肖云湘, 李星野

(上海理工大學(xué)管理學(xué)院,上海 200093)

基于小波的回歸-GARCH模型及其在外匯儲(chǔ)備中的應(yīng)用

肖云湘, 李星野

(上海理工大學(xué)管理學(xué)院,上海 200093)

結(jié)合小波變換、多項(xiàng)式回歸和GARCH模型對(duì)中國(guó)的外匯儲(chǔ)備進(jìn)行分析及預(yù)測(cè).首先利用db4小波對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行去噪處理,并對(duì)去噪后的數(shù)據(jù)建立多項(xiàng)式回歸模型.由于去噪后的數(shù)據(jù)與回歸模型之間存在殘差,且殘差具有自回歸條件異方差效應(yīng),故對(duì)該殘差建立GARCH模型.然后將回歸模型和GARCH模型進(jìn)行線(xiàn)性疊加,從而得到基于小波分析的回歸-GARCH模型.最后將預(yù)測(cè)值與實(shí)際值進(jìn)行擬合,發(fā)現(xiàn)擬合效果較好.充分證明了小波變換、多項(xiàng)式回歸和GARCH模型相結(jié)合的方法在處理外匯儲(chǔ)備這類(lèi)具有明顯增長(zhǎng)趨勢(shì)的非平穩(wěn)時(shí)間序列時(shí),具有明顯的優(yōu)越性,是一項(xiàng)有用的分析預(yù)測(cè)工具.

小波;時(shí)間序列;多項(xiàng)式回歸;GARCH模型;外匯儲(chǔ)備

信號(hào)處理已廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)和金融等方面,其中,信號(hào)預(yù)測(cè),即時(shí)間序列預(yù)測(cè),在(宏觀)經(jīng)濟(jì)、統(tǒng)計(jì)、實(shí)證金融等領(lǐng)域中非常受歡迎.外匯儲(chǔ)備,又稱(chēng)為外匯存底,是一個(gè)國(guó)家當(dāng)局持有并可以隨時(shí)兌換外國(guó)貨幣的資產(chǎn),包括現(xiàn)鈔、黃金、國(guó)外有價(jià)證券等.持有外匯儲(chǔ)備是調(diào)節(jié)國(guó)際收支、穩(wěn)定貨幣匯率、實(shí)現(xiàn)內(nèi)外平衡的重要手段.中國(guó)的外匯儲(chǔ)備主要由四部分組成:一是巨額貿(mào)易順差;二是外國(guó)直接投資凈流入的大幅增加;三是外國(guó)貸款的持續(xù)增多;四是對(duì)人民幣升值預(yù)期導(dǎo)致的“熱錢(qián)”流入.在肯定外匯儲(chǔ)備增長(zhǎng)的正面效應(yīng)時(shí),其過(guò)度增長(zhǎng)也存在潛在的負(fù)面影響.例如,外匯儲(chǔ)備投資歐美國(guó)債就可能面臨以下風(fēng)險(xiǎn)[1]:保值增值功能的相對(duì)弱化、匯率風(fēng)險(xiǎn)、寬松政策下潛在的通貨膨脹風(fēng)險(xiǎn).簡(jiǎn)單地說(shuō),持有過(guò)多外匯儲(chǔ)備,可能因外幣匯率貶值而遭受損失,還要考慮機(jī)會(huì)成本問(wèn)題.為了能夠更確切地把握我國(guó)外匯儲(chǔ)備的增長(zhǎng)趨勢(shì),本文對(duì)1993年以來(lái)的外匯儲(chǔ)備數(shù)據(jù)進(jìn)行了建模,以此來(lái)預(yù)測(cè)短期內(nèi)我國(guó)外匯儲(chǔ)備的增長(zhǎng)趨勢(shì).

由于許多經(jīng)濟(jì)和金融時(shí)間序列都具有時(shí)變性,所以小波成為分析時(shí)間序列的好方法[2].盡管小波適用于很多領(lǐng)域,但其主要應(yīng)用熱點(diǎn)是經(jīng)濟(jì)和金融的多元研究,研究方向有密度估計(jì)、時(shí)間尺度分解、時(shí)間序列的相互依存關(guān)系識(shí)別和預(yù)測(cè)等.

