包振華，劉 丹

（遼寧師范大學數(shù)學學院，遼寧 大連 116029）

一類具有交叉延遲索賠風險模型的分紅問題

包振華，劉 丹

（遼寧師范大學數(shù)學學院，遼寧 大連 116029）

考慮一類具有紅利邊界和交叉延遲索賠的離散時間風險模型，在模型中假設(shè)有兩類相互作用的索賠過程：每一類索賠過程中的主索賠均有可能引起另一類索賠過程中的副索賠，而且副索賠可能會以一定的概率延遲到下一時刻發(fā)生.通過引入三個輔助風險過程，得了破產(chǎn)前預(yù)期紅利現(xiàn)值的差分方程及方程的解.最后給出了索賠額服從幾何分布時的數(shù)值算例.

交叉風險模型；主索賠；副索賠；紅利邊界

0 引言

破產(chǎn)理論領(lǐng)域中關(guān)于離散時間風險模型的研究近年來受到諸多研究者的關(guān)注，參見Li等對離散時間風險模型早期研究的一個較完整的綜述[1].而且，在模型中引入某種相依結(jié)構(gòu)目前成為破產(chǎn)理論中的一個研究熱點.在離散時間風險模型的框架之下，Yuen和Guo考慮了具有延遲索賠的復(fù)合二項模型，獲得了有限時間破產(chǎn)概率的遞歸計算公式并且在特殊情形下得到了最終破產(chǎn)概率的顯性表達式[2]，Xiao和Guo則獲得了破產(chǎn)前盈余和破產(chǎn)后赤字聯(lián)合分布的遞歸計算公式[3]；Wu和Li在此相依模型基礎(chǔ)上考慮了常數(shù)紅利，得到了破產(chǎn)前全部紅利期望現(xiàn)值的計算公式[4]；在Wu和Li的基礎(chǔ)上，Xie和Zou研究了隨機利率下的紅利現(xiàn)值問題[5]；高和劉考慮了索賠間隔時間服從離散的位相型分布時具有延遲索賠的離散時間更新模型，得到了破產(chǎn)前紅利折現(xiàn)期望所滿足的差分方程及其解，并在索賠額服從特殊分布時給出了數(shù)值計算結(jié)果[6].另一方面，在保險實踐中，保險公司會同時投放多個險種以擴大經(jīng)營范圍[4]，Wu和Yuen進而提出了具有交叉延遲索賠的離散時間風險過程，得到了有限時間破產(chǎn)概率的遞歸表達[7].受上述文獻的啟發(fā)，本文考慮具有紅利邊界和交叉延遲索賠的離散風險模型.本文余下的結(jié)構(gòu)安排如下：在第1節(jié)中給出模型的基本結(jié)構(gòu)；第2節(jié)研究破產(chǎn)前預(yù)期紅利現(xiàn)值的差分方程及方程的解；第3節(jié)給出一個具體的數(shù)值算例.

1 模型結(jié)構(gòu)

考慮帶有兩類索賠過程的復(fù)合二項風險模型.在每一時期內(nèi)第i類索賠中主索賠以概率pi（i=1，2）發(fā)生，因此不發(fā)生主索賠的概率為qi=1-pi.假設(shè)每一類主索賠都可能導(dǎo)致另一類副索賠的發(fā)生，設(shè)第一類（第二類）主索賠引起第二類（第一類）副索賠發(fā)生的概率是p12（p21）；相應(yīng)地，第一類（第二類）主索賠未引起第二類（第一類）副索賠發(fā)生的概率是q12（q21）.而每一類副索賠可能以概率θ與它相關(guān)的主索賠同時發(fā)生，也可能以概率1-θ延遲到下一時刻發(fā)生.也就是說，第一類（第二類）主索賠與引起的第二類（第一類）副索賠同時發(fā)生的概率p12θ（p21θ），延遲到下一時刻發(fā)生的概率為p12（1-θ）（p21（1-θ））.其中，0≤p1，p2，p12，p21，θ≤1.令Uk（k∈N+）為第k時期末總的索賠額，即

假設(shè)保險公司在每一期的期初收取單位保費，而所有的索賠支付都發(fā)生在期末.現(xiàn)在引入一個分紅策略：只要第k期末的盈余大于某個紅利邊界b（b＞0），就把大于b的盈余作為紅利發(fā)放.綜上所述，保險公司第k期末的資本盈余過程定義為

其中S0=u∈N表示保險公司的初始盈余，UDk，k＝1，2，…為k期內(nèi)支付紅利的總和，即

其中Dk為第k個時期內(nèi)支付紅利的數(shù)額，其表達式為

進一步，我們假設(shè)

以保證保險公司具有正的安全負載條件.

