張愛華，胡衛(wèi)敏

（1.伊犁師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，新疆伊寧835000；2.菏澤市第二中學(xué)，山東菏澤274000）

一類分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程邊值問題的多重正解

張愛華1，2，胡衛(wèi)敏1

（1.伊犁師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，新疆伊寧835000；2.菏澤市第二中學(xué)，山東菏澤274000）

通過錐拉伸與錐壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理得到了一類非線性分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程邊值問題正解的存在性和多重性結(jié)果.

脈沖微分方程；邊值問題；分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)；錐拉伸與錐壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理

0 引言

非線性脈沖微分方程是描述狀態(tài)在某些時(shí)刻發(fā)生瞬間突變的過程，因其能更深刻、精確地反映事物的變化規(guī)律，日益引起人們的重視，使它在物理、經(jīng)濟(jì)、生命科學(xué)、醫(yī)學(xué)、航天技術(shù)、工程技術(shù)、人口動(dòng)態(tài)分布等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用［1－2］.隨著脈沖微分方程理論的發(fā)展，人們開始關(guān)注脈沖微分方程邊值問題的研究.關(guān)于整數(shù)階脈沖微分方程兩點(diǎn)、三點(diǎn)和多點(diǎn)邊值問題解的存在性和唯一性的研究已經(jīng)取得了一定的成果［3－5］，但是很少有文獻(xiàn)研究非線性分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程邊值問題解的存在性［6－12］.

本文運(yùn)用錐拉伸與錐壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理給出如下分?jǐn)?shù)階脈沖邊值問題：

正解的存在性和多重性.其中：2＜α≤3；CDα0＋是Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)；R＋＝［0，∞）；f∈C（［0，1］×R＋× R＋×R＋，R＋）；xk，yk，zk∈C（R＋，R＋）；J＝［0，1］，J′＝J＼｛t1，t2，…，tm｝，k＝1，2，…，m；J0＝［0，t1］，Jk＝（tk，tk＋1］，0＝t0＜t1＜…＜tm＜tm＋1＝1；Δu（tk）＝u（t＋k）－u（t－k），u（t＋k）與u（t－k）分別表示u（t）在tk處的右極限與左極限，且u（t－k）＝u（tk），Δu′（tk）和Δu″（tk）對(duì)u′（t）和u″（t）也有類似定義.此外

K∈C（D，R＋），D＝｛（t，s）∈J×J｜t≥s｝，H∈C（J×J，R＋）.

定義PC（J，R）＝｛u：J→R｜u∈C（Jk），k＝0，1，2，…，m；u（t＋k）存在，k＝1，2，…，m｝，則PC（J，R）是以為范數(shù)的Banach空間.

若u∈PC2（J，R）∩AC3（J′，R）滿足（1），并且u（t）＞0，t∈J，則稱u為問題（1）的正解.

1 預(yù)備知識(shí)

首先，我們給出一些分?jǐn)?shù)階微積分理論的定義和定理，參見文獻(xiàn)［12-16］.定義1.1［13］函數(shù)f：［0，∞）→R的α＞0階Riemann-Liouville積分是指

其中右邊是在［0，∞）上逐點(diǎn)定義的.

定義1.2［14］函數(shù)f：［0，∞）→R的α＞0階Riemann-Liouville微分是指

其中n＝［α］＋1，右邊是在［0，∞）上逐點(diǎn)定義的.特別地，當(dāng)α＝n時(shí)，Dn0＋f（t）＝f（n）（t）.

定義1.3［15］函數(shù)f：［0，∞）→R的α＞0階Caputo微分是指

其中右邊是在［0，∞）上逐點(diǎn)定義的.特別地，當(dāng)α＝n時(shí)，CDn0＋f（t）＝f（n）（t）.

引理1.1［15］設(shè)n－1＜α≤n，f（t）∈Cn（［0，∞），R），則：

引理1.2［12］令0＜α＜1，h∈C（［0，T］，R），函數(shù)x∈C（［0，T］，R）是分?jǐn)?shù)階邊值問題

的解當(dāng)且僅當(dāng)x是如下積分方程的解：

引理1.3［16］令X是一個(gè)Banach空間，P?X是X中的一個(gè)錐.假設(shè)Ω1，Ω2?P為非空相對(duì)開集，且0∈Ω1?ˉΩ1?Ω2，設(shè)T：P→P為全連續(xù)算子，滿足下列條件之一：

（ⅰ）‖Tx‖≤‖x‖，x∈P∩?Ω1，且‖Tx‖≥‖x‖，x∈P∩?Ω2；

（ⅱ）‖Tx‖≥‖x‖，x∈P∩?Ω1，且‖Tx‖≤‖x‖，x∈P∩?Ω2.

