燕躍豪 鮑 薇 李曉方 林 慧

(國(guó)網(wǎng)河南省電力公司鄭州供電公司 鄭州 450006)

0 引言

我國(guó)電網(wǎng)已成為超大機(jī)組、特高壓及交直流互聯(lián)電網(wǎng)，這在帶來(lái)規(guī)?；б婕盎閭溆玫葍?yōu)勢(shì)的同時(shí)，也使得系統(tǒng)更易因局部擾動(dòng)蔓延而造成嚴(yán)重后果［1］。近年來(lái)，世界各地頻繁發(fā)生的大停電事故也證實(shí)了這一點(diǎn)。事實(shí)上，電網(wǎng)擾動(dòng)難以避免，如果能明晰擾動(dòng)在系統(tǒng)中的傳播規(guī)律，并及時(shí)采取針對(duì)性的控制措施，就能有效降低擾動(dòng)影響，保障大電網(wǎng)安全［2，3］。因此，研究揭示擾動(dòng)傳播規(guī)律具有重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義。

隨著互聯(lián)電網(wǎng)規(guī)模的擴(kuò)大，擾動(dòng)在電網(wǎng)中呈現(xiàn)出以近似機(jī)械波形式傳播的特點(diǎn)，世界多地都觀測(cè)到了這種現(xiàn)象［4，5］。J.S.Thorp［6］教授將其定義為機(jī)電波(Electromechanical Wave)，并嘗試引入波動(dòng)力學(xué)理論，從空間和時(shí)間角度刻畫大電網(wǎng)中的擾動(dòng)傳播規(guī)律，這為研究電網(wǎng)擾動(dòng)傳播機(jī)理提供了新的思路［7，8］。

采用機(jī)電波理論，研究擾動(dòng)在一維鏈?zhǔn)诫娋W(wǎng)中的傳播規(guī)律是研究實(shí)際電網(wǎng)擾動(dòng)傳播機(jī)理的基礎(chǔ)。目前，研究主要從連續(xù)體模型［9-11］和離散慣量模型［12，13］兩個(gè)角度展開。連續(xù)體模型假設(shè)發(fā)電機(jī)間距無(wú)窮小，將電網(wǎng)處理為發(fā)電機(jī)慣量及線路電抗連續(xù)分布的擾動(dòng)傳播介質(zhì)。然而實(shí)際電網(wǎng)中發(fā)電機(jī)間距難以忽略;而且僅在發(fā)電機(jī)處產(chǎn)生擾動(dòng)反射的現(xiàn)象也與連續(xù)體模型的特征不符［14］。與連續(xù)體模型相比，離散慣量模型更加符合電網(wǎng)中發(fā)電機(jī)空間離散分布的特性，但離散慣量系統(tǒng)的研究方法一直是相關(guān)物理問(wèn)題的難點(diǎn)［15，16］。

本文重點(diǎn)研究不同頻率的擾動(dòng)在一維鏈?zhǔn)诫娋W(wǎng)中的傳播特性。借鑒連續(xù)體模型中偏微分形式機(jī)電波方程的推導(dǎo)思路，在建立基于離散慣量模型的機(jī)電波傳播方程的基礎(chǔ)上，提出波動(dòng)傳遞函數(shù)的概念，定量刻畫機(jī)電波波幅、相位在離散慣量模型中的變化規(guī)律;進(jìn)一步通過(guò)分析不同頻率擾動(dòng)信號(hào)的傳播特性，提出了擾動(dòng)傳播轉(zhuǎn)折頻率的概念，定量分析了擾動(dòng)傳播過(guò)程中的頻散效應(yīng)和局部振蕩現(xiàn)象與轉(zhuǎn)折頻率的關(guān)系。

1 電網(wǎng)離散慣量模型的擾動(dòng)傳播方程及波動(dòng)傳遞函數(shù)

