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        一個(gè)需要完善的經(jīng)典反例

        2015-07-01 20:05:30浙江省桐鄉(xiāng)市鳳鳴高級中學(xué)沈金興
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2015年2期
        關(guān)鍵詞:定義學(xué)生

        ☉浙江省桐鄉(xiāng)市鳳鳴高級中學(xué) 沈金興

        一個(gè)需要完善的經(jīng)典反例

        ☉浙江省桐鄉(xiāng)市鳳鳴高級中學(xué) 沈金興

        一、棱柱定義與經(jīng)典反例

        文1中提到了棱柱概念的進(jìn)化并提供了一個(gè)典型反例,筆者覺得這個(gè)反例值得商榷,有必要做進(jìn)一步完善.

        先看一下人教版教材《必修2》1.1.1節(jié)中對棱柱下的定義:有兩個(gè)面互相平行,其余各面都是四邊形,并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行,由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.而作為一線教師,一定會(huì)同時(shí)給出一個(gè)辨析題:能否把棱柱定義為“有兩個(gè)面互相平行,其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱”.

        絕大多數(shù)同學(xué)會(huì)認(rèn)為可以,當(dāng)然也有一部分同學(xué)覺得不可以,但理由會(huì)說:“如果可以這樣簡潔地定義,那教材為何還要這么啰嗦地下定義呢?”這顯然不是數(shù)學(xué)方面的理由,而是邏輯上的理由.其實(shí),要否定它,只要一個(gè)反例就可以了,但要讓學(xué)生自己去獨(dú)立思考,可能會(huì)很難想到.因此,教師就會(huì)給出像文1中一樣的一個(gè)經(jīng)典反例,如圖1.

        圖1

        二、對反例的詰問

        首先來看多面體的定義,以人教2004年版教材為例,多面體定義為“由若干個(gè)平面多邊形圍成的空間圖形”,并對多面體進(jìn)行分類,“把一個(gè)多面體的任一個(gè)面伸展成平面,如果其余的面都位于這個(gè)平面的同一側(cè),這樣的多面體叫做凸多面體”,而另一類便是凹多面體.

        接著來看圖1這個(gè)反例,它雖然是辨析題中那個(gè)定義的反例,但顯然這個(gè)反例是凹多面體的.筆者以前在上《棱柱》這節(jié)課時(shí),也是舉這個(gè)經(jīng)典反例的,可在最近一次上這節(jié)課時(shí),有學(xué)生一下課就來追問:“老師,棱柱是多面體,而多面體有凹、凸之分,可剛才給出的反例是一個(gè)凹多面體,那在凸多面體中有沒有反例呢?如果沒有,則辨析題那個(gè)定義中的多面體只要改成凸多面體不就正確了”.最后該生又加了一句話:“反正老師您給出的這個(gè)反例不能讓我信服!”

        面對學(xué)生的詰問,筆者也思索起來,覺得學(xué)生說得很有道理.這么說,以前我們舉的經(jīng)典反例是有問題的,那只不過是凹多面體中的一個(gè)反例,還缺少凸多面體中的反例.筆者一方面為學(xué)生有這樣的批判性思維而高興,另一方面自己也陷入了深思.

        三、數(shù)學(xué)史上的棱柱定義

        回頭再看一看在數(shù)學(xué)歷史發(fā)展過程中對棱柱下的定義.

        早在古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得(約公元前330-275)著的《幾何原本》中,在其第Ⅺ卷有這樣一個(gè)定義:“一個(gè)棱柱是一個(gè)立體圖形,它是由一些平面構(gòu)成的,其中有兩個(gè)面是相對的、相等的,相似且平行的,其他各面都是平行四邊形.”[2]這個(gè)定義不就是辨析題中的說法嗎?由此可見,棱柱的這種錯(cuò)誤定義來源于影響了2000多年的《幾何原本》.古希臘先賢也犯了錯(cuò),難怪現(xiàn)在的學(xué)生會(huì)重蹈覆轍.這也進(jìn)一步印證了“歷史發(fā)生原理”:學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解過程與數(shù)學(xué)概念的歷史發(fā)展過程具有一定的相似性,歷史上數(shù)學(xué)家所遭遇的困難正是學(xué)生所經(jīng)歷的障礙.[3]

