唐義甲，韓修林

阜陽師范學(xué)院物理與電子工程學(xué)院,安徽阜陽,236037

附加δ勢壘的一維半無限深勢阱

唐義甲，韓修林

阜陽師范學(xué)院物理與電子工程學(xué)院,安徽阜陽,236037

通過對添加δ勢壘的一維半無限深勢阱的薛定諤方程進行求解，得到了粒子運動的波函數(shù)和能級的相關(guān)公式。分析發(fā)現(xiàn)，δ勢壘的添加以及它的強度與位置的變化對能級都有影響，附加δ勢后,一維粒子的能量變大,能級變得復(fù)雜，束縛態(tài)增加，基態(tài)粒子受δ勢影響較大；且能級越高的粒子受δ勢影響越小，最后Mathematica作圖顯示了這一現(xiàn)象。

δ勢壘;一維無限深勢阱;定態(tài)薛定諤方程；波函數(shù)；能級

文獻[1-2]討論了一維半無限深勢阱的能級問題，文獻[3-4]討論了中央含有δ勢壘的無限深勢阱的束縛態(tài)能級。本文討論在一維半無限深勢阱內(nèi)添加一個δ勢壘的情況下，它的能級將會發(fā)生怎樣的變化。具體討論δ勢壘的位置或強度發(fā)生變化時，會對能級產(chǎn)生怎樣的影響。以下采用理論分析、數(shù)值計算與作圖顯示相結(jié)合的方法，對這些問題進行深入探究。

1 問題及其分析

1.1 問題

質(zhì)量為m的粒子在一個內(nèi)部有一個δ勢壘的一維半無限深勢阱中運動，設(shè)勢能為(圖1)：

(1)

其中，μ是描述勢壘位置的無量綱參數(shù)，取值區(qū)間為(0，1)。粒子的波函數(shù)與能量滿足定態(tài)薛定諤方程：

(2)

圖1 附加δ勢壘的一維半無限深勢阱

利用該方程可以計算出粒子的波函數(shù)及能級的相關(guān)表達式。

1.2 分析

考慮到勢能的不連續(xù)性，粒子的波函數(shù)可以分為四段：

(3)

由于粒子束縛態(tài)粒子能量的有限性，在勢能為無窮大的區(qū)間內(nèi)波函數(shù)應(yīng)為零，即第零段波函數(shù)ψ0(x)=0。

在勢阱內(nèi)部區(qū)域，定態(tài)薛定諤方程的形式為：

(4)

上式可以簡化為：

ψ″+[k2-aλ2δ(x-μa)]ψ=0

(5)

其中k2=2mE/h2,λ2=2mV0/h2

(6)

在勢阱外x>a區(qū)域，定態(tài)薛定諤方程的形式為：

(7)

由束縛態(tài)條件知E

ψ″-κ2ψ=0

(8)

(9)

1.3 綜合

由在x=0處波函數(shù)的連續(xù)性得到邊界條件：

ψ1(0)=ψ0(0)=0

(10)

在x=μa處，由于有一個δ勢壘，因此連接條件成為：

ψ2(μa+0)=ψ1(μa-0)=ψ(μa)

(11)

在x=a處，連接條件為[6]：

(lnψ3)′(a+0)=(lnψ2)′(a-0)

(12)

當(dāng)x趨向無窮遠時，由束縛態(tài)波函數(shù)的歸一化要求，得到邊界條件：

ψ3(∞)=0

(13)

2 定態(tài)薛定諤方程的解

2.1 分段解

由方程(5)得到第一段的波函數(shù)為：

ψ1(x)=Asinkx+A1coskx

(14)

考慮到邊界條件(10)后，上式簡化為：

ψ1(x)=Asinkx

(15)

由方程(8)得到第三段的波函數(shù)為：

ψ3(x)=Ce-κx+C1e+κx

(16)

考慮到邊界條件(13)后，上式簡化為：

ψ3(x)=Ce-κx

(17)

由方程(5)還得到第二段的波函數(shù)為：

ψ2(x)=Bsin(kx+φ)

(18)

于是連接條件(12)成為：

kcot(ka+φ)=-κ

(19)

連接條件(11)成為：

kcot(kμa+φ)-kcot(kμa)=aλ2

(20)

2.2 整體解

綜合上面的結(jié)果，得到波函數(shù)的整體表達式：

(21)