1.1 電網(wǎng)離散慣量模型的擾動(dòng)傳播方程

以圖1所示一維鏈?zhǔn)诫娋W(wǎng)為例，研究不同頻率擾動(dòng)的傳播規(guī)律。假定所研究的電網(wǎng)中，忽略發(fā)電機(jī)的內(nèi)阻抗，即認(rèn)為發(fā)電機(jī)內(nèi)電動(dòng)勢(shì)的相角與所連母線電壓的相角一致;同時(shí)也忽略線路電阻和發(fā)電機(jī)阻尼，即認(rèn)為電網(wǎng)是無(wú)損系統(tǒng)。

圖1 鏈?zhǔn)诫娋W(wǎng)的離散慣量模型Fig.1 The discrete inertia model of chained power systems

將鏈?zhǔn)诫娋W(wǎng)在穩(wěn)態(tài)運(yùn)行點(diǎn)附近進(jìn)行線性化處理，發(fā)電機(jī)采用忽略阻尼的二階經(jīng)典模型，負(fù)荷采用忽略動(dòng)態(tài)過(guò)程的恒功率模型，則得到僅由發(fā)電機(jī)及相連線路構(gòu)成的電網(wǎng)機(jī)電暫態(tài)增量系統(tǒng)。圖1中發(fā)電機(jī)Gj的增量轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程為

式中:Δδj為發(fā)電機(jī)Gj的轉(zhuǎn)子角在穩(wěn)態(tài)值附近的增量;Jj為其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;ΔPj，j－1、ΔPj，j+1分別為由發(fā)電機(jī)Gj傳輸至發(fā)電機(jī)Gj－1和Gj+1的電磁功率增量。假設(shè)整個(gè)系統(tǒng)各線路單位長(zhǎng)度電抗z 均相等，以發(fā)電機(jī)G0位置為x 軸坐標(biāo)原點(diǎn)，發(fā)電機(jī)Gj和Gj－1、Gj+1線路長(zhǎng)度分別為Δxj，j－1和Δxj，j+1。由有功功率傳輸方程可得

互聯(lián)大電網(wǎng)中電壓等級(jí)較高，發(fā)電機(jī)間電氣距離較小。因此有sin(Δδj－Δδj－1)≈Δδj－Δδj－1及sin(Δδj－Δδj+1)≈Δδj－ Δδj+1成立，將式(2)帶入式(1)中，可得

式中K 為發(fā)電機(jī)間傳遞的功率。

為了便于闡明波動(dòng)傳播問(wèn)題的本質(zhì)，假設(shè)該鏈?zhǔn)诫娋W(wǎng)是完全均勻的，即各發(fā)電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J 相同，各段線路電壓等級(jí)V 相等，線路參數(shù)及長(zhǎng)度Δx 相等。則式(3)可化簡(jiǎn)為

式中:j=0，1，…，n;c0為擾動(dòng)在對(duì)應(yīng)的連續(xù)體均勻鏈?zhǔn)诫娋W(wǎng)中的傳播速度，由以上推導(dǎo)可知

1.2 電網(wǎng)離散慣量模型的波動(dòng)傳遞函數(shù)

當(dāng)發(fā)電機(jī)G0上施加正弦型有功功率擾動(dòng)ΔP=P0eiωt時(shí)，設(shè)其在發(fā)電機(jī)G0上的轉(zhuǎn)子角增量為Δδ0=A0eiωt(其中A0為發(fā)電機(jī)G0轉(zhuǎn)子角增量的幅值，ω 為其變化頻率)，鏈?zhǔn)较到y(tǒng)中其他發(fā)電機(jī)將產(chǎn)生同頻率變化的轉(zhuǎn)子角增量，但其幅值及相位各異。設(shè)發(fā)電機(jī)G0上的擾動(dòng)在發(fā)電機(jī)Gj上產(chǎn)生的轉(zhuǎn)子角增量為Δδj=Ajeiωt，其中Aj表示發(fā)電機(jī)Gj轉(zhuǎn)子角增量的幅值。將Δδj－1、Δδj、Δδj+1以及式(6)代入式(5)，可得