外匯儲(chǔ)備數(shù)據(jù)中都或多或少地引入了噪聲,使預(yù)測(cè)精度受到了影響,對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行去噪是解決該問(wèn)題的方法之一.以往的去噪方法都是基于Fourier變換進(jìn)行的,基于小波變換的去噪技術(shù)與傳統(tǒng)的去噪方法相比,能夠在有效去除信號(hào)中噪聲的同時(shí),適當(dāng)保留信號(hào)的高頻部分,這是Fourier變換所不可比擬的.根據(jù)我國(guó)外匯儲(chǔ)備序列的特點(diǎn),研究發(fā)現(xiàn)該序列適合應(yīng)用小波分析、多項(xiàng)式回歸和GARCH模型相結(jié)合的預(yù)測(cè)方法.

1 研究現(xiàn)狀

截至2006年底,中國(guó)外匯儲(chǔ)備的規(guī)模突破萬(wàn)億美元大關(guān),已經(jīng)達(dá)到了10 663億美元,成為世界第一大外匯儲(chǔ)備國(guó).中國(guó)外匯儲(chǔ)備的持續(xù)高速增長(zhǎng)已經(jīng)引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注,不少學(xué)者從外匯儲(chǔ)備額的預(yù)測(cè)方面出發(fā),分析我國(guó)外匯儲(chǔ)備的走勢(shì).

最新對(duì)我國(guó)外匯儲(chǔ)備作出預(yù)測(cè)的是宋國(guó)青教授[3],他在2005年9月就明確指出:“按照目前勢(shì)頭,(我國(guó)外匯儲(chǔ)備)不久超過(guò)2萬(wàn)億美元是鐵定的,而其可能見(jiàn)頂于3萬(wàn)億美元.”但沒(méi)有提供具體的預(yù)測(cè)方法.2006年,盧峰[4]采用冪函數(shù)、線(xiàn)性函數(shù)、指數(shù)函數(shù)三種方法,擬合和預(yù)測(cè)我國(guó)的外匯儲(chǔ)備.但這三種方法對(duì)2020年外匯儲(chǔ)備的長(zhǎng)期預(yù)測(cè)相差甚大,實(shí)際效果不太好.第一種預(yù)測(cè)方法增長(zhǎng)趨勢(shì)比較均衡,推測(cè)到2020年我國(guó)外匯儲(chǔ)備應(yīng)約為1.1萬(wàn)億美元,這顯然與事實(shí)不符;第二種預(yù)測(cè)方法采取2002年以來(lái)外匯儲(chǔ)備實(shí)際增長(zhǎng)的線(xiàn)性趨勢(shì),到2020年也將達(dá)到3.5萬(wàn)億美元上下;第三種預(yù)測(cè)方法是極端假設(shè)繼續(xù)2002年以來(lái)指數(shù)增長(zhǎng)趨勢(shì),5年就會(huì)達(dá)到近5萬(wàn)億美元規(guī)模.無(wú)論第二、三種預(yù)測(cè)方法的結(jié)果如何,其研究數(shù)據(jù)均是2002—2005年的外匯儲(chǔ)備額,依據(jù)時(shí)間太短,而預(yù)測(cè)的時(shí)間又太長(zhǎng),顯然不恰當(dāng).2007年,張曙光等[5]進(jìn)一步提出了四種預(yù)測(cè)我國(guó)外匯儲(chǔ)備的方法,選擇1994—2005年間的外匯儲(chǔ)備額.第一種方法是指數(shù)增長(zhǎng)法估算,采用指數(shù)函數(shù)對(duì)外匯儲(chǔ)備變動(dòng)進(jìn)行回歸方程外推,得到2010年中國(guó)外匯儲(chǔ)備達(dá)到19 869.8億美元;第二種方法是組成部分加總法測(cè)算,根據(jù)國(guó)際收支平衡表,有恒等式:經(jīng)常賬戶(hù)余額+資本賬戶(hù)余額=儲(chǔ)備資產(chǎn)變動(dòng)+凈誤差與遺漏,該方法分別估算出每一組成部分,預(yù)測(cè)2010年外匯儲(chǔ)備約為2.5萬(wàn)億美元;第三種方法是年平均增長(zhǎng)率估算,預(yù)計(jì)2010年外匯儲(chǔ)備將達(dá)到2.88萬(wàn)億美元;第四種方法是將以上三種方法的估計(jì)取平均,得到2010年外匯儲(chǔ)備將達(dá)到2萬(wàn)億美元.之后也有不少學(xué)者提出對(duì)我國(guó)外匯儲(chǔ)備額趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)的方法,但這些研究方法均沒(méi)有考慮到外界(即噪聲)對(duì)外匯儲(chǔ)備的影響.

