李 濤 陳巍家

（湖南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院 長沙 410082）

0 引言

在電力系統(tǒng)中，變壓器作為電力能源變送和分配的主要樞紐，其安全性和穩(wěn)定性對電網(wǎng)穩(wěn)定運(yùn)行至關(guān)重要。因此，對變壓器的檢修是必不可少的。

目前，廣泛使用的變壓器在線檢測方法主要有：油中氣體分析法（Dissolved Gas Analysis，DGA）和糖醛分析法。DGA 可以知道變壓器內(nèi)部的故障程度，但是并不能發(fā)現(xiàn)故障的具體位置，同時靈敏度不高，故障發(fā)現(xiàn)相對滯后[1-3]。糖醛分析法檢測絕緣層老化情況，對使用了一定年限的變壓器檢測效果較好，但是對于新安裝的變壓器檢測效果不佳[4,5]。此外還可以直接通過紅外線來監(jiān)測變壓器的內(nèi)部的溫度，或者直接在變壓器內(nèi)部安裝攝像頭進(jìn)行視頻監(jiān)控，利用圖像識別技術(shù)發(fā)現(xiàn)變壓器內(nèi)部機(jī)械故障[6]。近年來，國內(nèi)外學(xué)者引入模糊理論、灰色理論等方法將以上提到的各種在線監(jiān)測實(shí)驗(yàn)和歷史數(shù)據(jù)、運(yùn)工狀況信息進(jìn)行綜合嘗試著建立一個系統(tǒng)的變壓器狀態(tài)評估體系[7-9]。本文提出的基于符號動力學(xué)的在線檢測方法可以作為該體系考量的重要指標(biāo)之一。

本文提出了基于符號動力學(xué)的對變壓器內(nèi)部早期故障進(jìn)行檢測并對變壓器的運(yùn)行狀態(tài)進(jìn)行評估的方法。首先通過仿真變壓器的內(nèi)部故障狀態(tài)，獲取故障狀態(tài)下的電流數(shù)據(jù)運(yùn)用符號動力學(xué)方法與同負(fù)載下正常電流數(shù)據(jù)對比，以驗(yàn)證有效性。文中使用符號動力學(xué)模型中的共同信號指標(biāo)（Common Signal Index，CSI）來評估信號的畸變，同時，還將統(tǒng)計學(xué)方法柯爾莫戈洛夫-斯米爾洛夫檢驗(yàn)（Kolmgorov- Smirnov，KS）加入對比進(jìn)行輔助驗(yàn)證。目前常用的變壓器仿真方法分為數(shù)學(xué)關(guān)系仿真和矩陣表達(dá)仿真。數(shù)學(xué)關(guān)系通過建立變壓器的工作數(shù)學(xué)關(guān)系，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)函數(shù)來構(gòu)建整個仿真模型[10]。矩陣表達(dá)仿真通過描述變壓器各個繞組之間的物理量關(guān)系進(jìn)行仿真，同時，矩陣仿真方法還可以仿真變壓器所處的電網(wǎng)環(huán)境，因此該方法所考慮的環(huán)境因素變量較多[11]。為了較好地說明符號動力學(xué)的有效性，本文采取了數(shù)學(xué)關(guān)系仿真法，忽略了電網(wǎng)環(huán)境對變壓器內(nèi)部故障的影響。在完成仿真理論驗(yàn)證之后，本文將利用變壓器內(nèi)部故障的現(xiàn)場數(shù)據(jù)對符號動力學(xué)方法進(jìn)行進(jìn)一步驗(yàn)證。

1 變壓器內(nèi)部故障與仿真

1.1 變壓器內(nèi)部故障

常見的變壓器內(nèi)部電氣故障包括匝地短路、相間短路、匝間短路和鐵心故障。其中，匝間短路故障最為常見，因此本文將匝間故障作為仿真和實(shí)驗(yàn)的對象。本文的目標(biāo)是利用符號動力學(xué)的方法對早期內(nèi)部故障進(jìn)行有效檢測。

