任震宇，段志榮，孫亞萍，李靜（杭州師范大學(xué)錢(qián)江學(xué)院，浙江杭州310036）

增量式數(shù)字PID參數(shù)整定的頻域分析*

任震宇，段志榮，孫亞萍，李靜
（杭州師范大學(xué)錢(qián)江學(xué)院，浙江杭州310036）

增量式數(shù)字PID是自動(dòng)控制系統(tǒng)優(yōu)化過(guò)程中應(yīng)用廣泛的一種控制方法。分析了增量式PID參數(shù)調(diào)節(jié)對(duì)控制器性能以及系統(tǒng)環(huán)路性能的影響。MATLAB頻域仿真結(jié)果表明，Kp、Kd、Ki值的改變直接造成PID控制器零點(diǎn)的位置發(fā)生移動(dòng)，從而使得控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能得到改善。

增量式數(shù)字PID；參數(shù)調(diào)節(jié)；頻域分析

0 引言

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的核心是數(shù)字調(diào)節(jié)器，工程中常用的數(shù)字調(diào)節(jié)器控制方法有以下幾種：（1）直接數(shù)字控制：根據(jù)采樣理論和離散化后的數(shù)字模型設(shè)計(jì)數(shù)字控制器，該方法的前提是得到系統(tǒng)的數(shù)字模型；（2）比例-積分-微分（propotional-integral-derivative，PID）控制：調(diào)節(jié)器的輸出是其輸入的比例、積分和微分的函數(shù)，特點(diǎn)是不需要被控對(duì)象的數(shù)字模型，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、穩(wěn)定可靠，故工程應(yīng)用廣泛；（3）最優(yōu)控制：基于性能指標(biāo)J最小的控制策略（燃料最省、路徑最短、時(shí)間最短），依賴于對(duì)象的數(shù)字模型；（4）智能控制：包括神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、模糊控制等，基于仿人類(lèi)思維的模糊數(shù)據(jù)推理方法，不需要數(shù)字模型，但控制算法復(fù)雜。

1 增量式PID算法的數(shù)字實(shí)現(xiàn)

數(shù)字PID控制系統(tǒng)是時(shí)間的離散系統(tǒng)，Proportional（比例）、Integral（積分）、Differential（微分）可根據(jù)系統(tǒng)的要求，對(duì)輸入的偏差按比例、積分和微分的函數(shù)關(guān)系運(yùn)算得到控制量，輸出到執(zhí)行器完成相應(yīng)的調(diào)節(jié)任務(wù)[1]。在PID調(diào)節(jié)中，由于PID算式可以靈活地改變其結(jié)構(gòu)，因此選擇不同的P、I、D會(huì)得到不同的控制效果，特別是當(dāng)算法中某些參數(shù)選擇不當(dāng)時(shí)，會(huì)引起控制系統(tǒng)的超調(diào)或振蕩，這對(duì)某些生產(chǎn)過(guò)程是十分有害的[2]。為了避免這種有害現(xiàn)象的發(fā)生，分析和研究PID算法，確定合理的PID參數(shù)是必要的，同時(shí)對(duì)PID控制技術(shù)的廣泛應(yīng)用具有重要的意義。

PID算法的模擬表達(dá)式如式（1）所示：

對(duì)積分項(xiàng)和微分項(xiàng)進(jìn)行離散化：

將式（2）和式（3）代入模擬表達(dá)式中得到離散PID表達(dá)式：

上式的輸出與系統(tǒng)位置一一對(duì)應(yīng)，也稱為位置型PID算式。用位置型PID算式計(jì)算C（K），需要用到各采樣時(shí)刻的偏差值，計(jì)算復(fù)雜，且需要占用內(nèi)存。

對(duì)于系統(tǒng)（k-1）時(shí)刻的輸出：

將式（4）、式（5）相減后得到如下表達(dá)式：

式（6）表示第k次輸出的信號(hào)增量，稱為增量型PID控制算式。

位置型算式不僅需要對(duì)E（j）進(jìn)行累加，而且計(jì)算機(jī)的任何故障都將引起C（k）的大幅度變化，對(duì)生產(chǎn)不利。增量型較位置型的優(yōu)點(diǎn)如下：（1）由于輸出的是增量，所以誤動(dòng)作小；（2）易于實(shí)現(xiàn)手動(dòng)/自動(dòng)的無(wú)擾切換（位置型算法中，當(dāng)由手動(dòng)切換到自動(dòng)時(shí)，首先需要保證控制器的輸出等于實(shí)際的控制量；增量型算式只給出偏差，而與原來(lái)位置無(wú)關(guān)）；（3）不產(chǎn)生積分失控，容易獲得良好的調(diào)節(jié)品質(zhì)。

