任金寶 邢宗義

（1.中國(guó)科學(xué)院電子學(xué)研究所蘇州研究院，215123，蘇州；2.南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，210094，南京∥第一作者，碩士研究生）

0 引言

地鐵車(chē)輛客室自動(dòng)門(mén)系統(tǒng)因其數(shù)量多、操作頻繁，安全可靠性要求高而成為地鐵車(chē)輛中的關(guān)鍵部件［1］。車(chē)輛客室車(chē)門(mén)故障率較高，其可靠性和安全性不僅影響了城市軌道交通運(yùn)營(yíng)質(zhì)量和安全效益，更重要的是影響到市民正常的生活和城市的有序運(yùn)轉(zhuǎn)［2］。

由于地鐵車(chē)門(mén)在地鐵車(chē)輛安全運(yùn)營(yíng)中有著至關(guān)重要的作用，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)地鐵車(chē)門(mén)做了大量的可靠性研究。文獻(xiàn)［3］提出應(yīng)用GO 法原理對(duì)地鐵車(chē)輛客室車(chē)門(mén)的可靠性特征進(jìn)行分析，得到導(dǎo)致車(chē)門(mén)故障的所有可能因素和薄弱環(huán)節(jié)。文獻(xiàn)［4］利用FTA 方法對(duì)地鐵車(chē)輛客室自動(dòng)門(mén)系統(tǒng)在運(yùn)行中錯(cuò)誤打開(kāi)的故障進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，建立了客室自動(dòng)門(mén)系統(tǒng)的故障樹(shù)。文獻(xiàn)［5］對(duì)車(chē)門(mén)門(mén)控器進(jìn)行控制指令測(cè)試和分析，得出了門(mén)控器可靠性指標(biāo)。以上研究為保障地鐵車(chē)輛安全運(yùn)營(yíng)做出了貢獻(xiàn)，但所有研究方法中都缺少車(chē)門(mén)可靠性壽命分析，無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)測(cè)車(chē)門(mén)下一時(shí)刻的狀態(tài)。

本文采用 Minitab 統(tǒng)計(jì)分析軟件中的Anderson－Darling統(tǒng)計(jì)量最小原則來(lái)確定壽命分布對(duì)數(shù)據(jù)擬合的優(yōu)劣。首先，篩選車(chē)門(mén)檢修數(shù)據(jù)，得到車(chē)門(mén)系統(tǒng)的故障時(shí)間，組成樣本總體；其次，應(yīng)用備選失效模型對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分布擬合，依據(jù)Anderson－Darling統(tǒng)計(jì)量最小原則確定最優(yōu)分布；然后，采用極大似然估計(jì)法計(jì)算最優(yōu)分布參數(shù)；最后，通過(guò)χ2檢驗(yàn)法驗(yàn)證擬合分布的正確性。

1 可靠性分析方法

在可靠性分析研究中，分布模型的種類(lèi)很多，可靠性工程中用到的分布模型包括 Weibull分布、正態(tài)分布等。對(duì)于一組未知分布模型的失效數(shù)據(jù)，通常采用概率紙圖法和類(lèi)WPP圖形估計(jì)法研究其分布規(guī)律。這需要將失效概率或可靠度與失效時(shí)間的關(guān)系在圖紙上繪制出來(lái)，得到一條曲線，通過(guò)進(jìn)一步研究曲線的形態(tài)，如漸近線、特征點(diǎn)和凸凹性等，確定該失效數(shù)據(jù)符合何種可靠性分布模型。當(dāng)不能確定一組失效數(shù)據(jù)符合哪種分布模型時(shí)，可以假設(shè)該組失效數(shù)據(jù)符合所有備選模型，然后對(duì)每一種分布模型進(jìn)行擬合，選取擬合優(yōu)度最好的分布模型，并進(jìn)行參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)，驗(yàn)證選取模型的正確性。其過(guò)程如圖1。［6］

圖1 最優(yōu)擬合模型選取流程圖

1.1 數(shù)據(jù)篩選

地鐵車(chē)門(mén)系統(tǒng)的檢修記錄數(shù)據(jù)包括正線車(chē)門(mén)故障記錄和班組檢修記錄。正線車(chē)門(mén)故障對(duì)列車(chē)安全運(yùn)營(yíng)和乘客人生安全有巨大的威脅。從某地鐵公司獲得的檢修數(shù)據(jù)為某條線所有列車(chē)的車(chē)門(mén)故障數(shù)據(jù)，為了使分析有效，本文選取A2型列車(chē)正線故障中非外部因素導(dǎo)致的車(chē)門(mén)故障為正線車(chē)門(mén)故障。

