陳曉雷 林 輝 呂帥帥

(西北工業(yè)大學(xué)自動化學(xué)院 西安 710129)

0 引言

機電伺服作動系統(tǒng)是多電飛機的核心組成部分［1］。近年來，隨著功率電傳技術(shù)的發(fā)展，尤其是高壓直流電源系統(tǒng)的采用，使得大功率機電作動系統(tǒng)在飛機上的應(yīng)用成為現(xiàn)實，彌補了傳統(tǒng)液壓作動機構(gòu)的缺陷，極大地提高了飛機的操縱和控制性能［2］。機電作動系統(tǒng)中，伺服電動機及控制器是關(guān)鍵所在。永磁同步電動機(Permanent Magnet Synchronous Motors，PMSM)具有轉(zhuǎn)矩脈動小、調(diào)速范圍寬以及功率密度高等優(yōu)勢，在航空領(lǐng)域具有良好的發(fā)展前景。

然而，PMSM 本身具有多變量、非線性及強耦合等特點［3］，而機載作動伺服系統(tǒng)的工作環(huán)境尤為嚴(yán)酷，環(huán)境溫度變化較大，導(dǎo)致電動機參數(shù)(如繞組電阻、永磁體性能和粘性摩擦系數(shù)等)會有較大變動，在不同飛行狀態(tài)下也存在負(fù)載變化，以上原因?qū)е聦崿F(xiàn)高精度位置控制難度較大。此外，與常規(guī)位置伺服系統(tǒng)不同，機載作動系統(tǒng)作為飛控系統(tǒng)的子系統(tǒng)，其輸出量即舵面偏角與飛機飛行姿態(tài)息息相關(guān)，若舵面偏轉(zhuǎn)角誤差過大，即使子系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能可以保證，但必然對飛控系統(tǒng)的機動性能和穩(wěn)定性產(chǎn)生負(fù)面影響。為保障可靠性，通常對舵面偏角誤差的上下界做出嚴(yán)格限制?，F(xiàn)有PMSM 位置伺服控制方法包括分?jǐn)?shù)階控制［4］、自適應(yīng)控制［5］、滑?？刂疲?，7］以及LPV 控制［8］等。文獻［4，5］所提控制策略不足之處在于控制器結(jié)構(gòu)或參數(shù)自適應(yīng)律復(fù)雜。文獻［6-8］的優(yōu)勢是不嚴(yán)格依賴精確數(shù)學(xué)模型，控制算法可保證系統(tǒng)漸進穩(wěn)定，但缺陷是系統(tǒng)動態(tài)性能依賴參數(shù)整定，控制精度難以得到保障。

長久以來，Lyapunov 函數(shù)被視為非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的有力工具。文獻［9］提出并完善了反演控制(Backstepping Control)方法，通過設(shè)計滿足需求的中間虛擬控制量和分項控制Lyapunov 函數(shù)(Control Lyapunov Function，CLF)，反向遞推獲得反饋控制律和整體CLF。該策略將CLF 構(gòu)造和鎮(zhèn)定控制律設(shè)計緊密結(jié)合，適用于嚴(yán)格反饋系統(tǒng)(如PMSM 位置伺服系統(tǒng))。文獻［10］提出一種反演滑模控制策略。文獻［11］提出一種積分反演控制策略，采用自適應(yīng)關(guān)聯(lián)觀測器估算轉(zhuǎn)子位置及轉(zhuǎn)速。文獻［12］提出一種自適應(yīng)反演控制策略，采用反演觀測器實現(xiàn)無傳感器控制。文獻［13］針對PMSM 參數(shù)時變問題，設(shè)計參數(shù)自適應(yīng)律及反演控制器。然而，常規(guī)反演控制只能保證伺服系統(tǒng)的穩(wěn)定性，無法處理輸出誤差約束問題。近年來，通過對二次型結(jié)構(gòu)CLF 的改進，該問題已取得一定研究成果。文獻［14］針對含狀態(tài)約束的Brunovsky標(biāo)準(zhǔn)型系統(tǒng)，以約束區(qū)間作為定義域，構(gòu)造對數(shù)型及反正切型障礙函數(shù)作為CLF 實現(xiàn)反演控制。在文獻［14］的基礎(chǔ)上，文獻［15］將此類基于障礙函數(shù)的CLF 定義為障礙Lyapunov 函數(shù)(Barrier Lyapunov Function，BLF)，針對嚴(yán)格反饋系統(tǒng)進行反演設(shè)計，可保證系統(tǒng)輸出有界。