2 增量型PID參數(shù)調(diào)節(jié)對(duì)控制器的性能影響

對(duì)于增量型PID數(shù)字控制策略，為了便于分析其對(duì)系統(tǒng)性能的影響，將差分方程進(jìn)行Z變換得到脈沖函數(shù)，如式7所示：

根據(jù)BackEuler公式：

得到增量型PID的S域傳遞函數(shù)模型：

從校正系統(tǒng)的傳遞函數(shù)中可以簡(jiǎn)單地看出Kp、KI、KD、T均與控制器的零點(diǎn)相關(guān)。

2.1 Kp變化對(duì)幅值相位的影響分析

根據(jù)增量式PID的傳遞函數(shù)編寫(xiě)MATLAB命令如下：

kp=0.002*32*1023/3.3*2.49/10.36/3300；

ki=0.002*32*1023/3.3*2.49/10.36/3300；

kd=0.002*32*1023/3.3*2.49/10.36/3300；

fs=（150e3）；

a=tf（[kd/fs kp ki*fs]，[10]）；

a1=tf（[kd/fs kp*100 ki*fs]，[1 0]）；

a2=tf（[kd/fs kp/100 ki*fs]，[1 0]）；

bode（a，′-′，a1，′--′，a2，′.-′）；

a中Kp采用標(biāo)準(zhǔn)值，a1中Kp值增大為a中Kp值的100倍，a2中Kp值減小為a中Kp值的百分之一。MATLAB仿真畫(huà)出PID校正裝置相應(yīng)的Bode圖，如圖1所示。

圖1 Kp變化時(shí)PID控制器的Bode圖

從圖1可以明顯看出，隨著Kp增大，PID控制器兩個(gè)零點(diǎn)逐漸分離，且起始增益無(wú)明顯變化；反之，Kp減小，兩個(gè)零點(diǎn)向中間靠攏。

2.2 KI變化對(duì)幅值相位的影響分析

MATLAB仿真時(shí)，a采用KI標(biāo)準(zhǔn)值，a1中KI值增大為a中KI值的100倍，a2中KI值減小為a中KI值的百分之一，相應(yīng)的Bode圖如圖2所示。

圖2 KI變化時(shí)PID控制器的Bode圖

從圖2可以明顯看出隨著KI增大（a2→a→a1），零極點(diǎn)右移，左邊零點(diǎn)右移，最終兩個(gè)零點(diǎn)同時(shí)右移，起始增益明顯增加；反之，KI減?。╝1→a→a2），零極點(diǎn)左移，左邊零點(diǎn)左移，起始增益明顯減小。

2.3 KD變化對(duì)幅值相位的影響分析

MATLAB仿真時(shí)，a采用KD標(biāo)準(zhǔn)值，a1中KD值增大為a中KD值的100倍，a2中KD值減小為a中KD值的百分之一，相應(yīng)的Bode圖如圖3所示。

圖3 KD變化時(shí)PID控制器的Bode圖

從圖3可以明顯看出，隨著KD增大（a2→a→a1），右邊零點(diǎn)左移，最終兩個(gè)零點(diǎn)同時(shí)左移，起始增益無(wú)明顯變化；反之，KD減?。╝1→a→a2），右邊零點(diǎn)右移。

3 PID參數(shù)調(diào)節(jié)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性能的影響分析

為了進(jìn)一步分析PID參數(shù)調(diào)節(jié)對(duì)系統(tǒng)性能的影響，本文以Buck變換器在電阻性負(fù)載下的傳遞函數(shù)模型為例進(jìn)行說(shuō)明。

3.1 Buck變換器的小信號(hào)模型

Buck變換器閉環(huán)控制系統(tǒng)如圖4所示。

圖4 Buck變換器閉環(huán)控制系統(tǒng)原理圖

Buck變換器工作在連續(xù)電流模式（CCM）下，其小信號(hào)傳遞函數(shù)如式（10）所示：

式中，Vg為系統(tǒng)的輸入電壓，為電容C的等效串聯(lián)電阻RESR左半平面零點(diǎn)頻率為二階系統(tǒng)的左半平面雙極點(diǎn)頻率，為二階系統(tǒng)的品質(zhì)因數(shù)，RDCR為電感的直流電阻。傳遞函數(shù)的具體推導(dǎo)過(guò)程可參考文獻(xiàn)[3]。

3.2 Kp變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響分析

帶PID控制器的Buck變換器系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：

MATLAB仿真時(shí)，Buck變換器取如下參數(shù)：Vg=50/4 V，L=0.24μH，RDCR=0.7Ω，C=330μF，RESR=0.1 mΩ，R=10Ω；G采用Kp標(biāo)準(zhǔn)值，G1中Kp值增大為G中Kp值的10倍，G2中Kp值減小為G中Kp值的十分之一，仿真得到系統(tǒng)的Bode圖如圖5所示。