1.2 備選分布模型

壽命分布模型中最常用的有Weibull分布模型、指數(shù)分布模型、極值分布模型和正態(tài)分布模型。

Weibull分布的失效密度函數(shù)為：

式中：

α——尺度參數(shù)；

β——形狀參數(shù)；

t——時(shí)間。

指數(shù)分布的失效密度函數(shù)為：

式中：

θ——尺度參數(shù)。

極值分布的失效密度函數(shù)為：

式中：

μ——位置參數(shù)；

σ——尺度參數(shù)，σ＞0。

正態(tài)分布的失效密度函數(shù)為：

1.3 最優(yōu)模型的參數(shù)估計(jì)與擬合度檢驗(yàn)

1.3.1 擬合優(yōu)度統(tǒng)計(jì)量

用一組失效數(shù)據(jù)對(duì)備選失效模型進(jìn)行擬合，需要對(duì)擬合程度進(jìn)行評(píng)估，以選擇最優(yōu)的擬合模型。Anderson－Darling統(tǒng)計(jì)量是統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用的比較數(shù)據(jù)擬合優(yōu)劣的統(tǒng)計(jì)量之一，具體為概率圖中點(diǎn)離擬合直線距離大小的加權(quán)平方和，其越靠近分布的尾部，權(quán)重越大。Anderson－Darling統(tǒng)計(jì)量具體表達(dá)式為：

式中：

A——統(tǒng)計(jì)量；

i——樣本的個(gè)數(shù)，i＝1，2，…，n；

F（t）——累計(jì)失效分布函數(shù)；

n——樣本總量。

A2的值越小說(shuō)明分布擬合越好［7］。

1.3.2 參數(shù)估計(jì)

確定了失效數(shù)據(jù)的可靠性模型后，對(duì)該組數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的可靠性模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。Minitab統(tǒng)計(jì)分析軟件用到的參數(shù)估計(jì)主要為極大似然估計(jì)和最小二乘估計(jì)。由于極大似然估計(jì)有不變性、相合性、漸近正態(tài)性等優(yōu)良性質(zhì)，所以較選用極大似然估計(jì)。

設(shè)樣本x1，x2，…，xn的聯(lián)合密度函數(shù)為f（x，θ），其中θ為未知參數(shù)，x為樣本xi（i＝1，2，…，n）的集合。對(duì)于給定的x，稱(chēng)L（θ，x）為θ的似然函數(shù)。L（θ，x）＝f（x，θ），若存在θ估計(jì)值，使L則稱(chēng)為θ的極大似然估計(jì)。

現(xiàn)求解似然方程，即令

式中，g為未知參數(shù)θ的個(gè)數(shù)［8］。

1.3.3 假設(shè)檢驗(yàn)

假設(shè)檢驗(yàn)用以判斷原假設(shè)的真實(shí)性。常用的檢驗(yàn)方法有χ2檢驗(yàn)法、K－S檢驗(yàn)法和P值檢驗(yàn)。χ2檢驗(yàn)法是統(tǒng)計(jì)學(xué)中通用的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，本文采用χ2檢驗(yàn)法。

設(shè)樣本總體X（x為X的樣本）的分布函數(shù)為F（X），根據(jù)來(lái)自總體的樣本檢驗(yàn)原假設(shè)，設(shè)原假設(shè)為Ho，則

式中，F(xiàn)0（X）為具體樣本的分布函數(shù)。

為尋找首先把樣本總體X的取值范圍分成k個(gè)區(qū)間（a0，a1），（a1，a2），…，（ak－1，ak），要求ai是分布函數(shù)F0（X）的連續(xù)點(diǎn)，a0可以取－∞，ak可以?。?，記作

其中，pi代表變量x落入第i個(gè)區(qū)間的概率，且pi＞0。

如果x的樣本量為n，則npi是變量x落入（ai－1，ai）的頻數(shù)。如n個(gè)樣本值中落入（ai－1，ai）的實(shí)際頻數(shù)為ni，則當(dāng)H0成立時(shí)，（ni－npi）2應(yīng)是較小的值，因此可以用（ni－npi）2的值來(lái)檢驗(yàn)H0是否成立。學(xué)者皮爾遜證明了，在H0成立時(shí)，當(dāng)n→∞時(shí)，χ2檢驗(yàn)法的統(tǒng)計(jì)量η為

式（9）的極限分布是自由度為k－1的χ2分布。需要檢驗(yàn)的母體分布F0（x；θ）中的θ＝（θ1，θ2，…，θm）是m維未知參數(shù)，用θ的極大似然估計(jì)，即

選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為

當(dāng)n→＋∞時(shí)，統(tǒng)計(jì)量的極限分布是自由度為k－m－1的χ2分布，在給定的顯著性水平γ條件下，若η＞η1－γ（k－1），則拒絕原假設(shè)，若η＜η1－γ（k－1），則接受原假設(shè)［9］。

