王璨，楊明，徐殿國

（哈爾濱工業(yè)大學電氣與自動化工程學院，黑龍江哈爾濱150001）

實際伺服驅動系統(tǒng)中的機械傳動部分由于彈性的存在必然會帶來機械諧振，機械諧振會導致系統(tǒng)轉矩、轉速、機械裝置等共同振蕩。因此，機械振蕩的研究以及抑制方法已經成為提高伺服驅動系統(tǒng)性能的一個重要課題［1］。

當今伺服驅動系統(tǒng)中，主要有兩大類抑制機械諧振的措施，即被動方式和主動方式。被動方式就是在速度環(huán)輸出與電流環(huán)給定之間插入陷波濾波器，而控制系統(tǒng)其它設計不變［2-4］。主動方式就是主動改變控制器參數或控制器結構用以消除諧振影響。主動方式可分為單純PI控制（雙自由度PI控制、RRC）［5-8］、基于PI的狀態(tài)反饋控制［9-10］、其它高級算法應用［11-12］等多種方案。文獻［6］采用單純PI控制的主動諧振抑制方式，推導出單純使用IP控制器的整定公式，并得到系統(tǒng)動態(tài)特性受負載/電機慣量比制約這一重要結論。本文在文獻［6］的基礎上，主要針對基于傳統(tǒng)PI控制的雙慣量彈性系統(tǒng)，首先建立其數學模型并推導傳遞函數；然后通過Simulink 仿真，對比剛性與彈性系統(tǒng)在未經優(yōu)化PI參數下的階躍響應；最終，利用3種極點配置法來優(yōu)化控制器參數，從而達到諧振抑制的作用。

1 雙慣量彈性系統(tǒng)建模

圖1所示為雙慣量彈性系統(tǒng)模型結構圖。

圖1中，電機和執(zhí)行機構通過傳動軸系連接，傳動軸系具有一定的抗扭剛度Ks且其阻尼系數為D。當傳動軸系發(fā)生扭轉形變時軸系將產生轉矩Ts，轉矩的大小受到軸系電機端與執(zhí)行機構端旋轉角的差值和軸系的機械阻尼影響。伺服驅動器控制電機運行，為電機的轉軸提供電磁轉矩Te。電機端電磁轉矩Te和傳動軸系轉矩Ts作用于轉動慣量J1、阻尼系數C1的電機轉軸，對其速度產生影響。在執(zhí)行機構端，執(zhí)行機構具有大小為J2的等效轉動慣量以及阻尼系數C2，傳動軸系轉矩Ts與負載轉矩TL共同作用于執(zhí)行機構，最終決定了執(zhí)行機構的轉速。

根據以上理論分析，建立如下微分方程組：

為了進一步分析機械模型，建立機械模型的框圖和傳遞函數，需要對以上微分方程組進行拉普拉斯變換，同時忽略對系統(tǒng)影響較小的阻尼系數。由此可得化簡后基于PI 控制的雙慣量彈性系統(tǒng)框圖如圖2所示。

圖2 帶PI控制器的雙慣量彈性系統(tǒng)框圖Fig.2 Two-inertia elastic system block diagram with PI controller

由圖2可求得以下3個傳遞函數：

式中：ωa為抗諧振頻率；ω0為固有諧振頻率；R為負載/電機的慣量比。

它們的定義如下：

式（2）為機械系統(tǒng)驅動電機輸出轉速到給定轉速的傳遞函數；式（3）為負載側轉速到給定轉速的傳遞函數，即為系統(tǒng)整體的傳遞函數；式（4）為負載側輸出轉速到擾動轉矩的傳遞函數。

2 無諧振抑制的仿真對比

仿真完成于圖2 所示的伺服驅動系統(tǒng)模型中。驅動電機額定功率為750 W，額定轉矩為2.39 N·m，額定轉速為3 000 r/min；傳動軸扭轉彈性系數Ks為6.6 N·m/rad；負載轉動慣量J2為7.5×10-5kg·m2；驅動電機給定轉速為20 rad/s；系統(tǒng)突加負載為2.4 N·m，于0.1 s后加入。式（7）表明，當慣量比給定，驅動電機轉動慣量由負載轉動慣量決定。首先，實驗做于純剛性雙慣量系統(tǒng)中，此時的系統(tǒng)框圖有所改變，如圖3所示。

圖3 純剛性雙慣量系統(tǒng)框圖Fig.3 Block diagram of two-inertia system without elasticity

未考慮彈性負載時，根據工程法設計得到PI調節(jié)器參數KP為0.1，Ki為80，加入到如圖3 所示的純剛性系統(tǒng)中，在慣量比R=1，2時分別進行仿真實驗，負載側角速度階躍響應如圖4a 所示。

方便起見，仍取KP為0.1，Ki為80。與上面仿真不同的是，此時將參數加入到實際考慮彈性的系統(tǒng)模型中，框圖見圖2。該仿真實驗分別在慣量比R=1，2時完成，負載側角速度階躍響應如圖4b所示。