圖5 Kp變化時(shí)Buck開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的Bode圖

從圖中可以明顯看出，隨著Kp減?。℅1→G→G2），系統(tǒng)諧振峰值減小，有利于系統(tǒng)的平穩(wěn)性，但系統(tǒng)相位裕量會(huì)減小甚至出現(xiàn)負(fù)值，從而導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。

3.3 KI變化對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性能的影響分析

G采用KI標(biāo)準(zhǔn)值，G1中KI值增大為G中KI值的10倍，G2中KI值減小為G中KI值的十分之一，仿真得到系統(tǒng)的Bode圖如圖6所示。

圖6 KI變化時(shí)Buck開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的Bode圖

從圖中可以明顯看出隨著KI增大（G2→G→G1），系統(tǒng)相位裕量明顯減小，并出現(xiàn)負(fù)值，導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定，故在PID設(shè)計(jì)中KI系數(shù)雖然有利于消除靜差，但仍不能取值太大。

3.4 KD變化對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性能的影響分析

G采用KD標(biāo)準(zhǔn)值，G1中KD值增大為G中KD值的10倍，G2中KD值減小為G中KD值的十分之一，仿真得到系統(tǒng)的Bode圖如圖7所示。

圖7 KD變化時(shí)Buck開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的Bode圖

從圖中可以明顯看出，隨著KD減?。℅1→G→G2），系統(tǒng)抗噪聲能力增強(qiáng)，但相位裕量會(huì)出現(xiàn)負(fù)值，從而導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。

4 結(jié)論

通過(guò)以上對(duì)數(shù)字增量式PID控制算法的分析與研究，可得出PID參數(shù)調(diào)節(jié)對(duì)控制器本身性能的影響如下：

（1）Kp對(duì)增益影響不大，且Kp的增大導(dǎo)致兩個(gè)零點(diǎn)頻率分離。

（2）KI對(duì)低端增益有影響操控，因?yàn)镵I增大，零極點(diǎn)頻率增大。同時(shí)，KI增大，左邊的零點(diǎn)右移，當(dāng)左邊的零點(diǎn)達(dá)到右邊零點(diǎn)頻率時(shí)，兩個(gè)零點(diǎn)同時(shí)右移。

（3）KD對(duì)增益影響不大，且KD的增大導(dǎo)致右邊零點(diǎn)左移，當(dāng)右邊的零點(diǎn)達(dá)到左邊零點(diǎn)頻率時(shí)，兩個(gè)零點(diǎn)同時(shí)左移。

在對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行增量式數(shù)字PID校正過(guò)程中，系統(tǒng)的穩(wěn)定性、快速性、平穩(wěn)性以及準(zhǔn)確性是相互矛盾、不能同時(shí)兼得的，故應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況合理選擇Kp、KI、KD參數(shù)優(yōu)化系統(tǒng)性能。尤其當(dāng)Kp、KD變小或KI值增大時(shí)，系統(tǒng)相位裕量會(huì)出現(xiàn)負(fù)值，從而導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定，在實(shí)際設(shè)計(jì)中應(yīng)注意避免。

[1]胡壽松．自動(dòng)控制原理[M]．北京：科學(xué)出版社，2013．

[2]劉光亞，彭維娜．PID參數(shù)性能分析及改進(jìn)[J]．湖北工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2013，28（1）：60-63．

[3]ERICKSON R W，MAKSIMOVIC D．Fundamentals of Power Electronics[M]．USA：Kluwer Academic Publishers，2001.

Frequency domain analysis of incremental digital PID parameter tuning

Ren Zhenyu，Duan Zhirong，Sun Yaping，Li Jing
（Qianjiang College，Hangzhou Normal University，Hangzhou 310036，China）

Incremental digital propotional-integral-derivative（PID）controller is commonly used in optimization of automatic control system.The influence of incremental PID parameter tuning for controller and closed-loop system is analysed.Based on the characteristic frequency of the PID controller and the corresponding simulation results，the zeros of system will moved by the change of PID parameters，and the system will have better dynamic character.

incremental digital PID；parameter tuning；frequency domain analysis

TP273

A

1674-7720（2015）03-0092-03

2014-09-03）

任震宇（1992-），男，本科在讀，主要研究方向：電子信息工程。

浙江省科技廳重大科技專(zhuān)項(xiàng)重點(diǎn)工業(yè)項(xiàng)目（2012C01012-4）；浙江省大學(xué)生科技創(chuàng)新項(xiàng)目（2013R421049）

段志榮（1992-），女，本科在讀，主要研究方向：電子信息工程。

孫亞萍（1980-），通信作者，女，碩士研究生，講師，主要研究方向：電力電子研究，E-mail：ypsun2009@zju.edu.cn。