1.2 變壓器數(shù)學(xué)模型

本文介紹一種以磁鏈作為中間變量聯(lián)系電流和電壓的變壓器的數(shù)學(xué)模型[10]。

1.2.1 磁鏈方程

變壓器每一個繞組的磁通由主磁通和漏磁通組成，可以用如下公式表示

式中，1l?和l2?分別為繞組1 和2 的漏磁通；m?表示主磁通。

設(shè)繞組1 的匝數(shù)為N1，根據(jù)磁鏈的定義有

磁動勢乘磁阻等于磁通，式（3）改寫為

式中，繞組1 的磁動勢為N1i1；其漏磁通磁路的磁阻為Rml1；主磁通磁路磁阻為Rmm。

同理，對于繞組2 的磁鏈有

圖1 變壓器模型Fig.1 The model of transformer

根據(jù)磁鏈的定義，式（4）和式（5）可以改寫為

式中，L11、L22分別為繞組1 和繞組2 的自感；L12為互感。

L11可以看成是繞組1 的漏電感和電流i1單獨(dú)在繞組1 上起作用的電感的和。因此有

同理

根據(jù)匝比有

1.2.2 感應(yīng)電壓方程

根據(jù)感應(yīng)電壓的定義，在考慮匝數(shù)的情況下，磁鏈的變化率即為感應(yīng)電壓。利用式（5）的磁鏈表達(dá)式可以得到感應(yīng)電壓的表達(dá)式

考慮繞組的阻抗壓降，繞組端電壓的電壓公式為

1.2.3 仿真模型

使用磁鏈作為中間變量表示電壓，式（13）和式（14）可以表示為

式中

利用磁鏈表達(dá)式對式（17）和式（18）作變形得到

將式（20）和式（21）代入式（19）有

再用電流公式（20）和式（21）代入電壓公式（15）和式（16）得到積分形式的電壓和磁鏈的關(guān)系公式

這樣式（20）～式（24）就構(gòu)成了由磁鏈、電壓和電流描述的變壓的仿真模型。在仿真的時候如果要考慮鐵心飽和的情況，可以在式（22）中加入一項(xiàng)Δφ/xml，Δφ表示飽和磁通和當(dāng)前磁通的差值，這樣隨著繞組磁通的增加，主磁通不會無限增加，模擬了鐵心飽和的情況。

2 符號動力學(xué)技術(shù)

符號動力學(xué)起源于對動力系統(tǒng)的研究，但發(fā)展迅速，其研究領(lǐng)域已經(jīng)不局限于動力系統(tǒng)。由于符號動力學(xué)自身的特點(diǎn)，其在數(shù)據(jù)的表示、傳輸和線性代數(shù)，生物醫(yī)療等方面都有很好的應(yīng)用[12,13]。

在研究動力系統(tǒng)時符號動力學(xué)將系統(tǒng)狀態(tài)取值空間進(jìn)行劃分，每一個劃分表征系統(tǒng)的一個狀態(tài)。對系統(tǒng)的觀察結(jié)果是相空間中的一條軌道，用相應(yīng)的符號代表系統(tǒng)狀態(tài)之后，就獲取了符號化表達(dá)。這是對信號的粗?；枋?，同時保留了魯棒性和信號的特征。在故障檢測中，變壓器是非線性系統(tǒng)，正常和故障信號是變壓器系統(tǒng)的兩種不同狀態(tài)，故障的發(fā)現(xiàn)可以認(rèn)為是計算相空間中兩個信號軌道之間偏離程度。

符號動力學(xué)的第一步工作是通過相空間劃分將連續(xù)信號轉(zhuǎn)化為符號序列。相空間的劃分依賴于映射函數(shù)，最簡單一種映射函數(shù)的是單峰映射，其形式為ωn+1=f(μ,ωn)，這里的μ為參數(shù)或者參數(shù)的組合[14]。相空間劃分的目的是得到一個對原信號有最佳表達(dá)符號序列，因此可以依據(jù)信號的變化、最大熵或者分層的辦法對相空間進(jìn)行劃分[15]。本文采取基于最大熵的相空間劃分法，以保證符號化的序列最大限度地保留原信號的特征[15]。另外，在進(jìn)行序列化之前，為了確保算法的速度，可以選擇依據(jù)奈奎斯特抽樣定理對原信號進(jìn)行抽樣，減少信號的采樣點(diǎn)，以適應(yīng)檢測方法實(shí)時性的需求。

