汪婷 湯雅連

(1．廣東技術(shù)師范學(xué)院 天河學(xué)院 ，廣州 510540;2．廣東工業(yè)大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，廣州 510006)

車輛路徑問題 (Vehicle Routing Problem，VRP)［1－2］自1959年Dantzig和Ramser首先提出以來就引起了人們的高度重視，它屬于經(jīng)典的組合優(yōu)化問題。VRP的實(shí)用性強(qiáng)，且應(yīng)用廣泛。車輛路徑問題一般定義為:對一系列送貨點(diǎn)和收貨點(diǎn)，組織適當(dāng)?shù)男熊嚶肪€，使車輛有序地通過它們，在滿足一定的約束條件 (如貨物需求量、發(fā)送量、送發(fā)貨時(shí)間、車輛容量限制、行駛里程限制、時(shí)間限制等)下，達(dá)到一定的目標(biāo) (如路程最短、費(fèi)用極小、時(shí)間盡量少、使用車輛數(shù)盡量少等)。

量子進(jìn)化算法 (Quantum Evolutionary Algorithm，QEA)是20世紀(jì)90年代后期新興的一種進(jìn)化算法。由于其良好的性能，已廣泛應(yīng)用于諸多領(lǐng)域，如物流運(yùn)輸調(diào)度、智能交通領(lǐng)域、網(wǎng)格入侵檢測、網(wǎng)格任務(wù)調(diào)度、非線性規(guī)劃等［3－4］。Mohammed A.M.等人［3］提出了基于量子遺傳的量子交叉算法 (Quantum Crossover－based Quantum Genetic Algorithm，QXQGA)對非線性規(guī)劃問題求解;蔡延光等人［4］針對量子進(jìn)化算法計(jì)算量大、收斂速度慢以及容易出現(xiàn)早熟等問題，提出混沌混合量子進(jìn)化算法，并證明其可較好地應(yīng)用在智能交通領(lǐng)域。研究車輛路徑優(yōu)化問題 (Vehicle Routing Problem，VRP)是研究IVRP的基礎(chǔ)。目前，國內(nèi)外采用QEA及其改進(jìn)算法對VRP或其擴(kuò)展問題的研究文獻(xiàn)不少，有一定的借鑒意義。Cui L.等人［5］提出了一種帶混合局部搜索的改進(jìn)量子進(jìn)化算法 (Improved Quantum Evolution Algorithm，IQEA)對帶容量約束的VRP(Capacitated Vehicle Routing Problem，CVRP)求解;Wang L.等人［6］提出了一種改進(jìn)量子進(jìn)化算法 (Quantum－Inspired Evolutionary Algorithm，IQEA)對帶時(shí)間窗的VRP(Vehicle Routing Problem with Time Windows，VRPTW)求解;葛顯龍等人［7］根據(jù)隨機(jī)需求信息把動(dòng)態(tài)配送問題轉(zhuǎn)換成一系列靜態(tài)配送問題，設(shè)計(jì)基于并行節(jié)約算法動(dòng)態(tài)插入隨機(jī)需求信息的混合量子遺傳算法，對動(dòng)態(tài)模型實(shí)時(shí)再優(yōu)化;之后，葛顯龍等人［8］又采用量子比特位設(shè)計(jì)染色體結(jié)構(gòu)，改進(jìn)遺傳算法中交叉與變異算子，避免優(yōu)秀基因被破壞，設(shè)計(jì)快速尋優(yōu)機(jī)制與最優(yōu)保留機(jī)制，增強(qiáng)求解效率對以配送總費(fèi)用最小為優(yōu)化目標(biāo)的數(shù)學(xué)模型求解;Zhang J.等人［9］提出了一種自適應(yīng)網(wǎng)格多目標(biāo)量子進(jìn)化算法 (Multi－objective Quantum Evolutionary Agorithm，MOQEA)對帶客戶滿意度的多目標(biāo)VRP(Multiobjective Vehicle Routing Problem Considering Customer Satisfaction，MVRPCS)求解;Michallet J. 等人［10］研究了非常嚴(yán)格的帶時(shí)間窗的周期性VRP，并提出了混合整數(shù)線性模型和多起點(diǎn)迭代局部搜索算法;Crispin A.等人［11］提出了一種量子模擬算法對帶容量約束的VRP求解;Zheng T.等人［12］提出了量子差分進(jìn)化算法對調(diào)度問題求解;Zhou L.等人［13］針對傳統(tǒng)的遺傳算法不能保證收斂到最優(yōu)解的最大概率，提出了對小規(guī)模求解具有快速收斂和良好搜索能力的量子遺傳算法，對VRP求解;Ning T.等人［14］結(jié)合量子粒子群優(yōu)化算法和模擬退火算法，提出了混合量子粒子群優(yōu)化算法對帶時(shí)間窗的VRP求解;彭典軍［15］在其碩士論文中，主要研究了一種量子進(jìn)化算法在車輛路徑問題中的應(yīng)用，具體求解了有能力約束車輛路徑問題、開放式車輛路徑問題、動(dòng)態(tài)網(wǎng)格車輛路徑問題、動(dòng)態(tài)需求車輛路徑問題;劉勇等人［16］為求解給定期限條件的應(yīng)急設(shè)施選址問題，將量子個(gè)體作為博弈者參與到競爭決策中，利用量子位、疊加態(tài)等理論提高競爭群體多樣性，縮小群體規(guī)模，提出了一種量子競爭決策算法;寧濤［17］在其博士論文中，提出了混合量子粒子群優(yōu)化算法對帶時(shí)間窗車輛路徑問題求解;提出模擬退火算法與量子算法對不確定需求車輛路徑問題的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型求解;結(jié)合精英量子均值和混沌擾動(dòng)理論的量子進(jìn)化算法對帶同時(shí)取送貨需求的車輛路徑問題求解;蔡蓓蓓等人［18］構(gòu)造了一種混合量子遺傳算法，即在傳統(tǒng)量子遺傳算法隨機(jī)全局搜索的基礎(chǔ)上引入一個(gè)免疫算子，通過該算子的局部搜索實(shí)現(xiàn)線路內(nèi)次序的再優(yōu)化;李川［19］在其碩士論文中，對隨機(jī)需求的車輛路徑問題進(jìn)行研究，通過設(shè)計(jì)不同混合量子進(jìn)化算法對建立的帶時(shí)間窗和基于模糊預(yù)約時(shí)間的多目標(biāo)問題模型求解;任偉［20］提出了一種混合量子免疫進(jìn)化算法對帶時(shí)間窗的車輛調(diào)度問題求解;吳斌等人［21］針對量子進(jìn)化算法中旋轉(zhuǎn)角取值的離散性使其解空間的搜索具有跳躍性，提出了基于混沌理論的精英均值計(jì)算旋轉(zhuǎn)角算法，對具有同時(shí)集送貨需求車輛路徑問題求解;趙燕偉等人［22］針對帶時(shí)間窗的隨機(jī)需求車輛路徑問題，建立了基于模糊滿意度的多目標(biāo)數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，提出了一種基于量子進(jìn)化算法和粒子群算法分段優(yōu)化的方法求解Pareto解;李熠等人［23］提出了一種新的混合量子優(yōu)化算法，即量子蟻群算法對旅行商問題求解。以上學(xué)者或研究人員都取得了不錯(cuò)的成果。本文主要考慮車輛行駛過程中的油耗率、載重約束、多車場多車型等因素的VRP問題模型，并提出改進(jìn)量子遺傳算法 (Improved Quantum Genetic Algorithm，IQGA)對該問題求解。