圖4 階躍響應Fig.4 Step response

可見，未考慮彈性負載而根據工程法設計得到的PI調節(jié)器參數對于純剛性系統(tǒng)適用，但一經考慮實際系統(tǒng)的彈性，就會帶來很大的振蕩。下面，將利用極點配置法來優(yōu)化PI 參數，適當減弱系統(tǒng)機械諧振。

3 3種極點配置法的比較

3.1 基本方程的建立

利用極點配置技術來計算控制器參數KP和Ki，首先應建立基本方程。將式（3）整理如下：

式中：ω1，ω2為自然角頻率；ζ1，ζ2為阻尼系數。整理后得到如下4個方程：

可見，式中僅存在2個可調節(jié)參數（Kp，Ki），因此系統(tǒng)傳遞函數中的4個極點和1個零點不能得到自由配置。這里式（11）和式（12）為零極點位置的限制方程，特別是零點的位置取決于積分系數Ki。

3.2 相同半徑的極點配置法

令4個極點具有相同的半徑，零點位置在此基礎上自然得到，如圖5所示。ζ1與ζ2沿半徑ω1=ω2的圓形軌道移動。ζ1與ζ2決定了系統(tǒng)的超調，如圖6所示。

圖5 相同半徑的相點配置Fig.5 Pole placement with identical radius

圖6 相同半徑的系統(tǒng)超調量Fig.6 Overshoot for identical radius

當ω1=ω2時，式（11）、式（12）化簡如下：

由max（ζ1，ζ2）≤1 可知，ζ1和ζ2的乘積應不超過1，因此從式（11）可知該極點配置法僅對R≤4的情況才是有效的。調節(jié)ζ1與ζ2，使ζ1·ζ2=（0.5～1）。圖6表明，此時系統(tǒng)超調量較大。

仿真結果在圖7 中給出，這里令ζ1=2ζ2=，在R=1與R=2做出仿真。圖7表明，當2≤R≤4 時，系統(tǒng)的暫態(tài)響應表現出較好的超調量；當R＜2時，系統(tǒng)表現出欠阻尼特性。

圖7 相同半徑法的階躍響應Fig.7 Step responses for identical radius

3.3 相同阻尼系數的極點配置法

令4 個極點具有相同的阻尼系數，零點位置在此基礎上自然得到，如圖8所示。其中，ω1與ω2沿著ζ1=ζ2的虛線軌道移動。此外，隨著阻尼系數的增大，系統(tǒng)超調逐漸變小，如圖9所示。當ζ1≥0.7 時，系統(tǒng)的超調量低于50%；當ζ1≥0.85 時，系統(tǒng)的超調量低于40%。

圖8 相同阻尼系數的極點配置Fig.8 Pole placement with identical damping coefficient

圖9 相同阻尼系數的系統(tǒng)超調量Fig.9 Overshoot for identical damping coefficient

當兩對共軛極點的阻尼系數相等時，限定式（11）、式（12）可化簡為

ω1與ω2的表達式可直接由式（15）、式（16）得到：

由于ω1為非負實數，因此有

仿真結果見圖10。當R=1，2 時，設計ζ1=；當R=4，5時，設計ζ1=0.707。該圖表明當R≥2時，這種極點配置法可為系統(tǒng)提供較好的阻尼。

圖10 相同阻尼系數的階躍響應Fig.10 Step responses for identical damping coefficient

3.4 具有相同實部的極點配置法

令4 個極點具有相同的實部，零點位置在此基礎上自然得到，如圖11所示。圖11中，ζ1與ζ2沿-ω1ζ1=-ω2ζ2的虛線路徑移動。此外，從圖12 可見，系統(tǒng)的超調量與ω2和ω1的比值有關，且隨著ζ1的增加，系統(tǒng)的超調量在不斷減小。當ζ1≥0.85時，超調量在50%以內。當4 個極點具有相同的實部時，限定方程可簡化如下：

圖11 相同實部的極點配置Fig.11 Pole placement with identical real part

圖12 相同實部的系統(tǒng)超調量Fig.12 Overshoot for identical real part

解這2個方程，得到ω1與ω2的表達式：

不失一般性，這里規(guī)定ω1≤ωa≤ω2，可以得到：

因為ζ1≤1，于是這里限定R≤4。尤其在時，可得ω1=ω2=ωa，此時，4個極點變成兩對共軛根。

在R≠1的情況下，式（21）可變形成下式：

因為ω1是一個非負實數，于是，R和1的大小限制了ζ1的范圍。下面針對不同慣量比R的范圍給出ζ1的可調范圍。

2）慣量比R=1。對于R=1 情況，ω1簡化式可由式（20）得到：

因為ω1為非負實數，所以由式（21）與式（25）可得到0.5 ≤ζ1≤0.707。調節(jié)ζ1，使0.5 ≤ζ1≤0.707，此時，ω2與ζ2的表達式變?yōu)?/p>