其中，系數(shù)A、B和C由連續(xù)性條件和歸一化條件確定；在能量為已知的條件下，立刻可以計算出參數(shù)k,κ，而φ可由(19)或(20)式確定。

2.3 能量本征值

定態(tài)薛定諤方程是一個本征值問題，確定能量本征值在物理上有重要意義，下面來討論如何確定能量本征值的問題。

顯然(19)與(20)式為兩個獨立的等式，在一般情況下兩者并不等價，僅僅對一些特定的能量值兩者才可能一致。因此，(19)與(20)式的相容性條件就確定了能量的本征值，即能量本征值可以通過把這兩個方程聯(lián)立求解而得到。

下面把與能量本征值相關(guān)的所有關(guān)系式都列出來。

k2=2mE/h2,λ2=2mV0/h2

(6)

(9)

kcot(ka+φ)=-κ

(19)

kcot(kμa+φ)-kcot(kμa)=aλ2

(20)

顯然，在上述關(guān)系式中λ,k1為參數(shù)；E可以由k確定，將k作為一個變量；因此，獨立的變量只有3個，即k,κ,φ。這3個獨立變量可以由3個獨立的方程確定：

cot(ka+φ)=-κ/k

cot(kμa+φ)-cot(kμa)=η/k,η=aλ2

(22)

3 能量本征值的計算

3.1 方程的化簡

為了便于計算能量本征值，先對方程組(22)進行化簡。在(22)式中消去κ，得到:

cot(kμa+φ)-cot(kμa)=η/k

(23)

由此可以進一步得到：

kμa+φ=arccot[cot(kμa)+η/k]

(24)

兩式相減消去變量φ得到：

-arccot[cot(kμa)+η/k]

(25)

上式兩邊求余切得到：

cot[(1-μ)ka]

(26)

上式中只有一個未知數(shù)k。

3.2 參數(shù)的約化

容易看出上式中有4個獨立的參數(shù)，即k1,a,η,μ。為了便于數(shù)值計算，還要設(shè)法減少參數(shù)。

首先，進行量綱分析，發(fā)現(xiàn)這些變量和參數(shù)的量綱分別為：

[k]=[k1]=[η]=L-1,

[a]=L, [μ]=1

(27)

將變量和參數(shù)組合為無量綱的量，即定義新的變量和參數(shù)：

K=ka,K1=k1a,H=ηa

(28)

則方程(26)成為：

(29)

現(xiàn)在只有一個無量綱變量K，它的物理意義與能量有關(guān)；三個無量綱參數(shù)K1、H和μ，它們分別代表外部勢壘高度、δ勢壘的強度和相對位置。

4 兩種情況的比較

4.1 不含δ勢壘的一維半無限深勢阱的情況

對于質(zhì)量為m，勢能為：

(30)

在0

(31)

在x>a的區(qū)域，一般解為[2,6-8]：

(32)

(33)

在x=a處，位勢只有有限躍變，故波函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)分別連續(xù)，或波函數(shù)對數(shù)的導(dǎo)數(shù)連續(xù)[5,10]：

(34)

將式(33)代入(34)得：

kacotka=-κa

(35)

式(35)無量綱化后的表達式是：

(36)

這與文獻[1,6]中的結(jié)果一致。

但是(35)式中的k,κ不獨立，由(31)(32)兩式可得：

(37)

令ξ=ka,η=k′a，則式(35)(37)化為：

此方程至少有一個解的條件[4-5]：

(38)

若在阱口剛好出現(xiàn)束縛態(tài)能級，則E≈V1，所以κ≈0。由(35)式得：

kacotka=0，即coska=0，得：

由此也可驗證(38)式。

4.2 添加δ勢壘的一維半無限深勢阱的情況

對于含有δ勢壘的情況，當(dāng)阱邊恰好出現(xiàn)能級時，有E≈V1，由式(6)(9)知：κ≈0。

又由式(19)(20)知：

又在同一個周期內(nèi)：kμa+φ

5 運用Mathematica作圖顯示δ勢壘的影響

添加δ勢壘后，能級的相關(guān)公式為：

(29)

令τ=log2H,取K1=10不變[10],運用Mathematicaδ勢壘位置和強度求[11]。

5.1δ勢壘位置的影響

當(dāng)τ為0，1，2，3，…，10，μ分別取0.1到0.9之間的數(shù)值時，K的數(shù)值解(只取基態(tài)值)如表1所示。

表1 δ勢壘位置的影響下μ、τ、K的基態(tài)解之間變化關(guān)系數(shù)值分析表

利用表1數(shù)據(jù)作圖如下：

當(dāng)τ分別取0，1，2，…，10時，K隨μ的變化圖形如圖3。

由圖3可以看出，當(dāng)τ=0時，H=1,即δ勢壘很低時，μ值的變化對基態(tài)能級的影響并不大，隨著τ的增大，μ值的影響也越明顯。當(dāng)μ處于0.55左右時，對基態(tài)能級的影響最大，兩側(cè)逐漸減小。

