數(shù)形結(jié)合思想的重要性.在比較提煉的基礎(chǔ)上，再將數(shù)與形的關(guān)系用圖7表示出來.有了這樣的理性思考，后續(xù)的研究也就水到渠成了.

圖5

圖6

圖7

三、復(fù)習(xí)課中狠抓主線，讓知識有效建構(gòu)

定期有效的復(fù)習(xí)，對于幫助學(xué)生建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)、提升思維品質(zhì)，有著極其重要的作用.在復(fù)習(xí)課中，教師要善于將知識建構(gòu)的螺旋上升、理性思維的升華發(fā)展作為教學(xué)主線，組織學(xué)生復(fù)習(xí)、梳理.

1.以知識建構(gòu)的螺旋上升為主線

數(shù)學(xué)知識具有極強(qiáng)的系統(tǒng)性，講究思維的連貫性和延續(xù)性.現(xiàn)行各種版本的數(shù)學(xué)教材都非常注重知識的演繹過程.為此，編者在編寫教材時(shí)，通常按照一定的主線層層推進(jìn)，或注意知識的銜接，前后呼應(yīng)，螺旋上升.筆者在執(zhí)教高三復(fù)習(xí)課“平面向量及空間向量”［1］時(shí)，根據(jù)知識建構(gòu)的螺旋上升線索設(shè)計(jì)了如下主線.

圖8

2.以理性思維的升華發(fā)展為主線

通過復(fù)習(xí)課，教師要幫助學(xué)生達(dá)到融會貫通的目的.而這種融會貫通，除了解題能力得到提高以外，更重要的是學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識能力不斷增強(qiáng).所以教師要善于以理性思維的升華發(fā)展為主線組織教學(xué).在進(jìn)行“函數(shù)與方程思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用”的教學(xué)時(shí).為了讓學(xué)生明白該課題的研究背景，筆者設(shè)計(jì)了如下問題.

問題1：試研究三角函數(shù)與一般函數(shù)的關(guān)系.

（2）個(gè)性：___________________________________.

為了讓學(xué)生更感性地認(rèn)識三角函數(shù)與一般函數(shù)的關(guān)系，筆者設(shè)計(jì)了如下問題.

問題2：利用函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識誘導(dǎo)公式.

以上兩個(gè)問題使學(xué)生從理性層面充分認(rèn)識到三角函數(shù)與一般函數(shù)的關(guān)系，使“函數(shù)與方程思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用”成為可能.接下來再研究具體的數(shù)學(xué)問題便順理成章了.

四、試卷講評課中明晰主線，讓評講有序開展

試卷講評課由于受試卷類型、學(xué)生答題情況、試卷難易程度等多種因素限制，所以講解的方式往往較多樣，下面介紹三種常用方式.

1.以知識點(diǎn)的分類為主線

如果試卷是單元測試類試卷，知識點(diǎn)較集中、聯(lián)系較密切，那么教師在講解時(shí)可以所考查的知識點(diǎn)的分類為主線進(jìn)行講評.教師可以將單元所學(xué)內(nèi)容根據(jù)知識體系進(jìn)行分類，以表格的形式進(jìn)行展示，然后將試卷中的試題對號入座，對于同一類題可以選擇具有代表性的進(jìn)行講解，對于具有一定綜合性的題可以放在最后講解，達(dá)到融會貫通的目的.

2.以學(xué)生的錯(cuò)誤分類為主線

如果學(xué)生答題情況比較理想，錯(cuò)誤率不高，教師可以對學(xué)生的錯(cuò)誤進(jìn)行分類，選擇具有代表性的錯(cuò)誤進(jìn)行講解.當(dāng)然，這種以學(xué)生的錯(cuò)誤為主線的講解方式不能停留在錯(cuò)誤本身，要對問題進(jìn)行挖掘、變式，使學(xué)生明白錯(cuò)誤原因，徹底糾正錯(cuò)誤.

3.以數(shù)學(xué)思維提升為主線

試卷中的試題難易程度不同，學(xué)生答題情況也各不相同，為了幫助學(xué)生通過試卷講評達(dá)到優(yōu)化解題思路、規(guī)范解題過程、突破重點(diǎn)和難點(diǎn)的目的，我們可以數(shù)學(xué)思維提升為主線組織教學(xué).具體可以分為以下三步.

（1）會而要優(yōu)，提高效率.試卷中正確率較高的題并非完全沒有講解的價(jià)值，對于這些題重在講解最優(yōu)化的解題方法，幫助學(xué)生提高效率.

（2）會而要全，嚴(yán)密規(guī)范.對于那些學(xué)生思路較清晰的題，除了要幫助學(xué)生找到最優(yōu)化的解法，還要注意展示嚴(yán)密、規(guī)范的解題過程，幫助學(xué)生完整周全地進(jìn)行解答.

（3）善于挖掘，巧找切口.試卷講解的重點(diǎn)當(dāng)然是那些學(xué)生思維受阻的題，對于這類題，不能簡單地展示解題過程，關(guān)鍵在于幫助學(xué)生尋找癥結(jié)所在，找到解決問題的切口.

“教學(xué)過程是一個(gè)系統(tǒng)，要求在整體感知教材，理解教材的過程中，盡快找到解決某一類問題的方法和規(guī)律，做到舉一反三，提高學(xué)習(xí)效率”［5］.緊扣主線進(jìn)行教學(xué)，有利于學(xué)生整體建構(gòu)，提高教學(xué)質(zhì)量.

1.曾榮.展示“有痕”的思維鏈——例談數(shù)學(xué)教學(xué)的板書設(shè)計(jì)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2009（1）.

2.涂榮豹.數(shù)學(xué)教學(xué)認(rèn)識論［M］.南京：南京師范大學(xué)出版社，2003.

3.曾榮.深挖教材提煉主線精心設(shè)計(jì)不斷提升——《向量的概念及表示》教學(xué)設(shè)計(jì)評析［J］.考試·數(shù)學(xué)版，2010（3-4）.

4.曾榮.回歸高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的基點(diǎn)——以“由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式”為例［J］.中國數(shù)學(xué)教育，2011（9）.

5.王敏勤.整體建構(gòu)是和諧教學(xué)的基本原則［J］.中國教育報(bào)，2005（6）.

Y

*本文是江蘇省“十二五”教育科學(xué)規(guī)劃課題《高中數(shù)學(xué)“閱讀·引導(dǎo)·提煉·探究”教學(xué)范式的實(shí)踐研究》（C-c/2013/02/028）的成果之一.