1 問題描述及數(shù)學(xué)模型

1.1 計(jì)算油耗成本

假設(shè)某物流公司要給i(i=1，2，…，l)個(gè)客戶送貨，假設(shè)油耗率為γij，車輛空載重量為Q0，客戶i到j(luò)路段車輛的載重為Qij，車輛載重為Qmax，最大載重時(shí)的油耗率為γmax，空載時(shí)的油耗率為γ0，(i，j)間的油耗成本為cij，單位油耗成本為c0，車輛從客戶i到j(luò)之間的距離為dij，車輛總油耗成本為Cf。參照文獻(xiàn)［24］，假定運(yùn)載量時(shí)變線性函數(shù)如式 (1)，其中a和b為一元線性表達(dá)式的系數(shù)，空載時(shí)的油耗時(shí)變函數(shù)如 (2)，滿載時(shí)的油耗時(shí)變函數(shù)如式 (3)，由式 (2)和式 (3)可推導(dǎo)出 (4)，即a的表達(dá)式，則 (1)可寫成 (5)。(i，j)間的油耗成本如式 (6)所示。式 (7)為每輛車的油耗成本。

1.2 建立數(shù)學(xué)模型

假設(shè)第i個(gè)客戶的需求量為gi(i=1，2，…，l)，1個(gè)車場，同種車型。i到j(luò)的行駛時(shí)間為tij，車輛啟用成本為c，最大行駛里程為Dmax，司機(jī)薪酬單位付費(fèi)為w，總運(yùn)輸時(shí)間為T，v＇為通過交通數(shù)據(jù)擬合的平均速度。不考慮裝卸貨時(shí)間。目標(biāo)函數(shù)為考慮運(yùn)載量變化影響油耗成本、路況約束、載重約束、單車場、同種車型等情況下，滿足所有客戶的需求，并使總運(yùn)輸成本最小。預(yù)先對需要車輛數(shù)進(jìn)行估計(jì)?？梢园凑帐?(8)確定車輛數(shù)。