2 實(shí)例分析

以某地鐵公司車(chē)門(mén)系統(tǒng)為例，篩選此公司A2型車(chē)塞拉門(mén)系統(tǒng)2年中正線故障記錄數(shù)據(jù)。以車(chē)輛架修后投入運(yùn)營(yíng)作為起始節(jié)點(diǎn)，2年后的時(shí)間作為終止節(jié)點(diǎn)，得出2年中發(fā)生故障的183個(gè)車(chē)門(mén)的無(wú)故障時(shí)間間隔如表1。表1中無(wú)故障時(shí)間間隔為起始時(shí)間節(jié)點(diǎn)到失效時(shí)間節(jié)點(diǎn)的車(chē)門(mén)無(wú)故障運(yùn)行時(shí)間，頻率為相同無(wú)故障運(yùn)行時(shí)間的失效車(chē)門(mén)個(gè)數(shù)。

表1 車(chē)門(mén)無(wú)故障時(shí)間間隔

續(xù)表1

首先運(yùn)用Minitab統(tǒng)計(jì)分析軟件對(duì)表1中所選數(shù)據(jù)進(jìn)行分布擬合，其備選分布模型有4種，分別為Weibull分布模型、指數(shù)分布模型、極值分布模型、正態(tài)分布模型，最終得到4種分布模型的擬合結(jié)果如圖2所示，Anderson－Darling統(tǒng)計(jì)量如表2。

圖2 車(chē)門(mén)壽命概率圖

表2 車(chē)門(mén)失效分布擬合統(tǒng)計(jì)量

圖2中，分布概率圖是比較源數(shù)據(jù)與擬合曲線之間的接近程度。源數(shù)據(jù)為圖2中的粗曲線。

由表2可知Weibull分布的Anderson－Darling統(tǒng)計(jì)量值最小為2.306；從圖2中也可看出，Weibull分布的源數(shù)據(jù)很好地落入擬合曲線95%的置信區(qū)間。Weibull分布數(shù)據(jù)擬合優(yōu)于其他3個(gè)分布模型。Weibull分布的累積失效分布函數(shù)為：

其中，β＞0，α＞0。

為了獲取Weibull分布的參數(shù)，對(duì)所選模型進(jìn)行極大似然估計(jì)，得到 Weibull分布的參數(shù)估計(jì)值β＝2.037 74，α＝396.951。

最后要對(duì)模型進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，確定表1 中A2型車(chē)輛車(chē)門(mén)系統(tǒng)的失效數(shù)據(jù)是否符合β＝2.037 74，α＝396.951的 Weibull分布。將表1中的97個(gè)樣本分成10個(gè)區(qū)間，利用式（9）計(jì)算得樣本的統(tǒng)計(jì)量η＝8.571，取顯著性水平γ＝0.01，查有關(guān)表格可得η0.99（7）＝18.48，可見(jiàn)＜η0.99（7），所以接受原假設(shè)，車(chē)門(mén)系統(tǒng)的失效數(shù)據(jù)符合β＝2.037 74、α＝396.951 的 Weibull分布。Weibull分布的累積失效分布函數(shù)為：

可靠度函數(shù)為：

車(chē)門(mén)系統(tǒng)可靠度函數(shù)圖如圖3所示。

圖3 車(chē)門(mén)系統(tǒng)可靠度函數(shù)圖

確定了A2型車(chē)車(chē)門(mén)系統(tǒng)的失效分布模型，計(jì)算車(chē)門(mén)系統(tǒng)給定工作時(shí)間的可靠度和在給定可靠度情況下對(duì)應(yīng)的工作時(shí)間。

當(dāng)給定車(chē)門(mén)系統(tǒng)可靠度R＝0.98和R＝0.95時(shí)，由式（11）可知車(chē)門(mén)系統(tǒng)的可靠壽命為：

假設(shè)R＝0.95作為車(chē)門(mén)可靠度的臨界值（即閾值），當(dāng)車(chē)門(mén)可靠度降到R＝0.95時(shí)，則認(rèn)為車(chē)門(mén)故障發(fā)生概率加大，即此時(shí)車(chē)門(mén)的可靠度壽命為t＝92 d。分析結(jié)果表明，閾值R＝0.95時(shí)，應(yīng)對(duì)車(chē)門(mén)進(jìn)行一次完全維修。

3 結(jié)論

本文通過(guò)分析某地鐵公司A2型車(chē)兩車(chē)門(mén)失效數(shù)據(jù)，采用Anderson－Darling統(tǒng)計(jì)量最小原則確定車(chē)門(mén)系統(tǒng)的最優(yōu)擬合分布，得出車(chē)門(mén)系統(tǒng)失效數(shù)據(jù)服從Weibull分布。在給定可靠度閾值R＝0.95時(shí)，得到車(chē)門(mén)系統(tǒng)的無(wú)故障運(yùn)行時(shí)間t0.95＝92.14 d，與地鐵維修部門(mén)的現(xiàn)場(chǎng)經(jīng)驗(yàn)一致，能為地鐵公司維修決策提供技術(shù)支持。

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