本文在以上研究的基礎(chǔ)上，借鑒文獻［15］的思想，提出一種基于對稱BLF 的反演控制策略。為補償負(fù)載擾動和參數(shù)變化，消除未建模動態(tài)引起的穩(wěn)態(tài)誤差，在控制設(shè)計環(huán)節(jié)增加積分項［16］。通過Lyapunov方法證明閉環(huán)系統(tǒng)的全局漸進穩(wěn)定性，閉環(huán)系統(tǒng)信號一致有界，跟蹤誤差可收斂到原點較小鄰域，且控制過程中舵面跟蹤誤差始終保持在約束區(qū)間內(nèi)。通過仿真和實驗驗證了本文方法的有效性。

1 機載PMSM 伺服作動系統(tǒng)模型

機電作動伺服系統(tǒng)的目的是實現(xiàn)舵面對給定位置指令的準(zhǔn)確跟蹤。為提高系統(tǒng)可靠性，降低故障率，通常采用余度結(jié)構(gòu)，在結(jié)構(gòu)設(shè)計中采用位置控制器、兩套PMSM 電動機及驅(qū)動器并行工作的方式，通過差動周轉(zhuǎn)輪系實現(xiàn)驅(qū)動軸機械運動的合成，輸出低轉(zhuǎn)速、高扭矩的動力，作用到傳動鏈實現(xiàn)舵面收放。簡單起見，本文考慮正常工況，假設(shè)兩套電動機參數(shù)相同，則轉(zhuǎn)速相同時不存在力紛爭問題。

假設(shè)磁路不飽和，不計磁滯和渦流損耗影響，氣隙磁場呈正弦分布，定子為三相對稱繞組，轉(zhuǎn)子無阻尼繞組。隱極式PMSM 的數(shù)學(xué)模型為［17］

式中:θ 為轉(zhuǎn)子機械角位移;ω 為轉(zhuǎn)子機械角速度;p 為磁極對數(shù);φf為轉(zhuǎn)子永磁體在定子上的耦合磁鏈;J 為折算到電動機軸上的等效轉(zhuǎn)動慣量;id、iq分別為定子電流矢量的d、q 軸分量;B 為粘滯系數(shù);TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩;R 為繞組電阻;L 為繞組電感;uq、ud分別為定子電壓矢量的d、q 軸分量。

不考慮傳動鏈的間隙與彈性變形，θ 與舵面轉(zhuǎn)角φ 的關(guān)系為

式中kr為傳動鏈的減速比。

TL與空氣特性、飛機飛行馬赫數(shù)、飛行高度、飛行攻角以及舵面轉(zhuǎn)角等均相關(guān)，簡單起見，認(rèn)為TL與φ 呈線性關(guān)系，為彈性負(fù)載

式中:T0為舵面處于收攏狀態(tài)時的負(fù)載轉(zhuǎn)矩;kθ為線性比例系數(shù)。

取狀態(tài)變量［xi］=［φ，ω，iq，id］，聯(lián)立式(1)～式(3)，可得PMSM 伺服作動系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型為

2 控制器設(shè)計

對式(4)描述的嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)［18］，提出一種反演控制方法，通過設(shè)計障礙Lyapunov 函數(shù)，實現(xiàn)對舵面轉(zhuǎn)角φ 的約束，并證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

2.1 基于BLF 的反演控制器設(shè)計

反演控制將Lyapunov 函數(shù)的選取與控制器設(shè)計相結(jié)合，將非線性系統(tǒng)分解成若干不超過系統(tǒng)階數(shù)的子系統(tǒng)，然后為每個子系統(tǒng)設(shè)計CLF 和虛擬控制量，逐層修正算法來設(shè)計鎮(zhèn)定控制器，最終完成控制律的設(shè)計，實現(xiàn)全局調(diào)節(jié)和跟蹤。本文在虛擬控制中引入誤差的積分項，利用積分作用消除穩(wěn)態(tài)誤差，與常規(guī)反演控制不同之處在于選取BLF 而非二次型作為Lyapunov 函數(shù)。具體設(shè)計步驟如下:

1)設(shè)φ*為舵面期望轉(zhuǎn)角，設(shè)舵面轉(zhuǎn)角容許誤差范圍為(- kb，kb)，定義跟蹤誤差為:，，其中、為虛擬控制量。

引入輸出誤差的積分，記為

對式(5)求導(dǎo)，有

對z1求導(dǎo)，并將式(4)代入，可得

選取Lyapunov 函數(shù)

由文獻［15］中BLF 定義可知，V1為BLF。取x2的虛擬控制量ω*為

式中κ1＞0 為待設(shè)計的參數(shù)，對式(8)求導(dǎo)，得

2)由于x2并非受約束項，故而可選擇二次型Lyapunov 函數(shù)作為候選函數(shù)

式中κ2＞0，對式(11)求導(dǎo)，得

3)選擇二次型Lyapunov 函數(shù)為

對式(14)求導(dǎo)，得

選取實際uq為

式中κ3＞0，則式(15)可化簡為

4)為實現(xiàn)電流和速度的解耦，使轉(zhuǎn)矩不受磁通電流的影響，需采用i*d=0 的控制策略。選擇二次型Lyapunov 函數(shù)為

對式(18)求導(dǎo)，得

選取實際ud為

式中κ4＞0。至此完成控制律設(shè)計。PMSM 伺服作動系統(tǒng)反演控制結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 PMSM 伺服作動系統(tǒng)約束反演控制Fig.1 Backstepping-based constraint control for PMSM Servo-Actuation System

2.2 系統(tǒng)穩(wěn)定性證明

定理:對式(4)所示伺服作動系統(tǒng)，采用式(16)、式(20)反饋控制律，若舵面轉(zhuǎn)角期望指令連續(xù)且三階可導(dǎo)，并滿足(χ1為一正數(shù))，且初始條件}，則以下結(jié)論成立。

1)誤差信號zi(t)保持在緊集Ωz內(nèi)。

2)輸出信號y(t)保持在緊集Ωy內(nèi)，且嚴(yán)格有界。

3)所有閉環(huán)信號皆有界。

4)系統(tǒng)輸出誤差z1(t)漸近收斂到零，當(dāng)t →∞，y(t)→φ*(t)。

證明:1)將式(20)代入式(19)，得

由于κi＜0(i=1，…，4)，可知，由此可知V4(t)≤V4(0)，若z1(0)∈(- kb，kb)，根據(jù)文獻［15］中引理1 可知，z1∈(- kb，kb)?t ∈［0，∞)。由式(8)可知

3)由z1(t)有界結(jié)合由式(9)可知虛擬控制量ω*有界，依此類推可知zi(t)有界，結(jié)合設(shè)計過程可知控制律uq和ud亦有界，由此可得系統(tǒng)閉環(huán)信號皆有界。

4)由zi(t)有界，可計算出亦有界，對式(23)求導(dǎo)可知有界，為一致連續(xù)，由Barbalat 引理可知，當(dāng)t →∞時，→0，即zi(t)→0，可實現(xiàn)對舵面位置的精確跟蹤。

3 仿真結(jié)果及分析

在Matlab 環(huán)境下進行數(shù)值仿真，驗證本文所設(shè)計控制器的有效性。仿真參數(shù)如表1 所示。

表1 伺服作動系統(tǒng)參數(shù)Tab.1 Parameters of servo-actuation system

舵面運動通常是繞伺服系統(tǒng)的輸出軸作往復(fù)擺動，可近似為正弦運動，滿足定理中假設(shè)條件，設(shè)置舵面轉(zhuǎn)角期望指令為，結(jié)合工程實際，設(shè)計kb為1.5，即舵面偏角容許誤差范圍z1∈(-1．5，1．5)，控制器參數(shù)設(shè)置為κ1=κ2=3 000，κ3=κ4=500，λ=2 000。

采用本文方法控制效果如圖2所示，可看出舵面位置具有較高的控制準(zhǔn)確度，未有產(chǎn)生較大的超調(diào)量，z1(t)始終被約束在設(shè)定范圍內(nèi)，且收斂較快速，電動機實時轉(zhuǎn)速較準(zhǔn)確的逼近虛擬控制量ω*。

圖2 本文方法控制結(jié)果Fig.2 Simulation results of proposed method

圖3 常規(guī)反演方法控制結(jié)果Fig.3 Simulation results of classical backstepping method

由圖3可知，常規(guī)反演控制仍能保證系統(tǒng)穩(wěn)定性，但對系統(tǒng)動態(tài)性能的調(diào)節(jié)僅依賴于控制器參數(shù)的整定，對誤差約束條件是無法處理的。