整理式(7)可得

其中

為研究鏈?zhǔn)较到y(tǒng)擾動(dòng)傳播過(guò)程中各發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子角增量的幅值和相位的變化規(guī)律，本文引入波動(dòng)傳遞函數(shù)γ。對(duì)發(fā)電機(jī)Gj來(lái)說(shuō)，其相關(guān)波動(dòng)傳遞函數(shù)可定義為

式中ρ、φ分別為波動(dòng)傳遞函數(shù)γ 的幅值譜和相位譜。

將式(11)代入式(8)，可知ρ 和φ 并非常數(shù)，其值主要受發(fā)電機(jī)G0產(chǎn)生的轉(zhuǎn)子角增量波Δδ0的頻率ω影響。當(dāng)擾動(dòng)源頻率ω 小于ωc時(shí)(即ω/ωc＜1)，求解式(8)可得

式中取0≤arcsin(ω/ωc)≤π/2。而當(dāng)擾動(dòng)源頻率ω 大于等于ωc時(shí)(即ω/ωc≥1)，可得

式(11)～式(13)給出了一維均勻電網(wǎng)離散慣量模型中波動(dòng)傳遞函數(shù)的解。其中，發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子角增量的波動(dòng)傳遞函數(shù)γ 的幅值譜ρ 和相位譜φ 如圖2所示。

由圖2可知，在一維鏈?zhǔn)诫娋W(wǎng)中當(dāng)擾動(dòng)信號(hào)頻率ω 小于ωc時(shí)，幅值不發(fā)生衰減。而當(dāng)ω ＞ωc時(shí)，擾動(dòng)沿傳播方向的幅值會(huì)迅速衰減，且相鄰節(jié)點(diǎn)上的相位角相差達(dá)到180°。當(dāng)ω ＞3ωc時(shí)，擾動(dòng)波的幅值幾乎衰減為零。

圖2 離散慣量模型波動(dòng)傳遞函數(shù)的幅值譜和相位譜Fig.2 The amplitude and phase spectrum of wave transfer function for discrete inertia model

在此，定義ωc=2c0/Δx 為電網(wǎng)離散慣量模型中擾動(dòng)傳播的轉(zhuǎn)折頻率。由以上分析可知，轉(zhuǎn)折頻率ωc是電網(wǎng)中擾動(dòng)傳播過(guò)程中幅值變化的重要指標(biāo)，且其完全由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及參數(shù)決定。只有低于轉(zhuǎn)折頻率的擾動(dòng)信號(hào)才能在電網(wǎng)中繼續(xù)傳播，大于轉(zhuǎn)折頻率的擾動(dòng)信號(hào)在傳播過(guò)程中將迅速衰減。均勻離散慣量系統(tǒng)中的轉(zhuǎn)折頻率為固定值，仿真結(jié)果證明對(duì)于更具普遍性的網(wǎng)格狀電網(wǎng)其同樣存在擾動(dòng)傳播的轉(zhuǎn)折頻率，然而對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)折頻率并不是固定值而是空間位置的函數(shù)，非均勻系統(tǒng)可以視為大量局部均勻系統(tǒng)的組合體，即其轉(zhuǎn)折頻率可以寫為ωc(x，y)=2c0(x，y)/Δx(x，y)。

2 電網(wǎng)離散慣量模型中的頻散效應(yīng)

頻散效應(yīng)是某些波動(dòng)介質(zhì)的固有特性，它使得不同頻率的擾動(dòng)信號(hào)在介質(zhì)中以不同速度傳播。因此，當(dāng)擾動(dòng)信號(hào)包含多個(gè)頻率分量時(shí)，擾動(dòng)波形將在傳播過(guò)程中產(chǎn)生畸變。離散效應(yīng)的研究有助于揭示擾動(dòng)傳播過(guò)程中的波形變化規(guī)律。

以下將分析一維鏈?zhǔn)诫娋W(wǎng)離散慣量模型中的頻散關(guān)系，即擾動(dòng)信號(hào)頻率與傳播速度的函數(shù)關(guān)系。設(shè)沿x 軸正向傳播的轉(zhuǎn)子角增量波為

