唐 駿，張 璘，袁江南

(廈門理工學(xué)院光電與通信工程學(xué)院,福建廈門361024)

基于函數(shù)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)混沌雷達(dá)波形設(shè)計(jì)

唐 駿，張 璘，袁江南

(廈門理工學(xué)院光電與通信工程學(xué)院,福建廈門361024)

針對噪聲雷達(dá)信號源產(chǎn)生難的問題，提出一種基于函數(shù)驅(qū)動(dòng)的混沌雷達(dá)波形設(shè)計(jì)方法.通過分析函數(shù)xn＝p（θTzn）和耦合不可逆變換的非線性映射之間的聯(lián)系，理論上證明此類系統(tǒng)能產(chǎn)生不可預(yù)測的動(dòng)力行為.據(jù)此原理可以構(gòu)造出混沌系統(tǒng)，能產(chǎn)生真隨機(jī)的混沌信號.仿真結(jié)果表明，該混沌信號及其頻率調(diào)制信號都具有類δ的自相關(guān)函數(shù)，功率譜平坦，十分適合于寬帶高分辨雷達(dá)的應(yīng)用.

噪聲雷達(dá)；混沌系統(tǒng)；波形設(shè)計(jì)；函數(shù)驅(qū)動(dòng)；自相關(guān)；隨機(jī)性

波形設(shè)計(jì)是雷達(dá)、聲納等探測系統(tǒng)的一個(gè)重要環(huán)節(jié).波形不僅決定了系統(tǒng)的分辨率、測量精度、抗干擾能力以及目標(biāo)跟蹤性能等［1］,也影響到后續(xù)的信號處理方法.隨機(jī)信號雷達(dá)具有 “圖釘型”的模糊函數(shù),距離、速度分辨率和測量精度高［2－3］,具有抗干擾能力強(qiáng)、截獲概率低、電磁兼容性好等優(yōu)點(diǎn)［4－5］.雖然隨機(jī)噪聲具有良好的相關(guān)特性,但產(chǎn)生、復(fù)制和控制都比較麻煩.因此,理想的噪聲信號源難以獲取,而常采用偽隨機(jī)信號作為噪聲雷達(dá)信號源.盡管混沌信號本身是確定性信號,但能表現(xiàn)出類噪聲特性,被解釋為確定性系統(tǒng)內(nèi)在隨機(jī)性的表現(xiàn).混沌信號具有隨機(jī)性強(qiáng)、樣本容量大及相關(guān)性能優(yōu)異等特點(diǎn),與隨機(jī)噪聲相比,結(jié)構(gòu)、參數(shù)和初值完全相同的混沌系統(tǒng)所產(chǎn)生的混沌信號完全相同,不僅易于產(chǎn)生,也具有更好的可控性和使用性,克服了隨機(jī)碼產(chǎn)生和存儲(chǔ)不易、偽隨機(jī)數(shù)量較少等不足.另外,由于混沌信號的初值敏感性和隨機(jī)性,混沌調(diào)制雷達(dá)系統(tǒng)具有很強(qiáng)的抗干擾能力,使得混沌信號應(yīng)用于雷達(dá)系統(tǒng)成為研究熱點(diǎn)［6－7］.

基于現(xiàn)有的混沌系統(tǒng)已經(jīng)設(shè)計(jì)出了性能優(yōu)良的雷達(dá)波形,并通過混沌調(diào)制的方式得到了寬帶雷達(dá)信號.但是,由于這些系統(tǒng)根本上是確定性的,從而決定了混沌信號的內(nèi)在結(jié)構(gòu)性和確定性,所設(shè)計(jì)的波形不具有嚴(yán)格意義的隨機(jī)性,尤其經(jīng)過不同方式調(diào)制之后,有些混沌信號的相關(guān)特性變得很差,甚至不能用做雷達(dá)信號.為了提高雷達(dá)波形的性能,很多研究從不同方面對現(xiàn)有的系統(tǒng)進(jìn)行了改進(jìn)：文獻(xiàn) ［8］對混沌信號進(jìn)行抽取以降低樣點(diǎn)之間的相關(guān)性；文獻(xiàn) ［9］將多個(gè)混沌系統(tǒng)進(jìn)行結(jié)合；文獻(xiàn) ［10－11］基于對Lorenz系統(tǒng)參數(shù)的調(diào)節(jié)來設(shè)計(jì)波形；文獻(xiàn) ［12－13］通過對原有混沌系統(tǒng)進(jìn)行修正以得到所期望的混沌序列.但是,這些改進(jìn)方法既缺乏嚴(yán)格的系統(tǒng)化理論,也不具有普適性,更不是提高雷達(dá)波形性能的根本手段.以往混沌雷達(dá)波形設(shè)計(jì)是從眾多的已知混沌系統(tǒng)中選擇合適的系統(tǒng),或調(diào)整系統(tǒng)參數(shù)以得到適于雷達(dá)應(yīng)用的混沌信號,這一思路可以總結(jié)為由系統(tǒng)尋找混沌解.本文基于對混沌解的分析,反推混沌系統(tǒng)的特點(diǎn),提出基于函數(shù)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)混沌雷達(dá)波形設(shè)計(jì)方法,從動(dòng)力系統(tǒng)的構(gòu)造角度出發(fā),在統(tǒng)一的理論框架下構(gòu)造隨機(jī)混沌系統(tǒng),對應(yīng)的混沌信號具有隨機(jī)性,克服了以往混沌系統(tǒng)內(nèi)在確定性的缺陷.