這里選ζ1=0.6和0.65，仿真結果見圖13中c，d曲線。該圖表明當R=1時，系統(tǒng)體現出輕微的欠阻尼特性。

3）慣量比R＜1。當R＜1時，在方程（17）中令4ζ14-4ζ12+R≥0，再綜合式（19），可得ζ1的可調范圍為由此選擇仿真參數，結果見圖13 e，f 曲線所示。可見，當R＜1時，該系統(tǒng)表現出較大的超調量，且當R不斷減小時，系統(tǒng)的阻尼特性越來越差。

圖13 相同實部的階躍響應Fig.13 Step responses for identical real part

3.5 PI與IP控制器的比較

文獻［6］中雙慣量系統(tǒng)使用IP 控制器，引入兩對共軛極點；與其相比，傳統(tǒng)PI 控制器為雙慣量4 階系統(tǒng)多引入一個零點，而此零點位置不能得以自由配置。選用文獻［6］中參數，分別對基于IP 與PI 控制的雙慣量彈性系統(tǒng)進行阻尼特性仿真比較，超調量圖形如圖14所示，可見，零點的存在可使系統(tǒng)的超調量增大。在R=1時，分別做出兩種系統(tǒng)經相同半徑的極點配置法優(yōu)化后的負載側階躍響應，如圖15 所示?？梢姡泓c的引入會帶來較大振蕩，但同時響應速度會加快。由于PI調節(jié)器在電力拖動系統(tǒng)中的廣泛應用，體現出了本文研究的實效性。

圖14 IP與PI調節(jié)器為系統(tǒng)帶來的超調量的比較Fig.14 Comparison of system overshoot carried by IP and PI regulator

圖15 IP與PI控制系統(tǒng)階躍響應的比較Fig.15 Comparison of step response between PI and IP control system

4 結論

3種不同的極點配置方案表明系統(tǒng)阻尼特性與慣量比R密切相關，針對不同的R值，應選擇不同的極點配置方案對機械諧振進行有效抑制。當1≤R＜2，可選擇具有相同實部的極點配置法；當2≤R≤4，3種方法均可提供系統(tǒng)良好的阻尼特性；當R＞4，只可選擇相同阻尼系數的極點配置法。但當R＜1 時，3 種方法均使系統(tǒng)呈現欠阻尼特性。相比于IP控制，傳統(tǒng)PI控制相當于在4階系統(tǒng)基礎上引入一個零點，因此導致較大超調。PI 控制器只能提供2 個可調變量，無法實現4 階系統(tǒng)零極點的自由配置。為進一步提高系統(tǒng)的抗諧振能力，應引入狀態(tài)反饋等控制策略來改善傳統(tǒng)PI控制器零極點無法任意配置的缺陷。

［1］馬小亮.驅動彈性負載的調速傳動［J］.電氣傳動，2008，38（7）：3-7.

［2］Lennart Harnefors.Implementation of Resonant Controllers and Filters in Fixed-point Arithmetic［J］.IEEE Trans.Ind.Electron，Apr.2009，56（4）：1273-1281.

［3］Kang C I，Kim C H.An Adaptive Notch Filter for Suppressing Mechanical Resonance in High Track Density Disk Drives［J］.Microsystem Technologies，2005，11（8-10）：638-652.

［4］楊明，胡浩，徐殿國.永磁交流伺服系統(tǒng)機械諧振成因及其抑制［J］.電機與控制學報，2012，16（2）：79-84.

［5］Muszynski R，Deskur J.Damping of Torsional Vibrations in High-dynamic Industrial Drive［J］.IEEE Trans.Ind.Electron.2010，57（2）：544-552.

［6］Zhang GG，Furusho J.Speed Control of Two-inertia System by PI/PID Control［J］.IEEE Trans.Ind.Electron.，2000，47（3）：603-609.

［7］Katsura S，Ohnishi K.Force Servoing by Flexible Manipulator Based on Resonance Ratio Control［J］.IEEE Trans.Ind.Electron.，2007，54（1）：539-547.

［8］Hori Y，Sawada H，Chun Y.Slow Resonance Ratio Control for Vibration Suppression and Disturbance Rejection in Torsional System［J］.IEEE Trans.Ind.Electron.1999，46（1）：162-168.

［9］Dhaouadi R，Kubo K，Tobise M.Analysis and Compensation of Speed Drive Systems with Torsional Loads［J］.IEEE Trans.Ind.Appl.1994，30（3）：760-766.

［10］Szabat K，Orlowska-Kowalska T.Vibration Suppression in a Two-mass Drive System Using PI Speed Controller and Additional Feedbacks-comparative Study［J］.IEEE Trans.Ind.Electron.2007，54（2）：1193-1206.

［11］Hace A，Jezernik K，?abanovic A.SMC with Disturbance Observer for a Linear Belt Drive［J］.IEEE Trans.Ind.Electron.2007，54（6）：3402-3412.

［12］Peter K，Sch?ling I，Orlik B.Robust Output-feedback H∞-control with a Nonlinear Observer for a Two-mass System［J］.IEEE Trans.Ind.Appl.2003，39（3）：637-644.