當(dāng)轉(zhuǎn)子角增量入射波頻率ω 小于其轉(zhuǎn)折頻率ωc時(shí)，由式(11)和式(12)得

對(duì)比式(14)與式(15)，可得

式中k 為擾動(dòng)入射波的波數(shù)。式(16)可寫成

依據(jù)波動(dòng)學(xué)原理，電網(wǎng)離散慣量模型中轉(zhuǎn)子角增量入射波傳播的相速度cp和群速度cg可定義為

將式(17)帶入式(18)得

將式(16)帶入式(19)，可得用轉(zhuǎn)子角增量入射波頻率ω 表示的電網(wǎng)離散慣量模型頻散關(guān)系為

相速度cp和群速度cg與入射波頻率ω 的關(guān)系如圖3所示。

圖3 離散慣量模型中的相、群速度與擾動(dòng)波頻率的關(guān)系Fig.3 The correlation between phase speed，group speed and frequency of incident wave in discrete inertia model

由圖3可知，在一維鏈?zhǔn)诫娋W(wǎng)中當(dāng)擾動(dòng)信號(hào)頻率小于0.2 倍轉(zhuǎn)折頻率時(shí)，離散慣量模型中的相速度與群速度基本一致，即該頻段內(nèi)擾動(dòng)信號(hào)的傳播速度相等。擾動(dòng)傳播過(guò)程中波形幾乎不變，頻散效應(yīng)并不明顯。隨著擾動(dòng)信號(hào)頻率的增加，相速度與群速度的偏差逐漸增大。當(dāng)ω=ωc時(shí)，群速度cg=0。即當(dāng)入射波頻率ω 達(dá)到轉(zhuǎn)折頻率ωc時(shí)，擾動(dòng)能量幾乎不能在電網(wǎng)離散慣量模型中傳播。

對(duì)于網(wǎng)格型均勻電網(wǎng)，上述結(jié)論依然成立;對(duì)于網(wǎng)格型非均勻電網(wǎng)，由1.2 節(jié)結(jié)論可知，其轉(zhuǎn)折頻率是空間位置的函數(shù)，對(duì)應(yīng)的頻散分界點(diǎn)0.2ωc也是空間位置的函數(shù)。由于不同位置的頻散分界點(diǎn)不同，頻散現(xiàn)象在非均勻電網(wǎng)中難以直接觀察。

3 電網(wǎng)離散慣量模型中的局部振蕩

在電網(wǎng)均勻連續(xù)體介質(zhì)模型中，無(wú)論擾動(dòng)信號(hào)頻率的高低，都將在電網(wǎng)各處產(chǎn)生同頻率、同振幅的響應(yīng)。然而，對(duì)于電網(wǎng)離散慣量模型來(lái)說(shuō)，當(dāng)擾動(dòng)信號(hào)頻率ω大于轉(zhuǎn)折頻率ωc時(shí)，按照式(11)和式(13)可推導(dǎo)得

由式(21)可知，電網(wǎng)離散慣量模型中各發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子角增量的幅值并非恒定，而是關(guān)于擾動(dòng)信號(hào)頻率ω和發(fā)電機(jī)位置j 的函數(shù)。圖4為發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子角增量幅值比Aj/A0分別隨擾動(dòng)信號(hào)頻率ω 和發(fā)電機(jī)位置j 的變化曲線。

圖4 發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子角增量幅值比隨擾動(dòng)信號(hào)頻率及發(fā)電機(jī)位置的變化曲線Fig.4 The amplitude of rotor angle increments with respect to disturbance frequencies and generator locations

由圖4可知，在一維鏈?zhǔn)诫娋W(wǎng)中當(dāng)擾動(dòng)信號(hào)頻率大于轉(zhuǎn)折頻率時(shí)，各發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子角增量幅值均隨擾動(dòng)信號(hào)頻率增加而衰減，且距離擾動(dòng)源越遠(yuǎn)的發(fā)電機(jī)的衰減程度越大。在此，定義這種擾動(dòng)信號(hào)幅值在傳播過(guò)程中隨擾動(dòng)信號(hào)頻率和發(fā)電機(jī)位置增加而迅速衰減的現(xiàn)象為離散慣量模型中的局部振蕩。

