郁嘉， 楊鵬飛， 嚴(yán)德

北京航空航天大學(xué) 航空科學(xué)與工程學(xué)院， 北京 100191

高超聲速飛行器模型不確定性影響分析

郁嘉*， 楊鵬飛， 嚴(yán)德

北京航空航天大學(xué) 航空科學(xué)與工程學(xué)院， 北京 100191

吸氣式高超聲速飛行器具有嚴(yán)重的彈性機(jī)體和推進(jìn)系統(tǒng)耦合的典型特征，其分析模型存在較大的不確定性，標(biāo)稱系統(tǒng)和真實(shí)系統(tǒng)之間存在偏差，因此研究不確定性對(duì)穩(wěn)定性的影響對(duì)于控制器設(shè)計(jì)具有重要意義。針對(duì)典型的乘波體構(gòu)型高超聲速飛行器，建立了氣動(dòng)/結(jié)構(gòu)/推進(jìn)相互耦合的動(dòng)力學(xué)模型，總結(jié)了建模中的不確定因素并將其以加性不確定模型的形式表示出來(lái)。以不確定性矩陣的最大奇異值為邊界模型，以不確定性矩陣的H∞范數(shù)來(lái)表示不確定性因素對(duì)穩(wěn)定性影響的大小，并通過(guò)不確定性矩陣的邊界曲線分析不確定因素對(duì)模態(tài)特性的影響。結(jié)果表明，慣性因素的不確定性對(duì)穩(wěn)定性的影響最大，而且其對(duì)飛行器的短周期模態(tài)和彈性模態(tài)均有較大的影響；同時(shí)，對(duì)于這一類(lèi)飛行器的控制器設(shè)計(jì)必須考慮飛行器的彈性自由度。

高超聲速飛行器； 不確定性分析；H∞范數(shù)； 最大奇異值； 彈性自由度

吸氣式高超聲速飛行器由于其飛行范圍廣、飛行環(huán)境復(fù)雜、飛行速度快、氣動(dòng)加熱效應(yīng)明顯等因素，其氣動(dòng)、推進(jìn)及結(jié)構(gòu)都存在不同程度的不確定性[1-2]。同時(shí)，由于采用一體化設(shè)計(jì)，氣動(dòng)、推進(jìn)及結(jié)構(gòu)等子系統(tǒng)存在強(qiáng)烈耦合[3]。這種耦合效應(yīng)可能將系統(tǒng)的不確定性放大，從而使飛行動(dòng)力學(xué)特性大大偏離設(shè)計(jì)目標(biāo)，甚至造成控制系統(tǒng)失效，X-43A在第一次試飛中失控就是因?yàn)椴淮_定性超出了控制系統(tǒng)穩(wěn)定性邊界。文獻(xiàn)[4]使用非概率區(qū)間方法分析了系統(tǒng)在參數(shù)變化時(shí)特征根的分布范圍，但是該分析方法無(wú)法定量地分析每種不確定因素對(duì)飛行器穩(wěn)定性和對(duì)不同模態(tài)影響的大小。文獻(xiàn)[5]中使用蒙特卡羅分析方法對(duì)X-43A的模型不確定性進(jìn)行了詳細(xì)分析，雖然該方法可以達(dá)到很高的精度，但是由于計(jì)算量大、計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)，使其在研究初期的應(yīng)用受到限制。因此，在高超聲速飛行器設(shè)計(jì)初期，快速簡(jiǎn)便地度量多源不確定性對(duì)飛行器穩(wěn)定性和模態(tài)特性的影響大小是高超聲速飛行器控制器設(shè)計(jì)中不可或缺的研究?jī)?nèi)容。

本文針對(duì)高超聲速飛行器的不確定性問(wèn)題，首先建立了高超聲速飛行器的動(dòng)力學(xué)模型；然后分析了高超聲速飛行器不確定性的物理本質(zhì)以及主要來(lái)源，分析了建模過(guò)程中引入的各種不確定性因素及其變化范圍；最后建立了不確定性矩陣模型，以不確定性矩陣的增益為邊界，在頻域范圍內(nèi)計(jì)算出不確定性邊界，度量不確定因素對(duì)高超聲速飛行器魯棒穩(wěn)定性影響的大小，并且分析了不確定因素對(duì)飛行器模態(tài)特性的影響。

1 高超聲速飛行器動(dòng)力學(xué)模型

本文以乘波體構(gòu)型的高超聲速飛行器作為研究對(duì)象，建立了剛體-彈性體耦合模型[6-8]。飛行器的布局如圖1所示。圖中：Lf為前體長(zhǎng)度；Ln為發(fā)動(dòng)機(jī)長(zhǎng)度；La為后體長(zhǎng)度；δe為升降舵偏角；δc為鴨翼偏角；τ1為前體偏角；τ2為后體偏角。