式中，［］表示不大于括號內(nèi)數(shù)字的最大整數(shù);0＜α＜1，是對裝車 (或卸車)的復(fù)雜程度及約束多少的估計(jì)。

假設(shè)客戶編號為1，2，…，l，車場編號為0。決策變量如式 (9)和 (10)。

建立數(shù)學(xué)模型

目標(biāo)函數(shù)式 (11)表示總運(yùn)輸成本最小，第一項(xiàng)為涉及運(yùn)載量的油耗成本，第二項(xiàng)為車輛啟用成本，第三項(xiàng)為司機(jī)薪酬成本;式 (12)和式 (13)表示每個(gè)客戶僅由一輛車服務(wù);式 (14)表示車輛的行駛里程約束;式 (15)表示車輛完成任務(wù)后，必須回到原車場;式 (16)表示每輛車所運(yùn)輸貨物重量不超過車輛載重;式 (17)tij表示i到j(luò)的行駛時(shí)間;式 (18)為配送完所有任務(wù)所花費(fèi)的時(shí)間;式 (19)消除了車輛不是從車場出發(fā)的現(xiàn)象。

2 算法設(shè)計(jì)

2.1 算法思想

量子遺傳算法是將量子進(jìn)化算法與遺傳算法相結(jié)合，用量子比特、量子編碼和量子疊加態(tài)的概念，把遺傳算法的染色體編碼操作替換為量子比特概率幅表示。即用［α，β］T表示一個(gè)量子位，α和β代表復(fù)數(shù)，對應(yīng)和態(tài)的概率幅，并且滿足 α2+β2=1，這樣可以實(shí)現(xiàn)由n個(gè)量子位編碼的染色體表示2n個(gè)狀態(tài)。在一般的量子進(jìn)化算法中用量子旋轉(zhuǎn)門和災(zāi)變操作代替了遺傳算法的交叉和變異操作。量子位作為量子進(jìn)化計(jì)算的最小單位可能處于態(tài)、態(tài)或兩種態(tài)的疊加態(tài)。在QEA中，長度為L的第K代種群Q(k)的量子個(gè)體如式 (20)所示。其中，k表示進(jìn)化代數(shù)，N表示種群的大小，并且滿足歸一化條件量子個(gè)體通過量子門對信息進(jìn)行操作，首先實(shí)施幺正變換對量子態(tài)的演化和傳遞進(jìn)行控制，然后進(jìn)化種群。一般使用量子旋轉(zhuǎn)門，調(diào)整操作如式 (21)所示。其中[αi，βi]T表示染色體的第i個(gè)量子位，θi表示旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)角的大小以及符號由調(diào)整策略確定。

2.2 IQGA求解問題模型

2.2.1 構(gòu)造量子染色體

若VRP是由5個(gè)客戶組成，則量子染色體可以表示成5×5×2的3維量子比特矩陣。使用“先線路后分組”的兩步方法進(jìn)行解碼交換:先隨機(jī)生成服務(wù)序列，用產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù) (隨機(jī)∈ ［0，1］)構(gòu)造5×5的二維0－1矩陣，則服務(wù)順序由矩陣的橫坐標(biāo)表示，客戶編號由矩陣的縱坐標(biāo)表示，如式 (22)所示;式 (22)矩陣中的客戶順序是4－5－3－1－2，形成車輛配送路線，按照客戶順序進(jìn)行服務(wù)，如果路徑中需要的車輛數(shù)目超過可提供的車輛數(shù)目，則路徑有不可行解，需要重新生成量子染色體，逐漸把比特種群轉(zhuǎn)化為整數(shù)種群。

2.2.2 更新量子門

QGA通過量子門旋轉(zhuǎn)實(shí)現(xiàn)狀態(tài)間的進(jìn)化，量子門的設(shè)計(jì)包括Hadamard變換門、非門以及受控非門等。