局部振蕩是離散慣量模型的特有現(xiàn)象，可以認(rèn)為發(fā)電機(jī)具有對(duì)高頻擾動(dòng)信號(hào)的“濾波作用”。當(dāng)發(fā)生局部振蕩時(shí)，高頻擾動(dòng)信號(hào)將不能在電網(wǎng)中大范圍傳播。距離擾動(dòng)源較遠(yuǎn)的發(fā)電機(jī)只能觀測(cè)到較低頻率的振蕩成分，且振幅遠(yuǎn)小于擾動(dòng)源附近發(fā)電機(jī)的振幅。

通過(guò)以上分析可以得出，擾動(dòng)在一維鏈?zhǔn)诫娋W(wǎng)中傳播的幅值變化規(guī)律不僅受與擾動(dòng)點(diǎn)的距離影響，而且還與擾動(dòng)頻率強(qiáng)相關(guān)。根據(jù)擾動(dòng)源的不同頻率，擾動(dòng)傳播過(guò)程中將發(fā)生不同的現(xiàn)象，擾動(dòng)傳播過(guò)程中幅值變化規(guī)律也截然不同。轉(zhuǎn)折頻率ωc和0.2ωc是擾動(dòng)傳播現(xiàn)象的分界點(diǎn)，可將電網(wǎng)離散慣量模型中的擾動(dòng)按其頻率ω 與轉(zhuǎn)折頻率ωc的比例關(guān)系分為三類(見表1)。

表1 擾動(dòng)入射波頻率與頻散和局部振蕩的關(guān)系Tab.1 The correlation between frequency dispersion，local oscillation and the frequency of incident waves

4 算例分析

在PSD-BPA 仿真軟件中建立如圖1所示的50 機(jī)鏈?zhǔn)诫娋W(wǎng)，參數(shù)取實(shí)際電網(wǎng)中常見設(shè)備的典型參數(shù)。設(shè)發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均為20 264 kg˙m2，線路電壓220 kV，單位長(zhǎng)度電抗0.4 Ω/km，發(fā)電機(jī)間距100 km。穩(wěn)態(tài)時(shí)有10 MW 有功從G0輸送到G49。經(jīng)計(jì)算，該鏈?zhǔn)较到y(tǒng)的轉(zhuǎn)折頻率ωc為27.57 Hz。在發(fā)電機(jī)G0上施加不同頻率的不平衡有功擾動(dòng)，以驗(yàn)證電網(wǎng)離散慣量模型中的頻散效應(yīng)和局部振蕩效應(yīng)。

4.1 頻散效應(yīng)

根據(jù)上文分析可知，5.514 Hz(0.2ωc)是本系統(tǒng)頻散效應(yīng)的門檻值。為驗(yàn)證頻散現(xiàn)象與轉(zhuǎn)折頻率的關(guān)系，引入兩組頻率組合型的有功功率擾動(dòng)信號(hào)P1和P2，分別表示為

P1中的兩個(gè)擾動(dòng)頻率分別為1.4 Hz 和5.5 Hz，均小于0.2ωc;P2中的兩個(gè)擾動(dòng)頻率分別為10 Hz 和25 Hz，均大于0.2ωc。仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 擾動(dòng)傳播過(guò)程中的頻散效應(yīng)Fig.5 The frequency dispersion of disturbance propagations

圖5中沿縱坐標(biāo)從上至下分別為發(fā)電機(jī)G0～G49的轉(zhuǎn)子角變化曲線。由于P1中的擾動(dòng)頻率均小于0.2ωc，盡管圖5a 中各發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子角曲線變化周期較長(zhǎng)，變化程度較大，擾動(dòng)傳播過(guò)程中并未出現(xiàn)頻散效應(yīng)。而P2中的擾動(dòng)頻率均大于0.2ωc，圖5b 中在2 s時(shí)刻當(dāng)初始擾動(dòng)傳播至G12發(fā)電機(jī)時(shí)，已經(jīng)開始出現(xiàn)頻散效應(yīng)，波形在繼續(xù)傳播過(guò)程中發(fā)生了明顯的畸變(見圖5b 中的橢圓標(biāo)記區(qū)域)。

