☉江蘇省丹陽市第五中學(xué) 錢秀

“幾何法”探究圓錐曲線求解新視角

☉江蘇省丹陽市第五中學(xué) 錢秀

平面幾何與解析幾何是初等幾何的兩個(gè)重要的分支，解析幾何的核心思想是運(yùn)用代數(shù)方法來研究幾何問題.平面幾何著重用邏輯推理的手段來解決幾何問題.在常規(guī)教學(xué)中，師生往往割裂了兩者內(nèi)在的聯(lián)系，忽視了平面幾何在解析幾何試題中的應(yīng)用，從而使得有一部分解析幾何試題解決的過程復(fù)雜化.本文以教材中一道拋物線習(xí)題的解答為引例，談?wù)勂矫鎺缀沃R(shí)在解析幾何中的應(yīng)用，供大家參考.

引例（人教版選修2-1第71頁習(xí)題B題4）過拋物線y2=2px的焦點(diǎn)F作傾斜角為的直線，交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的上方，求的值.

解法2：如圖1，過點(diǎn)A、B作準(zhǔn)線的垂線AC、BD，過點(diǎn)B作AC的垂線BE.

由拋物線的定義知|AC|= |AF|，|BF|=|BD|.又|AE|=|AC|-|CE|，|CE|=|BD|，所以|AE|=|AF|-|BF|.

圖1

評析：用圓錐曲線定義求解的問題往往與焦點(diǎn)或準(zhǔn)線有關(guān)，利用數(shù)形結(jié)合思想，不僅能抓住問題的本質(zhì)，還能避開復(fù)雜的運(yùn)算，使問題巧妙獲解，有事半功倍之效.

下面就幾何法在求解圓錐曲線問題中的簡單應(yīng)用，再簡舉幾例.

一、利用等腰三角形“三線合一”

等腰三角形是重要的平面幾何圖形之一，其最重要的性質(zhì)是“三線合一”，即底邊上的中線、高線、垂直平分線重合，問題中如果涉及兩邊相等，借助此性質(zhì)可簡潔解題.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2）.將直線l的方程代入橢圓C的方程，消去y得4（1+3k2）x2-60kx+27=0.由Δ= 3600k2-16（1+3k2）×27＞0，得設(shè)線段AB的中點(diǎn)為D，則.由點(diǎn)A、B都在以點(diǎn)M（0，3）為圓心的圓上，得kMD·k=-1，即，解得，符合題意.所以k=

評析：題目中的條件“點(diǎn)A、B都在以點(diǎn)M（0，3）為圓心的圓上”，間接給出|MA|=|MB|，因此存在等腰三角形，即中線與垂直平分線重合，進(jìn)而得出直線MD的斜率與已知直線的斜率的關(guān)系，使問題得解.對于垂直關(guān)系的利用，除了斜率相乘為-1外，也可借助向量的數(shù)量積為0求解.

二、利用直線的對稱性，使斜率由未知變已知

對稱性是平面幾何圖形的重要性質(zhì)，圓錐曲線綜合題大多以直線與圓錐曲線相交問題為背景，其中可能涉及兩條或多條直線.在引入直線方程時(shí)，如果設(shè)多個(gè)斜率，則使問題復(fù)雜化.如果能夠找到不同直線的斜率的關(guān)系，則可使問題化繁為簡.

（1）求橢圓C的方程.

（2）設(shè)過點(diǎn)M且斜率不為0的直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn).試問：x軸上是否存在定點(diǎn)P，使PM平分∠APB？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

（2）設(shè)點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），直線AB的方程為x=my+2.

將直線AB的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，消去x得（4m2+9）y2+16my-20=0.

若PM平分∠APB，則直線PA、PB的傾斜角互補(bǔ)，所以kPA+kPB=0.設(shè)點(diǎn)P（a，0），則有

將x1=my1+2、x2=my2+2代入上式，整理得

所以2my1y2+（2-a）（y1+y2）=0.將代入上式，整理得（-2a+9）·m=0.由于上式對任意實(shí)數(shù)m都成立，所以

評析：如兩直線關(guān)于坐標(biāo)軸或關(guān)于直線x=a對稱，兩直線的斜率互為相反數(shù)，即可用一個(gè)參數(shù)表示不同直線的斜率，從而使問題簡化.題目中的條件“如果x軸上存在定點(diǎn)P，使PM平分∠APB”，表明兩直線PA、PB的傾斜角互補(bǔ)，斜率互為相反數(shù)，進(jìn)而問題得解.

三、利用三角形相似，化定積為定比

若解析幾何問題中的條件以解析幾何形式給出，可以用傳統(tǒng)解析幾何方法，聯(lián)立方程組求解，也可以直接運(yùn)用平面幾何相關(guān)結(jié)論求解，如某些題目如果利用平面幾何中三角形全等或相似的知識(shí)會(huì)較容易解決.

例3（2014年高考全國新課標(biāo)）已知拋物線C：y2= 8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn)，若，則|QF|=（）.

解法2：過Q點(diǎn)向準(zhǔn)線l作垂線，垂足為H，設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為G，|QF|=x.

由拋物線的定義，得|QH|=|QF|=x.

評析：比較兩種解法，前者偏重計(jì)算，后者更重推理，應(yīng)注意對比選擇.通過本例可以看出：將復(fù)雜的圓錐曲線問題通過平面幾何知識(shí)進(jìn)行簡單、有條理的解決，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)“化繁為簡”的真諦.

從上面的幾個(gè)案例可以看出：單純地依靠代數(shù)的方法解決解析幾何問題，不光導(dǎo)致十分復(fù)雜的運(yùn)算，也有可能導(dǎo)致思路無法展開.所以在解決解析幾何問題時(shí)，我們要關(guān)注試題的幾何特征，緊密聯(lián)系平面幾何知識(shí)，這樣我們往往能夠走出“山窮水復(fù)疑無路”的困境，打開“柳暗花明又一村”的新局面.