李宏德

（中州大學教務處，河南鄭州450044）

對彈性變形能大小與加載次序無關的證明的思考＊

李宏德

（中州大學教務處，河南鄭州450044）

彈性變形能大小與加載次序無關這一論述，結論重要，基礎作用大，在彈性理論中具有特殊地位，應該也需要有嚴格的邏輯證明。文獻多以假定或特例的形式進行闡述或論證，作為一個重要證明尚顯不足。文章從不同的角度對相關問題做了分析，并對這一命題的證明提出建議。

彈性體；變形能；加載次序；證明

彈性體變形能大小與加載次序無關這一論述，盡管沒有以原理的形式被體現(xiàn)，但作用十分重要，它是復雜應力狀態(tài)的變形能分析、克拉貝隆原理、虛位移原理、功的互等定理以及卡式定理等許多重要原理（定理）成立的基礎或得以證明的依據(jù)。而考察發(fā)現(xiàn)這一結論本身卻沒有得到嚴格的推理性證明。

1 彈性體變形能大小與加載次序無關的現(xiàn)有論證及不足

從根本上看，關于彈性體變形能大小與加載次序無關的已有證明都是以能量守恒原理為基礎的。由于所選擇的具體分析參數(shù)的不同，在形式和方法上有所不同。目前，該命題有代表性的論證有兩種。

1.1 基于功能轉換視角的論證

根據(jù)文獻［1］，在三向應力狀態(tài)下，彈性體變形能與外力做功在數(shù)值上相等，且只決定于外力和變形的最終值，而與加力的次序無關。其分析認為，如用不同的加力次序可以得到不同的變形能，那么，按一個儲存能量較多的次序加力，按另一個儲存能量較少的次序解除外力，完成一個循環(huán)，彈性體內(nèi)將增加能量。這與能量守恒原理相矛盾。由此推出，彈性體變形能大小與加載順序無關。

以功能原理為依據(jù)，通過反證法論證該結論的正確性，原理基礎可靠，結論可信。但作為對一個重要命題的科學證明，顯得過于定性，尚缺乏嚴密的邏輯推理。

1.2 基于有限載荷梁彎曲特例的論證

根據(jù)文獻［2］，變形能的大小，決定于受力的最終狀態(tài)（亦即最終變形），與加載的先后次序（亦即變形的歷史過程）無關。其在分析中，以一簡支梁為例，梁上受集中力F1和力偶M2作用（見圖1）。文獻認為，如以A加載方式加載，求得的梁的彈性變形能等于C，以B加載方式（與A次序不同）加載，求得梁的彈性變形能也等于C。因A、B兩種加載方式不同而變形能的結果相同，則，命題得證。

圖1 簡支梁

以變形能在某一種基本變形（證明中以梁彎曲變形為例）下的特殊數(shù)值關系為依據(jù)，以有限載荷（F1、M2）的特殊加載方式為特例來論證，使問題得以簡化，分析思路清晰，便于讀者理解。但由特殊到一般缺乏可靠的邏輯推理和依據(jù)。

其他文獻盡管在形式和方法上有所不同，但其實質與上述兩種情況基本一致［3－4］。

2 對彈性變形能大小與加載順序無關的證明的建議

獲得命題證明，要解決兩個關鍵問題：一是如何體現(xiàn)出與加載次序無關，二是選擇哪一個參數(shù)作為論證參量?，F(xiàn)對該命題的證明提出幾個可能的途徑，以供進一步的研究。

第一種途徑，從變形能的定義出發(fā)，利用疊加原理和力的獨立作用原理，通過計算復雜應力狀態(tài)下的變形能，嘗試尋找一個在一般條件下證明與加載次序無關的方法。這里，要體現(xiàn)出是一般性，而非特殊。要體現(xiàn)出加載次序無關。

第二種途徑，從功、能定義出發(fā)，利用功能原理，參照重力、彈性力等保守力做功與路徑無關這一原理，嘗試尋找證明方法。這里，彈性體的內(nèi)力是保守力；保守力做功與路徑（加載次序）無關；彈性變形能的大小等于在變形過程內(nèi)力所做的功［5］。

第三種途徑，從主應力和變形比能的定義出發(fā)，在微觀概念（應力、比能）上，嘗試說明復雜應力狀態(tài)下的變形比能與加載次序無關；進而，通過積分運算計算整體變形能時，若由微觀概念經(jīng)過積分運算到宏觀概念（彈性體的變形能）時，嘗試說明變形能與加載次序無關。

3 結束語

提出目前文獻對彈性變形能大小與加載次序無關這一命題多以假設或特例來論證而缺少嚴格邏輯證明，對這一命題現(xiàn)有的典型論證及其存在的不足進行了分析，從變形能結合疊加原理的方法，保守力的功、能結合功能原理的方法，主應力下的變形比能結合微積分方法等三種途徑對該命題的證明給出了證明思路。

（責任編輯 呂春紅）

［1］劉鴻文.材料力學［M］.第三版.北京：高等教育出版社，2002.

［2］林毓锜，陳瀚，樓志文.材料力學［M］.西安：西安交通大學出版社，1994.

［3］徐芝綸.彈性力學［M］.北京：高等教育出版社，2002.

［4］付寶連.彈性力學中的能量原理及其應用［M］.北京：科學出版社，2004.

［5］蔣智翔.材料力學［M］.北京：清華大學出版社，1985.

The Reflection on the Proving of the Irrelevance of the Size of Elastic Deformation Energy and the Loading Sequence

LI Hong－de

（Office of Academic Affairs of Zhongzhou University，Zhengzhou 450044，China）

It is important that the size of elastic deformation energy has nothing to do with the loading sequence，and it has the role of foundation in elastic theory，so that it needs Strictly logical proof.There are some assumes or exceptions in the literatures to elaborate，but it is still insufficient to be an important prove.This paper analyzes the related problems from different point of view，and puts forward some suggestions to prove this proposition.

elastic body；deformation energy；loading sequence；prove

O34

A

1008－2093（2015）01－0013－02

2014－11－15

李宏德（1966－），男，河南商丘人，教授，碩士，主要從事工程力學的教學與研究。