        由于《幾何原本》是經(jīng)典幾何中的“圣經(jīng)”,故沒有數(shù)學(xué)家對棱柱定義提出懷疑,即使到了二十世紀(jì)初依舊如此.在1906年,數(shù)學(xué)家Failor對棱柱重新下了定義:棱柱是兩個(gè)面為全等且平行的多邊形,其他面為平行四邊形的多面體.在1913年,數(shù)學(xué)家Smith也把棱柱定義為:有兩個(gè)面為平行平面上的全等多邊形,其他面均為平行四邊形的多面體.顯然,這兩個(gè)定義還是《幾何原本》中棱柱定義的翻版,只是描述得簡潔一點(diǎn)而已,并無本質(zhì)區(qū)別.這說明該定義的反例是很難找的,否則在歷經(jīng)2000多年的歷史長河中,到了上世紀(jì)初竟還無一位數(shù)學(xué)家提出修正,所以學(xué)生想不到反例也很正常.

        四、完善反例并制作模型

        由于平時(shí)舉的這個(gè)反例是屬于凹多面體的,故需要再舉一個(gè)凸多面體的反例,這樣才完整.當(dāng)然,也不必重起爐灶,只要在原有反例的基礎(chǔ)上進(jìn)行完善,把它變成凸多面體就可以了.

        1.用“補(bǔ)形”方法來完善

        原有的反例是凹的,那只要在凹進(jìn)去的地方補(bǔ)上一個(gè)多面體,使之變成凸的不就行了,當(dāng)然側(cè)面還是要保證平行四邊形的.為了更一般化,原來反例中的上、下底面可改成一般的四邊形,然后為了美觀,還可再“補(bǔ)形”,使上、下底面為平行四邊形,最后就得一個(gè)很漂亮的凸多面體反例.具體的“補(bǔ)形”過程見圖2.

        2.用“切割”方法來制作

        凸多面體的反例是在原有凹多面體反例的基礎(chǔ)上通過“補(bǔ)形”方法得來的,但在給學(xué)生說明時(shí),還不太好辦,因?yàn)檫@個(gè)反例不容易畫.所以,最好能制作一個(gè)模型,直接給學(xué)生看,這樣就很有說服力了.

        但要憑空制作這個(gè)反例的模型也有點(diǎn)困難,于是就聯(lián)想到立體幾何中常用的“切割”方法.由于反例有十二個(gè)面,取上、下相對的兩個(gè)有四條棱的頂點(diǎn),則發(fā)現(xiàn)該頂點(diǎn)可看成一個(gè)四棱錐的頂點(diǎn),即有4個(gè)側(cè)面,這樣上下就有8個(gè)側(cè)面,再加上中間四個(gè)面,就構(gòu)成十二個(gè)面了.如此一來,就很自然地想到正八面體,然后取各條棱的中點(diǎn),再把各中點(diǎn)相連就形成了圖2中的凸多面體反例.具體“切割”過程如圖3,最后再旋轉(zhuǎn)一下觀看,就誕生了一個(gè)完美的凸多面體反例模型,如圖4.

        圖2

        圖3

        圖4

        五、結(jié)束語

        至此,針對棱柱錯(cuò)誤定義的反例就完善了,從而讓學(xué)生更加明白了教材中對棱柱所下定義的正確性.由于流傳了2000多年的《幾何原本》中對棱柱下的錯(cuò)誤定義,從而導(dǎo)致了學(xué)生對棱柱定義的誤解也屬正常,因?yàn)闅v史上這么多大數(shù)學(xué)家都認(rèn)為《幾何原本》中的棱柱定義是正確的,更何況學(xué)生.而教師舉的反例也不應(yīng)只局限于凹多面體的,還要補(bǔ)充凸多面體的反例才完整.希望本文完善的反例能給一線教師在教學(xué)上帶來方便.

        1.馮耀斌.HPM視角下高中數(shù)學(xué)若干“核心概念”的回歸[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(上),2014(3).

        2.歐幾里得,箸.幾何原本[M].蘭紀(jì)正,朱恩寬,譯.南京:譯林出版社,2011.

        3.汪曉勤,韓祥臨.中學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)史[M].北京:科學(xué)出版社,2002.FH

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