2.2.3 通過交叉、變異改變行車路線染色體

交叉算子主要用于產(chǎn)生新個(gè)體，實(shí)現(xiàn)算法的全局搜索能力?？紤]到整個(gè)種群的變化趨勢及每個(gè)個(gè)體的變異機(jī)會(huì)，本節(jié)設(shè)計(jì)了與進(jìn)化代數(shù)相關(guān)而與個(gè)體適應(yīng)度無關(guān)的交叉概率計(jì)算公式，且與考慮油耗率的問題模型相結(jié)合，以滿載油耗率和空載油耗率兩者之和的一半的倒數(shù)作為最大交叉概率pcmax，如式(23)所示，以滿載油耗率與空載油耗率之和的倒數(shù)作為最小交叉概率pcmin，如式 (24)所示。自適應(yīng)交叉概率如式 (25)和 (26)所示，其中，t為當(dāng)前進(jìn)化代數(shù)，Gen為預(yù)設(shè)的最大進(jìn)化代數(shù)。

變異算子主要作用是產(chǎn)生新個(gè)體和抑制早熟。設(shè)計(jì)變異概率的總趨勢是逐漸減小而使群體迅速集中。以所有車輛的平均滿載率的一半作為最大變異概率pmmax，如式 (27)所示。以pmmax的一半作為最小變異概率pmmin，如式 (28)所示。pm(t)是第t代個(gè)體進(jìn)行變異的概率，如式 (29)和 (30)所示。

2.2.4 改進(jìn)量子遺傳算法執(zhí)行步驟

QGA的種群更新采用量子旋轉(zhuǎn)門實(shí)現(xiàn)，在QGA的基礎(chǔ)上，提出通過更新旋轉(zhuǎn)門達(dá)到更新種群的操作。方法中旋轉(zhuǎn)角取值如式 (31)所示，其中Δθi表示旋轉(zhuǎn)角的角步長，符號D(αi，βi)表示旋轉(zhuǎn)角的旋轉(zhuǎn)方向，旋轉(zhuǎn)角角度根據(jù)表1來確定。表1中，xi表示二進(jìn)制解x的第i個(gè)比特，bi表示最優(yōu)解b的第i個(gè)比特，f(·)表示適應(yīng)度函數(shù)，dta表示影響算法收斂速度的系數(shù)，如式 (32)所示，n表示當(dāng)前進(jìn)化代數(shù)，c'表示 ［0，1］間的常數(shù)，lg en為終止代數(shù)。

表1 旋轉(zhuǎn)角角度查找表

2.3 改進(jìn)量子遺傳算法流程

改進(jìn)量子遺傳算法流程圖如圖1所示。

改進(jìn)量子遺傳算法具體步驟如下:

步驟1:初始化種群，確定種群大小、量子變異概率和量子位染色體位數(shù)的確定，并且保證所有態(tài)在算法搜索早期以相同的概率出現(xiàn);

步驟2:根據(jù)種群中個(gè)體的概率幅來對量子疊加態(tài)的觀測態(tài)B進(jìn)行構(gòu)造，B={b1，b2，…，bn}，bi(i=1，2，…，n)表示每個(gè)個(gè)體的觀測狀態(tài);

步驟3:評價(jià)觀測態(tài)的適應(yīng)度;

步驟4:記錄和保留最佳個(gè)體進(jìn)行，同時(shí)判斷是否滿足終止條件 (多次得到相同解或達(dá)到最大迭代次數(shù))，如果條件滿足，算法就終止;否則，繼續(xù)執(zhí)行下一步;

步驟5:按照式 (12)對量子門旋轉(zhuǎn)角進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整并計(jì)算;

步驟6:引進(jìn)交叉和變異操作，自適應(yīng)改變交叉概率和變異概率;

步驟7:不斷進(jìn)化，轉(zhuǎn)至步驟2，反復(fù)執(zhí)行到算法終止。

IQGA在進(jìn)行量子交叉操作和變異操作的基礎(chǔ)上，對量子門的旋轉(zhuǎn)角步長進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整以提高算法收斂速度，結(jié)合量子態(tài)的干涉性和糾纏性同時(shí)有效避免了早熟收斂和改善了算法的尋優(yōu)能力。

圖1 改進(jìn)量子遺傳算法流程圖

2.4 算法復(fù)雜度計(jì)算

求解VRP問題的參數(shù)表示:種群規(guī)模S，迭代次數(shù)N，車輛總數(shù)n，客戶總數(shù)m，交叉概率為Sc，變異概率為Sm，則問題規(guī)模 (染色體編碼長度)可表示為m·n。按照上述步驟執(zhí)行:

1)把種群從量子比特群轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制種群，則計(jì)算復(fù)雜度O(S·m·n);

2)把二進(jìn)制種群轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制種群，則計(jì)算復(fù)雜度是O(S·m·n);

3)適應(yīng)度函數(shù)計(jì)算過程的時(shí)間復(fù)雜度是O(S·m·n);