獲取了系統(tǒng)在不同狀態(tài)下的符號序列之后，就可以利用符號動力學(xué)來檢測信號差異程度。在故障檢測應(yīng)用中，符號動力學(xué)方法基于如下基本理論：①在較短的時間段內(nèi)，系統(tǒng)的行為可以看成是不變的；②如果系統(tǒng)發(fā)生故障，那么在一個較長的時間段內(nèi)這個故障可以被觀察到[16]。

在進(jìn)一步闡釋之前，先給出一些符號動力學(xué)定義[17]。詞：符號序列中，連續(xù)的一個或幾個符號的組合。字典：一個信號序列中，所有的可能出現(xiàn)的詞的組合。頻次：在這個字典中，某個詞出現(xiàn)的次數(shù)。頻率：在這個字典中，某個詞出現(xiàn)的次數(shù)與字典中詞數(shù)的比值。

2.1 構(gòu)建字典

每次考慮符號序列中的一個詞插入字典，詞的長度從1 開始增長直到規(guī)定的最大詞長Nmax。對于長度不足的詞，多余的符號位置用0 代替。字典的最后一列附加每一個詞對應(yīng)的頻率。圖2展示了字典的形成和結(jié)構(gòu)。字典的詞數(shù)可以用式（2）計算。

式中，N為序列中符號數(shù)。

圖2 字典的結(jié)構(gòu)Fig.2 The structure of the dictionary

2.2 CSI 共同信號指標(biāo)

共同信號指標(biāo)是衡量兩個信號差異程度的指標(biāo)。待比較的兩個信號經(jīng)過序列化之后轉(zhuǎn)換成字典，然后計算出字典中詞的頻率，CSI 是和詞頻有關(guān)的參考標(biāo)量。符號動力學(xué)中有下列5 種CSI 可以使用。

式中，N為兩個字典中都出現(xiàn)的詞的總數(shù)；fxi、fyi為信號在各自的字典中第i個詞的頻率。

2.3 信號比較

在仿真中，通過對比健康和故障狀態(tài)下的一次電流，可以確定在變壓器所處的運(yùn)行狀態(tài)，比較過程如圖3所示。為健康和故障狀態(tài)下的一次電流符號序列數(shù)據(jù)分別構(gòu)造兩個獨(dú)立的字典。

圖3 信號的比較Fig.3 The comparison of signals

逐行對比兩個字典選出相同的詞構(gòu)建新的共同詞字典，將詞在各自原字典中的頻率分別附加在字典最后，再通過CSI 公式計算差異程度。

2.4 KS 測試

KS 檢驗(yàn)也是用于檢查兩個信號相似程度的方法。它是一種統(tǒng)計學(xué)方法，已知兩個信號序列的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)，可以利用KS 算法得出衡量這兩個分布的差異的變量[18]。

已知容量為M和N的樣本X1X2…XM，Y1Y2…YN，對于所有的采樣點(diǎn)t，將兩個信號的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)定義為

在KS 測試中檢測兩種假設(shè)：

H0:FM(t) 對于所有的t都等于GN(t)

H1:至少有一個t使得 :FM(t) 不等于GN(t)

定義k為M和N的最大公約數(shù)。那么KS 雙邊雙樣本檢驗(yàn)統(tǒng)計量J可以被定義為

將X和Y歸并且按升序排列，用Z(i)表示其中的數(shù)據(jù)，那么J可以被寫成

當(dāng)樣本很大的時候，上面的雙邊雙樣本統(tǒng)計量J可以被寫成

式中，L=M+N。

對于大樣本定義概率[18]

定義Q函數(shù)為[18]