2 理論模型

2.1 小波變換理論

小波變換[6]是通過(guò)伸縮和平移等運(yùn)算對(duì)函數(shù)或信號(hào)進(jìn)行多尺度的細(xì)化分析,利用多分辨率分析得到更多信息[7].

設(shè)ψ(t)∈L2(?),其傅立葉變換為^ψ(ω),當(dāng)^ψ(ω)滿(mǎn)足允許條件(完全重構(gòu)條件或恒等分辨條件)

式中,a為伸縮因子,a≠0;b為平移因子.對(duì)于任意的函數(shù)f(t)∈L2(?),其連續(xù)小波變換為

Daubechies小波系是法國(guó)學(xué)者Daubechies從兩尺度方程系數(shù){hk}出發(fā)設(shè)計(jì)出來(lái)的離散正交小波的總稱(chēng).一般簡(jiǎn)寫(xiě)為db N,N是小波的序號(hào),小波函數(shù)和尺度函數(shù)的支撐區(qū)為2N-1,小波函數(shù)的消失矩為N.

從數(shù)學(xué)上看,小波去噪問(wèn)題的本質(zhì)是函數(shù)的非線(xiàn)性逼近問(wèn)題;從信號(hào)學(xué)角度看,小波去噪屬于信號(hào)的濾波問(wèn)題.

首先對(duì)信號(hào)進(jìn)行小波分解,這需要選擇適當(dāng)?shù)男〔ê瘮?shù)并確定其分解層次(N),通常噪聲部分包含在高頻中.然后對(duì)小波分解的高頻系數(shù)進(jìn)行門(mén)限閾值量化處理,根據(jù)小波分解的第N層低頻系數(shù)和經(jīng)過(guò)量化后的1～N層高頻系數(shù)進(jìn)行小波重構(gòu),達(dá)到消除噪聲的目的.

關(guān)鍵是如何選擇閾值和如何進(jìn)行門(mén)限閾值處理,在某種程度上,它關(guān)系到信號(hào)去噪的質(zhì)量.在對(duì)小波系數(shù)作門(mén)限閾值處理操作時(shí),可以使用軟閾值處理方法或硬閾值處理方法.一般來(lái)說(shuō),硬閾值比軟閾值處理后的信號(hào)更粗糙一些[8].

2.2 GARCH模型

Bolloerselev[9]提出的廣義自回歸條件異方差(GARCH)模型是對(duì)Engle提出的自回歸條件異方差(ARCH)模型的拓展,有均值方程和方差方程兩個(gè)方程,能更加有效地捕捉金融時(shí)間序列條件方差的動(dòng)態(tài)特征,也能較好地描述金融時(shí)間序列的尖峰厚尾性[10].

把式(5)中的t替換為t+1,就可以得到領(lǐng)先一步的預(yù)測(cè).由此可知,GARCH模型描述的是均方誤差的平均大小隨時(shí)間的變動(dòng).雖然GARCH模型具有良好的預(yù)測(cè)能力,但所獲得的結(jié)果仍依據(jù)時(shí)間段的不同而有所不同,歸根結(jié)底還取決于時(shí)間序列上的波動(dòng)結(jié)構(gòu).

可以準(zhǔn)確預(yù)測(cè)的方法至今仍然沒(méi)有被發(fā)現(xiàn),每種方法都有自己的優(yōu)點(diǎn),而且也從統(tǒng)計(jì)學(xué)上證明了這些方法獲得的良好結(jié)果.本文預(yù)測(cè)模型將不僅僅是象許多計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型那樣直接對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè),而是應(yīng)用于小波去噪后的序列,在序列建模時(shí),可以提高預(yù)測(cè)精度.

本文所提出的模型如圖1所示,每個(gè)模塊的相應(yīng)描述在第三部分給出.