則T在P∩（ˉΩ2＼Ω1）中有不動(dòng)點(diǎn).

引理1.4 令2＜α≤3，假設(shè)h：［0，1］→R＋是一個(gè)連續(xù)函數(shù)，則邊值問題

等價(jià)于積分方程

證明 令u（t）是問題（4）的解，利用引理1.1的（1），當(dāng)t∈［0，t1］時(shí)，有

當(dāng)t∈（t1，t2］時(shí)，由引理1.2及注1.1可得

同理，當(dāng)t∈（tj，tj＋1］時(shí)，有

對(duì)（6）式從0到t進(jìn)行2次積分，得

則

代入邊界條件u（1）＝β1u（0），u′（1）＝β2u′（0），u″（1）＝β3u″（0），有

代入（7）式，得（5）式成立.

相反，若u（t）是方程（5）的解，由引理1.1的（2）和Caputo導(dǎo)數(shù)的定義可得u（t）是（4）式的解，證畢.

記σ（t）∶＝f（t，u（t），（Tu）（t），（Su）（t）），由引理1.4可知邊值問題（1）有解，等價(jià)于如下定義的積分算子F：PC（J，R）→PC（J，R）有不動(dòng)點(diǎn).

2 主要結(jié)論

為證明正解的存在性，現(xiàn)作如下假設(shè)：

（H1）存在常數(shù)k＊，h＊＞0，使得

（H2）當(dāng)u→∞時(shí)對(duì)t∈J一致成立.

（H3）當(dāng)u→0＋時(shí)對(duì)t∈J一致成立.

（H4）當(dāng)u→0＋時(shí)0，k＝1，2，…，m.

（H5）對(duì)任意t∈J，存在非負(fù)連續(xù)函數(shù)a（t），ɡ（u，v，w），使得

引理2.1 若條件（H1）成立，則F：Q→Q是全連續(xù)的.

證明 首先，由函數(shù)f，xk，yk，zk的連續(xù)性以及Lebesgue控制收斂定理，易知算子F也是連續(xù)的.往證F：Q→Q.事實(shí)上，對(duì)任意u∈Q，存在r1≥‖u‖，

記

則

則

故Fu∈Q.從而F：Q→Q.

再證F映有界集為有界集.只需證明對(duì)任意u∈Q，存在常數(shù)l＞0，使得‖F(xiàn)u‖≤l，由以上證明過程可知，取l＝（η1＋1）（aM1＋bN1）即可.

最后證F映有界集為Q中等度連續(xù)集.對(duì)任意tk＜t＜t′≤tk＋1；k＝0，1，2，…，m；u∈Q.有

由于當(dāng)t′→t時(shí)，上述不等式右端趨于0，故F在每個(gè)區(qū)間Jk上等度連續(xù).由廣義的Arzela-Ascoli定理可知F是全連續(xù)算子.

定理2.1 若條件（H1），（H2），（H3）成立，并且存在r＞0，使得（η1＋1）（aMr＋bNr）＜r，其中

則邊值問題（1）至少有兩個(gè)正解u1和u2，滿足

證明 由引理2.1知，（8）式所定義的算子F：Q→Q是全連續(xù)的.下面需要證明F在Q中有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)u1和u2，滿足0＜‖u1‖＜r＜‖u2‖.由條件（H2）知，存在r1＞0，使得

取r2＞max｛β1r1，r｝，對(duì)任意u∈Q，‖u‖＝r2，有

由（10），（11）式及算子F的定義知

故

同理，由條件（H3）知，存在r3＞0，使得

取0＜r4＜min｛r3，r｝，對(duì)任意u∈Q，‖u‖＝r4，有

則

故

另一方面，對(duì)任意u∈Q，‖u‖＝r，類似于（9）式有

因?yàn)?＜r4＜r＜r2，由（12），（15），（16）式及引理1.3得，F(xiàn)在Q中有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)u1和u2，滿足

定理2.2 若條件（H1），（H2），（H4），（H5）成立，并且當(dāng)u＋v＋w→0＋時(shí)，則邊值問題（1）至少有一個(gè)正解u，滿足

證明 如定理2.1的證明，取r2＞β1r1＞0，使得

取ε0＝［2（η1＋1）（a（1＋k＊＋h＊）a＊＋b）］－1，由條件知，存在r5＞0，使得

故

由條件（H5）可得

則

故

因0＜r6＜r2，由引理1.3得，算子F在Q中有不動(dòng)點(diǎn)u，滿足r6＜‖u‖＜r2.