4.2 局部振蕩

轉(zhuǎn)折頻率ωc是電網(wǎng)離散慣量模型中局部振蕩的門檻值。圖6為當(dāng)擾動(dòng)頻率與轉(zhuǎn)折頻率的比值分別為0.8、1.0 和1.2時(shí)，50 機(jī)鏈?zhǔn)诫娋W(wǎng)的前5 臺(tái)發(fā)電機(jī)的轉(zhuǎn)子角增量曲線。

由圖6a 和圖6b 可得，當(dāng)擾動(dòng)信號(hào)頻率小于等于轉(zhuǎn)折頻率時(shí)，擾動(dòng)傳播過(guò)程中各發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子角增量幾乎沒(méi)有衰減，基本呈等幅振蕩。由圖6c 可得當(dāng)擾動(dòng)信號(hào)頻率大于轉(zhuǎn)折頻率時(shí)，沿?cái)_動(dòng)傳播方向上各發(fā)電機(jī)的轉(zhuǎn)子角增量幅值迅速衰減至穩(wěn)態(tài)值，與本文所提出的局部振蕩現(xiàn)象一致。

圖6 擾動(dòng)入射波的局部振蕩現(xiàn)象Fig.6 The local oscillations of incident wave of disturbances

5 結(jié)論

本文針對(duì)具有簡(jiǎn)化發(fā)電機(jī)及線路模型的一維鏈?zhǔn)诫娋W(wǎng)，從擾動(dòng)頻率和電網(wǎng)參數(shù)角度入手研究了離散慣量系統(tǒng)中擾動(dòng)傳播問(wèn)題，提出了鏈?zhǔn)诫娋W(wǎng)中用于判定擾動(dòng)傳播過(guò)程中幅值變化規(guī)律的轉(zhuǎn)折頻率ωc的概念。按照轉(zhuǎn)折頻率可將電網(wǎng)擾動(dòng)信號(hào)劃分為ω≤0.2ωc，0.2ωc＜ω ＜ωc和ω≥ωc三個(gè)頻段。指出當(dāng)擾動(dòng)信號(hào)頻率屬于不同頻段時(shí)，在擾動(dòng)傳播過(guò)程中將發(fā)生不同現(xiàn)象。

擾動(dòng)信號(hào)的高頻分量(ω≥ωc)在傳播過(guò)程中會(huì)迅速衰減，因而其影響范圍有限，說(shuō)明發(fā)電機(jī)具有濾除高頻擾動(dòng)信號(hào)的作用。中頻擾動(dòng)信號(hào)(0.2ωc＜ω ＜ωc)能在電網(wǎng)中傳播，但會(huì)發(fā)生頻散效應(yīng)，導(dǎo)致傳播過(guò)程中波形的畸變。低頻擾動(dòng)信號(hào)(ω≤0.2ωc)則能持續(xù)在電網(wǎng)中傳播且保持波形不變。

雖然本文的研究對(duì)象是一維鏈?zhǔn)诫娋W(wǎng)，但實(shí)際電網(wǎng)中的擾動(dòng)傳播現(xiàn)象(如轉(zhuǎn)折頻率、頻散效應(yīng)和局部振蕩現(xiàn)象等)有類似一維情形之處。本文闡明的機(jī)理有助于從根本上認(rèn)識(shí)實(shí)際電網(wǎng)中擾動(dòng)傳播規(guī)律，對(duì)于開展電網(wǎng)擾動(dòng)影響預(yù)測(cè)及基于擾動(dòng)傳播理論的電網(wǎng)安全控制方法研究具有的啟發(fā)意義。

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