圖1 預(yù)測(cè)模型Fig.1 Prediction model

3 實(shí)證分析

選取1993年1月至2012年12月間我國(guó)外匯儲(chǔ)備的月度數(shù)據(jù)(數(shù)據(jù)來(lái)源于國(guó)家外匯管理局網(wǎng)站),共240個(gè)數(shù)據(jù),如圖2所示.

圖2 1993年1月至2012年12月的外匯儲(chǔ)備Fig.2 Foreign exchange reserves from Jan.1993 to Dec.2012

3.1 小波去噪

db N小波是有限緊支撐正交小波,具有正交性和較好的降噪性[11].這個(gè)小波函數(shù)的消失矩N越大,小波函數(shù)越光滑,支撐長(zhǎng)度越長(zhǎng),但小波變換的計(jì)算將會(huì)增加延長(zhǎng).因此,選取db4小波來(lái)分析問(wèn)題.由于預(yù)測(cè)結(jié)果是從小波分解序列的去噪結(jié)果得到,且分解過(guò)程中存在誤差,分解的層數(shù)越多,誤差就越大,越不利于預(yù)測(cè)模型.經(jīng)過(guò)具體計(jì)算,本文分解的尺度為3.圖3為用默認(rèn)閾值去噪方法處理后的外匯儲(chǔ)備.可見(jiàn),默認(rèn)閾值去噪在除去大部分噪聲的同時(shí),很好地保留了原始數(shù)據(jù)的波動(dòng)趨勢(shì),說(shuō)明去噪是合適的.

圖3 默認(rèn)閾值去噪后的外匯儲(chǔ)備Fig.3 Foreign exchange reserves afterdenoising of default threshold

3.2 建立多項(xiàng)式回歸模型

由圖3可以看出,去噪后的序列適合建立自變量為時(shí)間,因變量為外匯儲(chǔ)備的二次多項(xiàng)式.

在一般情況下,不能要求近似曲線(xiàn)嚴(yán)格地通過(guò)所有數(shù)據(jù)點(diǎn),亦即不能要求所有擬合曲線(xiàn)函數(shù)在所有自變量處的偏差(即殘差)都嚴(yán)格地趨于零.為了方便計(jì)算、分析與應(yīng)用,較多根據(jù)“偏差平方和最小”(即最小二乘法)的原則,來(lái)選取擬合曲線(xiàn).

用最小二乘法所得的二次方程為

式中,R2為復(fù)可決系數(shù),是模型擬合優(yōu)度的指標(biāo), R2越接近于1,模型擬合越好;F,DW為檢驗(yàn)值,分別用于檢驗(yàn)方程的顯著性和序列的自相關(guān).從回歸估計(jì)的結(jié)果可以看出,擬合度較好.去噪序列與回歸序列的對(duì)比如圖4所示.

圖4 去噪序列與回歸序列的對(duì)比Fig.4 Denoised series vs regression series

3.3 建立GARCH模型

建立GARCH模型的前提是數(shù)據(jù)平穩(wěn).所以,在對(duì)去噪序列與多項(xiàng)式的殘差序列Zt(圖5)進(jìn)行建模前,首先要確定其平穩(wěn)性.

圖5 殘差序列Fig.5 Residual series

使用ADF檢驗(yàn)方法對(duì)殘差序列Zt的平穩(wěn)性進(jìn)行檢驗(yàn).換而言之,當(dāng)計(jì)算得到的t統(tǒng)計(jì)量的值小于臨界值時(shí),拒絕原假設(shè)(即否定存在單位根).表1結(jié)果顯示,t統(tǒng)計(jì)量的值大于在1%,5%和10%顯著性水平下的臨界值,該殘差序列存在單位根,是非平穩(wěn)時(shí)間序列,其中P為t對(duì)應(yīng)的概率值.

表1 殘差序列的ADF檢驗(yàn)Tab.1 ADF test of residual series

如要構(gòu)造GARCH模型,就得對(duì)該非平穩(wěn)序列進(jìn)行平穩(wěn)化處理,然后才能對(duì)其進(jìn)行預(yù)測(cè).該殘差序列沒(méi)有指數(shù)趨勢(shì),通過(guò)差分就可以消除其線(xiàn)性趨勢(shì).即對(duì)Zt做差分

經(jīng)過(guò)試驗(yàn),對(duì)該序列進(jìn)行兩次差分后,其ADF檢驗(yàn)的結(jié)果如表2所示.在1%,5%和10%顯著性水平下,單位根檢驗(yàn)的臨界值分別為-3.459 494, -2.874 258,-2.573 625,均大于-8.137 927,拒絕原假設(shè),即認(rèn)為是平穩(wěn)序列.