5.2δ勢壘強度的影響

當(dāng)μ分別取0.1，0.2，…，0.9之間的數(shù)值，τ為-7，-6，…，-2，-1，0，1，2，3，…，10時，K的數(shù)值解(只取基態(tài)值)如表2所示。

表2 δ勢壘強度的影響下μ、τ、K的基態(tài)解之間變化關(guān)系數(shù)值分析表

利用表2數(shù)據(jù)作圖如圖4。

當(dāng)μ分別取0.1,0.2,0.3，…，0.9時，K隨τ的變化圖形如圖4。

圖4可以看出，在一定范圍內(nèi)K值隨著τ值的增大而增大；而當(dāng)τ增大到某個值或減小到某個值時，K值達到穩(wěn)定不再變化。K的最小值與μ無關(guān)，約為2.85；而K的最大值隨著μ的不同而有所不同。

6 特殊情形

6.1 情形一

當(dāng)τ→-∞時，H→0，此時模型變?yōu)橐痪S半無限深勢阱。

由上文討論的不含δ勢壘的一維半無限深勢阱的情況可知與能級有關(guān)的表達式為：

(36)

同樣地，取K1=10，運用Mathematica求得基態(tài)時K≈2.8523，這與圖4中τ→-∞時所得結(jié)果一致。

6.2 情形二

由一維無限深勢阱的能級公式得：

表3 δ勢壘的影響下一維無限深勢阱的基態(tài)能級下μ、K之間變化關(guān)系數(shù)值分析表

同樣地，取K1=10，運用Mathematica求得μ取不同的值時對應(yīng)的基態(tài)K值如表4所示。

表4 δ勢壘位置的影響下一維半無限深勢阱的基態(tài)能級下μ、K之間變化關(guān)系數(shù)值分析表

綜上可知，當(dāng)μ取不同的值時，整個一維半無限深勢阱中，當(dāng)τ→∞時對應(yīng)的基態(tài)K值如表5所示。

表5 δ勢壘強度的影響下一維半無限深勢阱的基態(tài)能級下μ、K之間變化關(guān)系數(shù)值分析表

這與圖4中τ→∞時所得結(jié)果一致。

6.3 情形三

當(dāng)μ=1/2，V1=∞，即K1=∞時，該模型成為中央有δ勢壘的無限深勢阱，將條件代入(29)式得到：

(33)

(34)

(35)

這個結(jié)果與文獻[3]所得結(jié)果完全一致。

7 結(jié)束語

通過上面的理論推導(dǎo)與數(shù)值分析，討論了在添加δ勢壘的一維半無限深勢阱中運動的粒子的能級的影響因素，得到了如下結(jié)論：

(1)對于給定勢壘高度K1的一維半無限深勢阱，δ勢壘的添加會使束縛態(tài)能級的量值增加，能級個數(shù)減少。

(2)通過數(shù)值計算及作圖分析，發(fā)現(xiàn)δ勢壘的強度與位置對能級都會產(chǎn)生影響。當(dāng)δ勢壘處于勢阱中心偏右位置時能級最大，在K1=10的情況下，μ≈0.55，δ勢壘的強度H越大,位置的影響越明顯。

(3)當(dāng)δ勢壘的位置一定時，δ勢壘的強度H越大，能級越大。當(dāng)H→∞時，勢阱分裂為一維無限深勢阱和一維半無限深勢阱兩部分，并且由這兩部分求的基態(tài)能級與本文公式(29)中當(dāng)H→∞時求得的結(jié)果一致。

(4)適當(dāng)選取參數(shù)發(fā)現(xiàn)文獻[1][2]和[3]中的結(jié)果都是本文結(jié)果的特例，這表明了本文結(jié)論的普遍性和正確性。

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(責(zé)任編輯：汪材印)

10.3969/j.issn.1673-2006.2015.07.026

2015-01-30

國家自然科學(xué)基金項目“耀變體多波段光變特征研究”(11273008) ；阜陽師范學(xué)院教學(xué)研究項目“大學(xué)物理課程三維教學(xué)手段的改革與實踐”(2012JYXM61)；阜陽師范學(xué)院基礎(chǔ)教育研究項目“中學(xué)物理課堂演示實驗的研究與實踐”(2012JCJY21)。

唐義甲(1984-) ，安徽樅陽人，碩士，助理實驗師，主要研究方向:非線性光學(xué)材料高能粒子束輻照改性及防護。

O469

A

1673-2006(2015)07-0093-06