圖1 高超聲速飛行器布局示意圖Fig.1 Schematic diagram of hypersonic vehicle configuration

根據(jù)拉格朗日方程，采用穩(wěn)定軸坐標(biāo)系，高超聲速飛行器縱向剛體-彈性體耦合動(dòng)力學(xué)模型可以描述為

(1)

(2)

(3)

式中：Ad為擴(kuò)散器面積比，其值固定為1。阻力系數(shù)CD由于阻力的物理定義復(fù)雜，因此需要增加二次項(xiàng)進(jìn)行函數(shù)擬合，同時(shí)根據(jù)擬合精度需求，在計(jì)算復(fù)雜性可接受的情況下，增加了關(guān)于α+Δτ1的二次多項(xiàng)式。飛行器前后彈性角的變形位移分別近似為

(4)

2 模型不確定性分析

在進(jìn)行不確定性分析時(shí)，首先引入2個(gè)概念：名義系統(tǒng)和實(shí)際系統(tǒng)[10]。名義系統(tǒng)是指為了對(duì)飛行器進(jìn)行動(dòng)力學(xué)特性分析和控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)而得到的經(jīng)過(guò)處理的被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型。而實(shí)際系統(tǒng)就是指真實(shí)的物理系統(tǒng)。名義系統(tǒng)與實(shí)際系統(tǒng)的誤差稱為模型的不確定性。高超聲速飛行器的飛行速度和高度的跨度變化非常大，飛行環(huán)境也很復(fù)雜；同時(shí)高超聲速飛行器有別于人類(lèi)以前研究的所有類(lèi)型的飛行器，沒(méi)有可供參考的數(shù)據(jù)模型，其實(shí)際的模型信息是不可能準(zhǔn)確獲得的，所以高超聲速飛行器的不確定問(wèn)題尤為突出。因此對(duì)其不確定性的來(lái)源及大小研究是非常有必要的。

2.1 高超聲速飛行器不確定性來(lái)源分析

高超聲速飛行器的不確定性主要來(lái)源于以下幾個(gè)方面：

1) 當(dāng)飛行器的飛行馬赫數(shù)Ma超過(guò)6時(shí)就會(huì)產(chǎn)生真實(shí)氣體效應(yīng)，而真實(shí)氣體效應(yīng)會(huì)改變飛行器表面的壓力分布，從而改變飛行器氣動(dòng)力及氣動(dòng)力矩系數(shù)；另外，氣動(dòng)熱效應(yīng)會(huì)使發(fā)動(dòng)機(jī)的進(jìn)氣道和出氣道流場(chǎng)特征發(fā)生改變，這樣會(huì)改變飛行器的推力特性，造成不確定性[11]。

2) 采用機(jī)體/發(fā)動(dòng)機(jī)一體化設(shè)計(jì)氣動(dòng)外形，機(jī)身結(jié)構(gòu)彈性與氣動(dòng)特性和推進(jìn)系統(tǒng)相互影響所引起的不確定性。

3) 飛行過(guò)程中由于燃料消耗等原因造成飛行器質(zhì)量不斷減小，結(jié)構(gòu)彈性模態(tài)發(fā)生相應(yīng)的變化引起的不確定性。

4) 控制面的控制效率較亞、超聲速飛行時(shí)低得多，以及嚴(yán)重耦合所引起的不確定性。

5) 缺乏足夠的地面和飛行試驗(yàn)數(shù)據(jù)而造成的氣動(dòng)特性及推力特性數(shù)據(jù)的參數(shù)不確定性。

6) 傳感器、執(zhí)行器以及控制系統(tǒng)硬件自身的誤差產(chǎn)生的不確定性。

7) 建模過(guò)程中忽略各種高階模態(tài)引起的未建模動(dòng)態(tài)不確定性。

8) 在飛行過(guò)程中出現(xiàn)的各種未知干擾所造成的模型和參數(shù)不確定性。

2.2 不確定因素及其分類(lèi)