這樣計算得到檢驗(yàn)統(tǒng)計量J*即可代入Q函數(shù)求解概率，式（36）表示以什么樣的概率拒絕假設(shè)H0。

3 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

為了檢查符號動力學(xué)的有效性，本文分別在仿真數(shù)據(jù)和現(xiàn)場故障數(shù)據(jù)上做了實(shí)驗(yàn)。在正式實(shí)驗(yàn)之前，首先對5 個CSI 公式和MEP 算法進(jìn)行測試。

3.1 CSI 測試

通過一些簡單的序列數(shù)據(jù)來測試CSI，并且合理選擇算法中所用參數(shù)的數(shù)值。合理的CSI 應(yīng)該滿足隨著信號之間的差異程度變大，CSI 呈正相關(guān)或者反相關(guān)。

簡便起見，在CSI 測試中，本文使用了標(biāo)準(zhǔn)正弦信號和相位從 0°～90°移動的正弦信號進(jìn)行對比，對比結(jié)果如圖4所示。由圖4可知，CIS1和CSI5都整體隨著信號相位差異增大而減小，而CSI1的起始點(diǎn)為0.5，故本文接下來的測試將選擇CSI1作為信號差異度指標(biāo)。

圖4 CSI 的比較Fig.4 The comparison of CSIs

圖5給出了信號長度變化對CSI 的影響效果。由圖5可知，周期數(shù)的增長整體上會導(dǎo)致CSI 的變化速度減慢，影響區(qū)分能力。這是由于，周期變長會導(dǎo)致詞典中詞數(shù)的變多，從而每個詞的分?jǐn)?shù)頻率變小，最終將使得計算結(jié)果變小，整體上提高了兩個信號的相似度。因此，不需要太多的信號數(shù)據(jù)即可對故障進(jìn)行有效檢測。

圖5 信號長度的效果Fig.5 The effect of the length of the signal

圖6顯示增加字典字長，信號的粗?；潭认陆担瑢⒃黾訉π盘柕膮^(qū)分能力，但同時增加計算時間。因此本文取字長等于4。

圖6 字長的效果Fig.6 The effect of the word length

3.2 基于最大熵的相空間劃分法

當(dāng)對相空間進(jìn)行劃分的時候，直覺上可以知道，在信號變化較劇烈的地方應(yīng)該給予更多的符號進(jìn)行表達(dá)，而在信號單調(diào)變化的地方可以適當(dāng)減少劃分次數(shù)，因此基于最大熵的劃分與傳統(tǒng)的均勻劃分法不同，在劃分?jǐn)?shù)（即符號數(shù)）一定的情況下 MEP可以確保符號化序列保留原信號最大的信息量，即最大熵。算法主要流程如下：將原始序列按數(shù)值升序排序，N為序列長度，K為劃分?jǐn)?shù)，每連續(xù)的個（不大于N/K的最大整數(shù)）信號點(diǎn)作為一個區(qū)域?qū)π盘栠M(jìn)行序列化，通過計算每一種劃分的熵，選擇出最佳的相空間劃分。具體過程見參考文獻(xiàn)[15]。

MEP 算法中，門限參數(shù)e決定最終相空間的劃分?jǐn)?shù)目，門限取值和相空間數(shù)目呈反相關(guān)關(guān)系。

圖7所示為門限參數(shù)e對CSI 的影響效果。由圖7可知，隨著門限參數(shù)取值的減小對信號的區(qū)分能力逐漸增強(qiáng)，但同時需要更多的算法執(zhí)行時間。

圖7 參數(shù)e的效果Fig.7 The effect of the parametere

因此，需要在準(zhǔn)確度和計算時間上進(jìn)行取舍。為了達(dá)到區(qū)分的效果本文取門限參數(shù)e=0.2。

綜上所述，在后面的仿真測試中，本文將取最大字長等于4，門限參數(shù)e=0.2，進(jìn)一步做下面的測試。

3.3 仿真測試

利用前面介紹的仿真模型，本文實(shí)現(xiàn)了對變壓器匝間故障的仿真，仿真變壓器的參數(shù)如下：

利用仿真模型得到的數(shù)據(jù)，本文進(jìn)行了簡單的驗(yàn)證，在負(fù)載一定的情況下，仿真了變壓器內(nèi)部故障匝數(shù)不同的8 種情況（故障情況模擬阻抗下降為原來的70%），計算參數(shù)選取如上節(jié)所述，在計算之前，根據(jù)奈奎斯特定理對信號進(jìn)行了抽樣降低數(shù)據(jù)量以保證計算速度，得到表1 中的結(jié)果。