表2 殘差序列二次差分的ADF檢驗(yàn)Tab.2 ADF test of 2nddifference residual series

用ARCH-LM方法檢驗(yàn)Zt的殘差序列發(fā)現(xiàn)其存在高階ARCH效應(yīng),運(yùn)用GARCH模型,能較好地消除殘差序列中的條件異方差.經(jīng)過(guò)多次試驗(yàn),根據(jù)AIC最小的原則,對(duì)Zt建立的GARCH模型為

3.4 線(xiàn)性疊加

將用多項(xiàng)式模型得到的序列和用GARCH模型得到的序列進(jìn)行線(xiàn)性疊加,就可以得到我國(guó)外匯儲(chǔ)備的95%置信度的預(yù)測(cè)區(qū)間,如圖6所示.

圖6 實(shí)際值與預(yù)測(cè)值Fig.6 Actual values vs predicted values

圖7為2012年1—12月的實(shí)際值與預(yù)測(cè)值.可以發(fā)現(xiàn),模擬效果較好,即本文提出的算法對(duì)結(jié)果有積極的影響.

圖7 2012年1—12月的實(shí)際值與預(yù)測(cè)值Fig.7 Actual values vs predicted values from Jan.to Dec.in 2012

4 結(jié) 論

給出了結(jié)合小波變換、多項(xiàng)式回歸和GARCH模型來(lái)處理我國(guó)外匯儲(chǔ)備序列的方法.該方法在處理外匯儲(chǔ)備這類(lèi)有明顯增長(zhǎng)趨勢(shì)的非平穩(wěn)時(shí)間序列時(shí),具有明顯的優(yōu)越性,是一項(xiàng)有用的分析預(yù)測(cè)工具.根據(jù)該方法預(yù)測(cè)可知,如果政府沒(méi)有采取一系列的措施,我國(guó)的外匯儲(chǔ)備2013年中期超越3.5萬(wàn)億美元,繼續(xù)保持全球第一,這么龐大的外匯儲(chǔ)備遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)正常所需.長(zhǎng)期的國(guó)際收支不平衡與資本順差累積可能會(huì)引起許多金融問(wèn)題,使我國(guó)在一定程度上喪失貨幣政策操作的主動(dòng)權(quán),長(zhǎng)期處于減輕人民幣升值與抑制通貨膨脹的兩難境地,這需要政府積極地采取有效的措施,鼓勵(lì)合理的資本流出.

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(編輯:董 偉)

Wavelet-Based Regression-GARCH Model and Its Application in Foreign Exchange Reserves

XIAOYunxiang, LIXingye
(Business School,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China)

The wavelet transform and the polynomial regression were combined with the GARCH model to analyze and forecast China’s foreign exchange reserve.The data were de-noised by the db4 wavelet to establish polynomial regression model.Seeing that between the residuals of the denoised data and the regression model there exist the auto regressive conditional heteroskedasticity (ARCH)effects,the GARCH model was created.Linear superposing the regression model and GARCH model,a regression-GARCH based on wavelet analysis was proposed.Comparing the predicted value and the actual value,it is found that the result in the paper is quite well.In other words,the method presented has obvious advantages and it’s a useful predictive analysis tool in dealing with the non-stationary time series which has obvious growth trend just like foreign exchange reserves.

wavelet;time series;polynomial regression;GARCH model;foreign exchange reserve

F 830

A

1007-6735(2015)01-0018-05

10.13255/j.cnki.jusst.2015.01.004

2013-10-14

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71071098);上海市一流學(xué)科建設(shè)資助項(xiàng)目(XTKX2012)

肖云湘(1990-),女,碩士研究生.研究方向:復(fù)雜經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)分析.E-mail:maiuth@163.com

李星野(1958-),男,教授.研究方向:信號(hào)分析與識(shí)別、復(fù)雜經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)分析等.E-mail:lixingye@tsinghua.org.cn