國(guó)外文獻(xiàn)中一般將不確定性分為結(jié)構(gòu)不確定性(Structured Uncertainty)和非結(jié)構(gòu)不確定性(Unstructured Uncertainty)[12-13]。在國(guó)內(nèi)文獻(xiàn)中大多將不確定性分為參數(shù)不確定性和動(dòng)態(tài)不確定性(非參數(shù)不確定性、未建模動(dòng)態(tài)不確定性)[10, 14-15]。參數(shù)不確定性是指系統(tǒng)的不確定性可以通過(guò)模型中有限個(gè)參數(shù)的攝動(dòng)來(lái)表示，體現(xiàn)為具體參數(shù)的不確定性。參數(shù)的攝動(dòng)可能會(huì)改變系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布進(jìn)而影響穩(wěn)定性和性能，但不會(huì)改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，因此又被稱為結(jié)構(gòu)化不確定性。動(dòng)態(tài)不確定性是指系統(tǒng)的不確定性不能僅僅用參數(shù)的攝動(dòng)來(lái)表示，而是通過(guò)被控對(duì)象的整體攝動(dòng)來(lái)表示。這種攝動(dòng)不僅改變了系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布和個(gè)數(shù)，通常也會(huì)改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，因此被稱為非結(jié)構(gòu)化不確定性。

2.3 參數(shù)不確定因素的變化范圍

根據(jù)文獻(xiàn)[9]可得，不同燃油情況下所對(duì)應(yīng)的質(zhì)量、慣性矩以及結(jié)構(gòu)彈性頻率的變化范圍(取50%燃油為標(biāo)稱狀態(tài))，具體如表1所示。除了控制指令參數(shù)的變化范圍設(shè)定在±20%以外，其他參數(shù)的變化范圍都設(shè)定在標(biāo)稱值的±10%范圍內(nèi)[10]。在此，10%和20%的不確定性都是假設(shè)的，是基于對(duì)于這一類(lèi)型的飛行器的有限經(jīng)驗(yàn)得出的。

表1 不同燃油情況下飛行器慣性參數(shù)的變化

Notes: 1 slug=14.593 9 kg; 1 ft= 0.304 8 m

3 不確定性模型

3.1 不確定模型的描述方法

系統(tǒng)的不確定性必須被表示成結(jié)構(gòu)不確定性形式或者非結(jié)構(gòu)不確定形式或者兩者的綜合。在頻域范圍內(nèi)不確定性的描述形式通常有2種：

(5)

(6)

3.2 不確定性矩陣的邊界模型

(7)

4 不確定性分析

4.1 參數(shù)不確定性分析

圖2 慣性因素不確定邊界和參數(shù)不確定邊界Fig.2 Uncertainty boundaries of inertia and parameters

采用和上面相同的方法研究剩下的不確定參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性影響的大小以及其對(duì)參數(shù)不確定性的貢獻(xiàn)。仿真結(jié)果如圖3所示。

4.2 不確定性矩陣的邊界模型

動(dòng)態(tài)不確定性分析的目的是要闡明在建模過(guò)程中是否要用一種具有不確定動(dòng)力學(xué)特性的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型，或者是就只用一種假設(shè)剛體模型，忽略所有的彈性自由度。

因此，僅由于忽略飛行器本體結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性所引起的加性不確定性矩陣可以表示為

(8)

實(shí)際系統(tǒng)和剛體模型傳遞函數(shù)矩陣之差可以表示為

(9)

(10)

圖4 參數(shù)不確定性邊界與參數(shù)+剛體不確定性邊界Fig.4 Parametric and parametric + rigid unstructured uncertainty boundaries

另外，將剛體不確定性Δrigid與控制量不確定大小進(jìn)行對(duì)比。假設(shè)飛行器的標(biāo)稱狀態(tài)為剛體模型，其傳遞函數(shù)矩陣為Grigid。加性剛體不確定性矩陣的定義和式(8)一樣。剛體誤差矩陣為

(11)

令p=p2，則其控制量參數(shù)不確定性矩陣為

Δp2=G-Grigid

(12)

Δp2和Δrigid的最大奇異值如圖5所示。由圖5能夠清楚地看出，在大部分的頻域范圍內(nèi)，由于假設(shè)飛行器為剛體而引起的不確定性比控制量不確定性大，尤其是在飛行器彈性模態(tài)處。

圖5 控制量不確定邊界和動(dòng)態(tài)不確定邊界Fig.5 Control effectiveness and rigid unstructured uncertainty boundaries

因此，在剛體假設(shè)下設(shè)計(jì)的控制律盡管有可能相對(duì)于參數(shù)不確定性具有魯棒性，但是對(duì)于動(dòng)態(tài)不確定性不具有魯棒性并且有可能導(dǎo)致短周期模態(tài)的不穩(wěn)。所以在針對(duì)于控制器設(shè)計(jì)的高超聲速飛行器建模中，忽略彈性模態(tài)是不可取的。

4.3 1階和3階彈性體模型不確定邊界對(duì)比

(13)