4)選擇操作對應(yīng)的時(shí)間復(fù)雜度是O(S2);

5)交叉操作對應(yīng)的時(shí)間復(fù)雜度是O(Sc·S·m2·n2);

6)變異操作對應(yīng)的時(shí)間復(fù)雜度是O(Sm·S·m·n);

7)下一代進(jìn)化對應(yīng)的時(shí)間復(fù)雜度是O(S+s);

8)動(dòng)態(tài)調(diào)整量子門旋轉(zhuǎn)角的復(fù)雜度是O(S·m2·n2)。

綜合以上，得出IQGA的時(shí)間復(fù)雜度如式 (33)所示。

通過計(jì)算可知IQGA的時(shí)間復(fù)雜度和問題規(guī)模m2·n2成正比，與已知時(shí)間復(fù)雜度的量級相同，即IQGA的復(fù)雜度并未增加。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

3.1 實(shí)例

廣州市某物流公司有1個(gè)車場，車場位置為 (50，50)，需給40個(gè)客戶送貨，可用車輛數(shù)若干，每輛車的最大配送距離為180 km，客戶信息如表2所示。且Qmax=30，c0=0.1，c=10，w=10。

表2 客戶信息

3.2 參數(shù)設(shè)置及結(jié)果分析

在Intel(R)CoreTMi5 CPU 3.0 GHz、內(nèi)存為8.0 G、安裝系統(tǒng)為Windows7的PC機(jī)上采用Matlab R2010b編程實(shí)現(xiàn)。IQEA不同參數(shù)取值求解帶油耗率VRP的結(jié)果如表3所示，可見當(dāng)γmax=2，γ0=1時(shí)，IQEA的尋優(yōu)效果較好，也說明了滿載油耗率越高，系數(shù)a越大，油耗成本越高。

表3 自適應(yīng)遺傳算法不同參數(shù)取值求解帶油耗率VRP的結(jié)果

遺傳算法的參數(shù)設(shè)計(jì):最大進(jìn)化代數(shù)G=1 000;編碼長度f=20;種群規(guī)模N=30;交叉概率和因子突變概率分別為0.95和0.05，采用輪盤賭策略選擇算子，多點(diǎn)交叉，均勻變異。

自適應(yīng)遺傳算法參數(shù)設(shè)定:pcmax=0.667，pcmin=0.333，pmmax=0.095和pmmax=0.047 5，初始化種群m=20，最大迭代次數(shù)Gen=800，采用輪盤賭策略選擇算子，多點(diǎn)交叉，均勻變異。

改進(jìn)量子遺傳算法參數(shù)設(shè)計(jì):種群規(guī)模N=100，最大進(jìn)化代數(shù)G=1 000，編碼長度f=20，c'=0.82，多點(diǎn)交叉，均勻變異。運(yùn)用三種算法求解問題各10次。

表4 不同算法求解總成本的比較 元

表5 不同算法迭代次數(shù)比較 元

由表4、表5可知:IQGA不但能夠在較短時(shí)間內(nèi)收斂到最優(yōu)解和避免早熟，而且無論從配送距離最優(yōu)解的獲取還是從迭代次數(shù)的大小方面，IQGA的值優(yōu)于AGA，明顯好于一般GA，也驗(yàn)證了IQGA在求解VRP問題的優(yōu)越性。

表6 最優(yōu)路徑的具體配送信息

4 結(jié)語

交叉概率越大，新個(gè)體產(chǎn)生的速度就越快，然而，交叉概率過大時(shí)遺傳模式被破壞的可能性也越大，使得具有高適應(yīng)度的個(gè)體結(jié)構(gòu)很快就會(huì)被破壞;但是交叉概率過小，會(huì)使搜索過程緩慢，以至于停滯不前。而變異算子主要是產(chǎn)生新個(gè)體和抑制早熟，設(shè)計(jì)變異概率的總趨勢是使它逐漸減小，從而使群體迅速集中。本文提出了引入了交叉操作和變異操作的改進(jìn)量子遺傳算法，提出了帶油耗率的VRP，應(yīng)用設(shè)計(jì)的算法對問題模型求解，通過與AGA和GA求解的結(jié)果相比較，從多個(gè)角度證明所設(shè)計(jì)算法的優(yōu)越性，研究更大規(guī)模問題模型及包含多種擴(kuò)展特性 (次序關(guān)聯(lián)、不對稱、隨機(jī)需求、需求關(guān)聯(lián)、多周期性、需求可拆分、同時(shí)取送貨、開放式、服務(wù)優(yōu)先級等)的VRP及其求解算法將是下一步研究方向。

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