［1］ SAMKO S G，KILBAS A A，MARIˇCEV O I.Fractional integrals and derivatives［M］.Yverdon：Gordon and Breach Science Publ，1993：366-398.

［2］ PODLUBNY I.Fractional differential equations，mathematics in science and engineering［M］.New York，London，Toronto：Academic Press，1999：243-313.

［3］ DING WEI，WANG YU.New result for a class of impulsive differential equation with integral boundary conditions［J］.Commun Nonlinear Sci Numer Simulat，2013，18（5）：1095-1105.

［4］ GUO DAJUN.Multiple positive solutions for first order impulsive singular integro-differential equations on the half line［J］.Acta Mathematica Scientia，2012，32B（6）：2176-2190.

［5］ WANG XIAOHUAN，ZHANG JIHUI.Impulsive anti-periodic boundary value problem of first-order integro-differential equations［J］.Journal of Computational and Applied Mathematics，2010，234（12）：3261-3267.

［6］ LI XIAOPING，CHEN FULAI，LI XUEZHU.Generalized anti-periodic boundary value problems of impulsive fractional differential equations［J］.Commun Nonlinear Sci Numer Simulat，2013，18（1）：28-41.

［7］ LIU ZHENHAI，LI XIUWEN.Existence and uniqueness of solutions for the nonlinear impulsive fractional differential equations［J］.Commun Nonlinear Sci Numer Simulat，2013，18（6）：1362-1373.

［8］ GUO TIANLIANG，JIANG WEI.Impulsive problems for fractional differential equations with boundary value conditions［J］.Computers and Mathematics with Applications，2012，64（10）：3281-3291.

［9］ AHMAD BASHIR，SIVASUNDARAM S.Existence of solutions for impulsive integral boundary value problems of fractional order［J］.Nonlinear Analysis：Hybrid Systems，2010，4：134-141.

［10］ WANG GUOTAO，AHMAD BASHIR，ZHANG LIHONG.Impulsive anti-periodic boundary value problem for nonlinear differential equations of fractional order［J］.Nonlinear Analysis，2011，74（3）：792-804.

［11］ CAO JIANXIN，CHEN HAIBO.Impulsive fractional differential equations with nonlinear boundary conditions［J］.Mathematical and Computer Modelling，2012，55（3）：303-311.

［12］ CHEN FULAI.Coincidence degree and fractional boundary value problems with impulses［J］.Computers and Mathematics with Applications，2012，64（10）：3444-3455.

［13］ 許曉婕，胡衛(wèi)敏.一個(gè)新的分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題正解的存在性結(jié)果［J］.系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2012，32（5）：580-590.

［14］ 鐘文勇.分?jǐn)?shù)階微分方程多點(diǎn)邊值問題的正解［J］.吉首大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，31（1）：9-12.

［15］ KILBAS A A，SRIVASTAVA H M，TRUJILLO J J.Theory and applications of fractional differential equations［M］.Amsterda：Elsevier Science B V，2006：59-90.

［16］ BAI ZHANBING，LüHAISHEN.Positive solutions for boundary value problem of nonlinear fractional differential equation［J］.J Math Anal Appl，2005，311（2）：495-505.

Multiple positive solutions for a class of boundary value problem of impulsive fractional differential equations

ZHANG Ai-hua1，2，HU Wei-min1
（1.School of Mathematics and Statistics，Yili Normal University，Yining 835000，China；2.The Second High Middle School of Heze City，Heze 274000，China）

In this paper，we investigate the multiple positive solutions for a boundary value problem of nonlinear impulsive fractional differential equations.The arguments are based upon the fixed point theorem of cone expansion and compression with norm type.

impulsive differential equation；boundary value problem；fractional derivative；fixed point theorem of cone expansion and compression with norm type

O 175.8 ［學(xué)科代碼］ 110·54

A

（責(zé)任編輯：陶 理）

1000-1832（2015）03-0012-07

10.16163／j.cnki.22-1123／n.2015.03.004

2014-01-10

新疆維吾爾自治區(qū)自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（201318101-14）.

張愛華（1984—），女，碩士，主要從事微分方程理論及其應(yīng)用研究；通訊作者：胡衛(wèi)敏（1968—），男，教授，主要從事微分方程理論及其應(yīng)用研究.