由前文的定義可知，Δ1=Δrigid。圖6給出了1階剛體不確定誤差矩陣為Δ1和3階剛體不確定誤差矩陣Δ3的不確定性邊界。從圖中可看出，1階剛體不確定誤差的最大值略大于3階剛體不確定誤差，并且在40 rad/s之前兩者的誤差不大，說(shuō)明兩者對(duì)于飛行器穩(wěn)定性的影響基本相同。所以從魯棒穩(wěn)定性的角度分析，基于1階彈性體模型設(shè)計(jì)的魯棒控制器能夠滿足穩(wěn)定性的要求，而且模型更加簡(jiǎn)單。

圖6 1階和3階剛體動(dòng)態(tài)不確定邊界Fig.6 Unstructured uncertainty boundaries of first-order and third-order

5 結(jié) 論

針對(duì)吸氣式高超聲速飛行器模型存在的不確定性問(wèn)題，以不確定性矩陣的最大奇異值為邊界模型，以不確定性矩陣的H∞范數(shù)來(lái)表示不確定性因素對(duì)穩(wěn)定性影響的大小，對(duì)比各個(gè)不確定來(lái)源對(duì)飛行器穩(wěn)定性影響的大小以及對(duì)各個(gè)模態(tài)的影響。仿真結(jié)果表明：

1) 在整個(gè)頻率范圍內(nèi)慣性因素的不確定性在不確定向量p中起主導(dǎo)作用，其不確定大小為75 dB，出現(xiàn)在彈性模態(tài)的模態(tài)頻率處。

2) 盡管飛行器在彈性模態(tài)頻率處具有較大的不確定性，但是假設(shè)飛行器為剛體會(huì)造成更大的不確定性。所以針對(duì)一個(gè)只考慮參數(shù)不確定性而忽略未建模結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性的剛體模型所設(shè)計(jì)的多變量魯棒控制器對(duì)于吸氣式高超聲速飛行器是無(wú)效的。

3) 1階彈性模型的不確定邊界稍大于3階彈性模型的不確定邊界。從穩(wěn)定性方面看，針對(duì)1階彈性體模型所設(shè)計(jì)的魯棒控制器完全能夠滿足穩(wěn)定性的要求，同時(shí)有利于簡(jiǎn)化控制器的設(shè)計(jì)。

[1] Bertin J J, Cummings R M. Fifty years of hypersonics: where we’ve been, where we’re going[J]. Progress in Aerospace Sciences, 2003, 39(6): 511-536.

[2] McNamara J J, Friedmann P P. Aeroelastic and aerothermoelastic analysis in hypersonic flow: past, present, and future[J]. AIAA Journal, 2011, 49(6): 1089-1122.

[3] Cockrell C E, Engelund W C, Bittner R D, et al. Integrated aeropropulsive computational fluid dynamics methodology for the Hyper-X flight experiment[J]. Journal of Spacecraft and Rockets, 2001, 38(6): 836-843.

[4] Zeng K C, Xiang J W. Uncertainty analysis of flight dynamic characteristics for hypersonic vehicles[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2013, 34(4): 798-808(in Chinese). 曾開(kāi)春， 向錦武. 高超聲速飛行器動(dòng)力學(xué)特性不確定分析[J]. 航空學(xué)報(bào)， 2013, 34(4): 798-808.

[5] Baumann E, Bahm C, Strovers B, et al. The X-43A six degree of freedom Monte Carlo analysis[C]∥AIAA Aerospace Sciences Meeting and Exhibit. Reston: AIAA, 2008.

[6] Oppenheimer M， Skijins T， Bolender M，et al. A flexible hypersonic vehicle model developed with piston theory, AIAA-2007-6399[R]. Reston: AIAA, 2007.

[7] Bolender M A, Doman D B. Nonlinear longitudinal dynamical model of an air-breathing hypersonic vehicle[J]. Journal of Spacecraft and Rockets, 2007, 44(2): 374-387.

[8] Parker J T, Serrani A, Yurkovich S, et al. Control-oriented modeling of an air-breathing hypersonic vehicle[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2007, 30(3): 856-869.

[9] Sigthorsson D O, Serrani A. Development of linear parameter-varying models of hypersonic air-breathing vehicles[C]∥Proceedings of the AIAA Guidance, Navigation, and Control Conference and Exhibit. Reston: AIAA, 2009: 2009-6282.

[10] Shi Z K, Wu F X, Wang P, et al. Robust control theory[M]. Beijing: National Defence Industry Press, 2003: 16-32 (in Chinese). 史忠科， 吳方向， 王蓓， 等. 魯棒控制理論[M]. 北京： 國(guó)防工業(yè)出版社， 2003: 16-32.