4 實驗結(jié)果

為驗證機載PMSM 伺服作動系統(tǒng)及控制器性能，建立實驗平臺如圖4所示。

圖4 伺服系統(tǒng)實驗平臺Fig.4 Servo-actuation system experimental platform

作動機構(gòu)采用并行/主動式雙余度結(jié)構(gòu)，為測試PMSM 性能，實驗中采用單通道控制。負(fù)載模擬器是舵面負(fù)載力矩的加載裝置，能模擬隨馬赫數(shù)、攻角及舵偏角等參數(shù)變化的舵面負(fù)載力矩。伺服控制器采用TI TMS320F2812，逆變單元采用IGBT 組成全橋結(jié)構(gòu)，通過光電編碼器進行速度測量。

為驗證積分反饋的作用，設(shè)計不含積分反饋的約束反演控制器?？刂破髟O(shè)計中選擇對數(shù)型BLF，V1=其余步驟與上文相同，控制器參數(shù)同仿真驗證。實驗結(jié)果如圖5所示。

圖5 本文方法實驗結(jié)果Fig.5 Experimental results of proposed method

通過圖5a 舵面轉(zhuǎn)角誤差對比結(jié)果可看出積分反饋的作用，由于作動系統(tǒng)中存在參數(shù)時變特性及未建模動態(tài)，積分項的引入顯著提高了舵面位置跟蹤精度，加快了誤差信號zi(t)的收斂速度。

對比圖5a 與圖3b 可知，與仿真結(jié)果相比，實驗結(jié)果的最大誤差和誤差絕對值積分顯著偏大，主要考慮以下原因:數(shù)學(xué)模型中忽略了實際作動系統(tǒng)的非線性特性，如電動機發(fā)熱導(dǎo)致的模型參數(shù)變化，負(fù)載模擬器存在多余力矩，舵面存在機械連接間隙非線性、摩擦非線性、同軸度誤差等。由圖5b 可知電動機轉(zhuǎn)速能準(zhǔn)確快速地跟蹤參考轉(zhuǎn)速信號。實驗結(jié)果表明本文算法具有較好的魯棒性，可保證系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定性，且可保證對超調(diào)量的有效約束。

5 結(jié)論

針對機載PMSM 伺服作動系統(tǒng)存在的強耦合非線性特性以及高精度控制需求，提出一種基于障礙Lyapunov 函數(shù)的積分反演控制策略，實現(xiàn)對輸出誤差的約束，證明了控制算法的收斂性，并研究了障礙Lyapunov 函數(shù)及積分項在反演控制中的作用?？傻萌缦陆Y(jié)論:

1)傳統(tǒng)反演方法僅能保證PMSM 伺服作動系統(tǒng)穩(wěn)定性，無法解決對誤差量的約束問題。

2)本文方法不僅可實現(xiàn)伺服控制的全局漸進穩(wěn)定，而且可實現(xiàn)對輸出誤差量的實時約束，通過理論證明與仿真對比可知，本文方法彌補了傳統(tǒng)反演控制方法的不足，實現(xiàn)了機載伺服系統(tǒng)的高精度控制。

3)反演設(shè)計中引入積分項，一定程度上增強了系統(tǒng)的魯棒性，對改善穩(wěn)態(tài)控制品質(zhì)有積極意義。

4)遞推設(shè)計環(huán)節(jié)中可考慮采用有限時間滑?？刂品椒ㄔO(shè)計虛擬控制量，加快收斂速度，增強系統(tǒng)魯棒性。

［1］ 羅戰(zhàn)強，梁得亮．雙余度機電作動伺服系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型與特性［J］．電工技術(shù)學(xué)報，2014，29(1):165-173．

Luo Zhanqiang，Liang Deliang．Mathematical model and characteristics on dual-redundancy electromechanical actuation servo system［J］．Transactions of China Electrotechnical Society，2014，29(1):165-173．

［2］ 張巍，尚曉磊，周元鈞，等．一種適用于航空電力作動器負(fù)載的三相PWM 整流器最大功率控制［J］．電工技術(shù)學(xué)報，2011，26(8):91-98．