表1 變壓器匝間故障測試Tab.1 Test on the transformer internal fault data

由表1 可知，符號動力學(xué)可以檢測出信號差異，且隨著故障程度加深，信號的差異增大，CSI 數(shù)值逐漸減小。KS 檢驗(yàn)也體現(xiàn)了隨著信號差異程度變大，兩個信號是相同分布的概率逐漸降低。

圖8為變壓器匝間故障的測試結(jié)果。整個算法的時間復(fù)雜度為O(n2)[15,17]。符號動力學(xué)算法執(zhí)行的平均時間為0.877 0s，可以滿足實(shí)時檢測的要求。

圖8 變壓器匝間故障測試Fig.8 Test on the transformer internal fault data

需要補(bǔ)充的是，這里只對變壓器的內(nèi)部匝間故障應(yīng)用了符號動力學(xué)驗(yàn)證。但因?yàn)槠渌? 個內(nèi)部故障的本質(zhì)都是內(nèi)部絕緣系統(tǒng)的問題，故表現(xiàn)在電流方程（方程中各個字母代表的物理量如第1 節(jié)所述）中都是一個隨著時間緩慢減小的阻抗r1+jxl1[16]。因此 MEP相空間劃分結(jié)合CSI 的判斷方法適用于其他的變壓器內(nèi)部故障。

3.4 現(xiàn)場測試

本文取得了某變電站2012年3月1日11時35分變壓器區(qū)內(nèi)故障的一次電流數(shù)據(jù)。在電流數(shù)據(jù)上用符號動力學(xué)方法進(jìn)行分析，其結(jié)果見表2。

表2 變壓器現(xiàn)場數(shù)據(jù)測試Tab.2 Test on the field data of transformer

由于收集的數(shù)據(jù)表示變壓器內(nèi)部已經(jīng)發(fā)生短路，故計算得到的CSI 數(shù)值偏小，這樣的CSI 數(shù)值說明此時變壓器內(nèi)部已經(jīng)發(fā)生較嚴(yán)重的故障，這與實(shí)際情況吻合。實(shí)驗(yàn)表明在目標(biāo)信號較大的變化范圍中（從正常到短路），符號動力學(xué)算法的運(yùn)算時間穩(wěn)定，能夠判斷出信號差異程度，同時結(jié)合算法本身的魯棒性，可以認(rèn)為該方法具有一定的可靠性。根據(jù)上面的實(shí)驗(yàn)計算，用本文使用的參數(shù)和變壓器類型，可以簡單地設(shè)定狀態(tài)，當(dāng)CSI＜0.3時認(rèn)為變壓器需要檢修；0.3＜CSI＜0.4時處于警戒狀態(tài)；CSI＞0.4 說明變壓器還處在較健康的狀態(tài)。

4 結(jié)論

本文提出了一種新的基于符號動力學(xué)的變壓器在線故障檢測方法。在信號序列化過程中為了使粗?；栃蛄锌梢宰畲笙薅鹊乇Ａ粼盘柕奶卣?，本文引入了MEP 算法。在信號分析時使用CSI 作為故障程度的數(shù)值標(biāo)志，并根據(jù)CSI 為變壓器設(shè)置了健康、警戒、需要檢修三種狀態(tài)。結(jié)果分析中結(jié)合KS 檢驗(yàn)對比驗(yàn)證了符號動力學(xué)方法的有效性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，針對特定變壓器合理選取參數(shù)，符號動力學(xué)可以有效地發(fā)現(xiàn)變壓器的早期內(nèi)部故障，為狀態(tài)檢修提供了依據(jù)。此外，建立符號動力學(xué)檢測系統(tǒng)相對傳統(tǒng)的檢測系統(tǒng)來說需要更少的傳感器設(shè)備，是一種更為經(jīng)濟(jì)簡單的檢測手段。

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