[11] Sun C, Fang Q, Yuan J P. A useful dynamic analysis of hypersonic vehicle and control law design using uncertainty parameter dynamics model[J]. Journal of Northwestern Polytechnical University, 2012, 30(4)： 497-502 (in Chinese). 孫沖， 方群， 袁建平. 具有模型參數(shù)不確定性的高超聲速飛行器動(dòng)態(tài)特性分析及控制律設(shè)計(jì)[J]. 西北工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)， 2012, 30(4): 497-502.

[12] Chavez F R, Schmidt D K. Uncertainty modeling for multivariable-control robustness analysis of elastic high-speed vehicles[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 1999, 22(1): 87-95.

[13] Zhou K, Doyle J C, Glover K. Robust and optimal control[M]. New Jersey: Prentice Hall, 1996: 197-205.

[14] Liu K Z, Yao Y. Linear robust control theory[M]. Beijing: Science Press, 2003: 5-9 (in Chinese). 劉康志， 姚郁. 線性魯棒控制[M]. 北京： 科學(xué)出版社，2013: 5-9.

[15] Wu M, He Y, She J H. Robust control theory[M]. Beijing: Higher Education Press, 2009: 2-15 (in Chinese). 吳敏， 何勇， 佘錦華. 魯棒控制理論[M]. 北京： 高等教育出版社， 2009: 2-15.

[16] Keshmiri S, Colgren R, Mirmirani M. Development of an aerodynamic database for a generic hypersonic air vehicle[C]∥AIAA Guidance, Navigation, and Control Conference and Exhibit. Reston: AIAA, 2005: 6257.

Tel: 010-82317509

E-mail: yujia@buaa.edu.cn

楊鵬飛 男， 碩士研究生。主要研究方向： 飛行動(dòng)力學(xué)與控制。

Tel: 010-82317509

E-mail: yangpengfeibuaa@126.com

嚴(yán)德 男， 博士， 講師。主要研究方向： 飛行力學(xué)與飛行安全。

Tel: 010-82317510

E-mail: yande@buaa.edu.cn

URL： www.cnki.net/kcms/detail/10.7527/S1000-6893.2014.0221.html

*Corresponding author. Tel.： 010-82317509 E-mail: yujia@buaa.edu.cn

Influence analysis of hypersonic flight vehicle model uncertainty

YU Jia*, YANG Pengfei, YAN De

SchoolofAeronauticScienceandEngineering,BeihangUniversity,Beijing100191,China

Air-breathing hypersonic flight vehicles are typically characterized by a significant degree of interaction between the highly elastic airframe and the propulsion system. Then it will result in dramatic uncertainty in the model of vehicle. So knowledge of the scale of the uncertainty to the vehicle is necessary during the process of control law design due to the enormous difference between the nominate system and the true system. A coupled longitudinal dynamical model is developed in this paper for a typical hypersonic waverider with parametric uncertainties depicted as add uncertainty model. According toH∞normandboundaryoftheuncertainmatrices’maximumsingularvalue,themagnitudeofeachuncertainfactor’sinfluenceonthestabilityofvehicleandthecharacteristicsofthemodeismeasured.Theresultsindicatethattheinertiapropertyhasasignificantinfluenceonstabilityandalsohasdramaticeffectontheshort-periodmodeandelasticmodeofthevehicle.Itisalsoshownthattheflexibledegreesoffreedommustbeconsideredintheflight-controlsynthesisforthiskindofvehicle.

hypersonic vehicle; uncertainty analysis;H∞norm；maximumsingularvalue;flexibledegreesoffreedom

2014-08-07； Revised： 2014-08-28； Accepted： 2014-09-10； Published online： 2014-09-16 15:58

2014-08-07; 退修日期： 2014-08-28; 錄用日期： 2014-09-10; 網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間： 2014-09-16 15：58

www.cnki.net/kcms/detail/10.7527/S1000-6893.2014.0221.html

Yu J, Yang P F, Yan D. Infulence analysis of hypersonic flight vehicle model uncertainty[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2015, 36(1): 192-200. 郁嘉， 楊鵬飛， 嚴(yán)德． 高超聲速飛行器模型不確定性影響分析[J]． 航空學(xué)報(bào), 2015, 36(1): 192-200.

http://hkxb.buaa.edu.cn hkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2014.0221

V

A

1000-6893(2015)01-0192-09

郁嘉 男， 博士， 講師。主要研究方向： 飛行力學(xué)與飛行安全。

*通訊作者.Tel.： 010-82317509 E-mail: yujia@buaa.edu.cn