2 預(yù)期紅利現(xiàn)值的差分方程及解

為了研究破產(chǎn)前的預(yù)期紅利現(xiàn)值，我們需要引入如下三個輔助的風險過程

并假設(shè)Si0=u，i=1，2，3.其中，隨機變量X（Y）是上一時刻延遲下來的第一類（第二類）副索賠，且X和Y是相互獨立的，其分布函數(shù)分別為FX和GY，概率函數(shù)分別為{fi；i＝1，2，…}以及 {gj；j＝1，2，…}.將（2）-（4）式中的三個輔助風險過程的破產(chǎn)概率分別定義為Ψi（u；b），i＝1，2，3，易知Ψi（0；b）=Ψi（1；b）=1. 三個輔助模型的預(yù)期紅利現(xiàn)值為Vi（u；b），i＝1，2，3.考慮第一時期末索賠發(fā)生的情況，我們有

并且滿足邊界條件V（0；b）＝0，V（b；b）＝1-V（b-1；b）.類似的處理輔助模型.首先，當u＝1時，我們有

這里的邊界條件為Vi（0；b）＝0，Vi（b；b）＝1+Vi（b-1；b），i＝1，2，3.

當u=2，3，…，b-1時，從（5）以及（7）-（9）式，我們能夠得到

將（10）-（12）代入（5）式得到

為了得到（13）和（14）的顯性表達，現(xiàn)在定義一個新的函數(shù)W（u），并且滿足如下的差分方程

根據(jù)微分方程理論，（16）的解由W（1）唯一確定，不妨令W（1）=1.因此（15）和（16）在（6）的邊界條件下能表示成如下的形式

其中C（b）=1/[W（b）-W（b-1）]

定理1.當u=2，3，…，b，關(guān)于模型（1）的紅利的預(yù)期現(xiàn)值V（u；b），我們有

證明：在（16）式左右兩側(cè)同時乘以zu，然后對u從2到∞進行求和，整理得到

上式等價于

由（18）式容易得到

從而

將（20）按冪級數(shù)展開整理如下

當u=1，2，3，…，b-1時，對上式做逆變換，有

因而從（17）式即得（19）.

3 幾何索賠下的預(yù)期紅利現(xiàn)值

本節(jié)研究兩類索賠額服從幾何分布時紅利預(yù)期現(xiàn)值的解析表達式.具體地，假設(shè)fx=β（1-β）x-1，gx=γ（1-γ）x-1，其中0＜β，γ＜1，x=1，2，….以下假設(shè)β＞γ，經(jīng)簡單計算得

由（19）式，有

易知（21）的分母是關(guān)于z的一個5次多項式，首項系數(shù)為β2γ2.不妨設(shè)R1，R2，R3， R4，R5是其5個不同的根，因此（21）式的分母可以分解為另一方面，由韋達定理，我們還可以得到于是根據(jù)部分分式分解定理，可以重新表示為

由于，C（b）=[W（b）-W（b-1）]-1，所以最后我們有

現(xiàn)在令p1=0.15，p2=0.35，p12=0.1，p21=0.2，b=10，β=0.9，γ=0.8，ν=0.95，從上面的（21）式得到分母根為R1=1.240 70，R2=-1.220 00，R3=1.120 20，R4=0.014 70，R5=0.588 47通過進一步計算得r1=0.002 04，r2=-0.020 76，r3=0.000 72，r4=-0.127 88，r5=0.663 81，當θ=0，0.25，0.5，0.75，1且u=1，2，…，10時V（u；b）的數(shù)值結(jié)果如表一.從表中的數(shù)據(jù)我們可以看出幾何索賠下的紅利預(yù)期現(xiàn)值V（u；b）關(guān)于u是一個遞增的函數(shù)，關(guān)于θ是一個遞減的函數(shù).

表1 幾何索賠下V（u；10）的數(shù)值結(jié)果

[1]Li S，Lu Y，Garrido J.A review of discrete-time risk models[J].Rev R Acad Cien Serie A Mat，2009，103（2）：321-337.

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[5]Xie J X，Zou W.Expected present value of total dividends in a delayed claims risk model under stochastic interest rates[J].Insurance：Mathematics and Economics，2011，46（2）：415-422.

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Dividend Problems in the Intersection Risk Model with Delayed Claims

BAO Zhenhua，LIU Dan
（School of Mathematics,Liaoning Normal University,Dalian 116029,Liaoning,China）

A discrete time interaction risk model with dividend barrier and delayed claims is considered，in which two dependent classes of business are introduced.Each main claim in one class in the claims process may cause a by-claim in the other class and by-claim may be delayed to the next time with a certain probability.By introducing three auxiliary risk processes，difference equation and its solution satisfied by the expected present value of dividend payments are obtained.A numerical example is given for geometrical claims.

intersection risk model；main claim；by-claim；dividend barrier

O 211.67

A

1001-4217（2015）03-0056-09

2014-11-13

包振華（1976-），男，博士，教授，研究方向：保險精算.E-mail：zhhbao@126.com

遼寧省高等學校優(yōu)秀人才支持計劃（LR2014031）