Zhang Wei，Shang Xiaolei，Zhou Yuanjun，et al．A maximum power control method of three-phase voltage source rectifiers adapted to aircraft electric actuator load［J］．Transactions of China Electrotechnical Society，2011，26(8):91-98．

［3］ 黃慶，黃守道，伍倩倩，等．基于模糊自抗擾控制器的永磁同步電動機伺服系統(tǒng)［J］．電工技術(shù)學(xué)報，2013，28(9):294-301．

Huang Qing，Huang Shoudao，Wu Qianqian，et al．PMSM servo system based on fuzzy active-disturbance rejection controller［J］．Transactions of China Electrotechnical Society，2013，28(9):294-301．

［4］ Luo Y，Chen Y Q，Ahn H S，et al．Fractional order robust control for cogging effect compensation in PMSM position servo systems:stability analysis and experiments［J］．Control Engineering Practice，2010，18(9):1022-1036．

［5］ Kumar V，Gaur P，Mittal A P．ANN based self tuned PID like adaptive controller design for high performance PMSM position control［J］．Expert Systems with Applications，2014，41(7):7995-8002．

［6］ Qi Liang，Shi Hongbo．Adaptive position tracking control of permanent magnet synchronous motor based on RBF fast terminal sliding mode control［J］．Neurocomputing，2013，115(4):23-30．

［7］ Ghafari-Kashani A R，F(xiàn)aiz J，Yazdanpanah M J．Integration of non-linear H∞and sliding mode control techniques for motion control of a permanent magnet synchronous motor［J］．IET Electric Power Applications，2010，4(4):267-280．

［8］ Cauet S，Coirault P，Njeh M．Diesel engine torque ripple reduction through LPV control in hybrid electric vehicle powertrain:experimental results［J］．Control Engineering Practice，2013，21(12):1830-1840．

［9］ Krstic M，Kanellakopoulos I，Kokotovic P V．Nonlinear and Adaptive Control Design［M］．New York:John Wiley＆ Sons，1995．

［10］ 付培華，陳振，叢炳龍，等．基于反步自適應(yīng)滑?？刂频挠来磐诫姍C位置伺服系統(tǒng)［J］．電工技術(shù)學(xué)報，2013，28(9):288-293．

Fu Peihua，Chen Zhen，Cong Binglong，et al．A position servo system of permanent magnet synchronous motor based on back-stepping adaptive sliding mode control［J］．Transactions of China Electrotechnical Society，2013，28(9):288-293．

［11］ Hamida Mohamed Assaad，Glumineau Alain，Leon de Jesus．Robust integral backstepping control for sensorless IPM synchronous motor controller［J］．Journal of the Franklin Institute，2012，349(5):1734-1757．

［12］ Morawiec M．The adaptive backstepping control of permanent magnet synchronous motor supplied by current source inverter［J］．IEEE Transactions on Industrial Informatics，2013，9(2):1047-1055．

［13］ Karabacak M，Eskikurt H I．Speed and current regulation of a permanent magnet synchronous motor via nonlinear and adaptive backstepping control［J］．Mathematical and Computer Modelling，2011，53(9):2015-2030．

［14］ Ngo K B，Mahony R E，Jiang Z P．Integrator backstepping using barrier functions for systems with multiple state constraints［C］．44th IEEE Conference on Decision ＆ Control，Seville，Spain，2005:8306-8312．

［15］ Tee K P，Ge S S，Tay E H．Barrier Lyapunov Functions for the control of output-constrained nonlinear systems［J］．Automatica，2009，45(4):918-927．

［16］ Alain Glumineau，de Leon Morales Morales．Sensorless AC Electric Motor Control-Robust Advanced Design Techniques and Applications［M］．Berlin:Springer，2015．

［17］ 許敘遙，林輝．基于動態(tài)滑?？刂频挠来磐诫姍C位置速度一體化設(shè)計［J］．電工技術(shù)學(xué)報，2014，29(5):77-83．

Xu Xuyao，Lin Hui．Integrated design for permanent magnet synchronous motor servo systems based on dynamic sliding mode control［J］．Transactions of China Electrotechnical Society，2014，29(5):77-83．

［18］ Tong Shaocheng，Liu Changliang，Li Yongming．Adaptive fuzzy backstepping output feedback control for strict feedback nonlinear systems with unknown sign of high-frequency gain［J］．Neurocomputing，2012，77(1):58-70．