1 確定系統(tǒng)的隨機(jī)性

對于logistic映射

其中：n為自然數(shù)；Xn∈［0,1］,通常的做法是通過迭代來得到混沌序列.

事實(shí)上,文獻(xiàn) ［14－15］最先證明了

是Logistic的通解,n為自然數(shù),θ為非零的實(shí)數(shù).之后陸續(xù)發(fā)現(xiàn)許多混沌系統(tǒng)可以精確求解［16－18］.這些混沌解可以用式 (3)表示：

其中：P(·)是周期函數(shù)；T為周期；z為整數(shù)；P(θT)定義了初始值.由于方程描述的是一個(gè)確定性的過程,因此當(dāng)z為整數(shù)時(shí),式 (3)也是一個(gè)確定性的序列.然而,當(dāng)z為非整數(shù)時(shí),情況變得有所不同［19］.

設(shè)z是有理數(shù),記為z＝p/q,其中p,q是互質(zhì)的整數(shù).可以證明,如果已知由方程產(chǎn)生的m＋1 (m為任意自然數(shù))個(gè)點(diǎn)X0,X1,X2,…,Xm,不能預(yù)測下一個(gè)點(diǎn)Xm＋1的值.

定義由整數(shù)k參數(shù)化的序列

最初m＋1個(gè)點(diǎn)的值是相同的,這是因?yàn)?/p>

對所有n≤m成立.因此,有無窮多個(gè)序列的前m＋1個(gè)點(diǎn)的值相同 (因?yàn)閗可以取無窮多個(gè)值,因此對應(yīng)無窮多個(gè)序列).然而下一個(gè)點(diǎn)的值

是不確定的,通?？梢匀個(gè)不同的值,從而說明序列X(k,m)n是前向不可預(yù)測的.下面證明其也是后向不可預(yù)測的.

定義序列簇

其中k,m,s都是整數(shù).

對所有由k參數(shù)化的序列,由上述證明可知,已知m＋1個(gè)點(diǎn)Xs,Xs＋1,Xs＋2,…,Xs＋m的值,無法預(yù)測下一個(gè)點(diǎn)Xs＋m＋1的值,它可能有q種不同的取值.另一方面,從Xs,Xs＋1,Xs＋2,…,Xs＋m也無法確定Xs－1的值,因?yàn)?/p>

從而Xs－1有p種不同的可能取值.對于z為無理數(shù)的情況,過去和將來的點(diǎn)有無窮種可能的取值,因此,將來的點(diǎn)和過去的點(diǎn)的值都無法預(yù)測,這樣的序列具有真隨機(jī)性.

2 混沌信號的構(gòu)造

通過對式 (3)產(chǎn)生隨機(jī)行為的機(jī)理進(jìn)行分析,如果寫成一般形式：

則：f(n)為指數(shù)函數(shù),h(y)為周期函數(shù),分別對應(yīng)混沌形成機(jī)理中的 “拉伸”和 “折回”,θ0為初始參數(shù).如果f(n)為非周期函數(shù),即使h(y)是周期的,序列Xn也不會(huì)是周期的.注意式 (3),當(dāng)z＞1,zn隨著n增大而增大,這給具體實(shí)現(xiàn)帶來了麻煩.如果將n的值限定在合適的范圍內(nèi),則可以通過非周期性地改變?chǔ)?的值,利用式 (9)來生成混沌序列.具體而言,在每生成N點(diǎn)長度的序列之后,改變?chǔ)?的值,n重新置為0.在每N點(diǎn)的序列之后,可以用如下的方法改變?chǔ)?的值：定義θs＝ACs,其中Cs可以由混沌系統(tǒng)產(chǎn)生,s代表θ0的序號,按這種方法,s＝1對應(yīng)于第一個(gè)N點(diǎn)的序列段, s＝2對應(yīng)于第二個(gè)N點(diǎn)的序列段,依此類推.系數(shù)A＞1是為了保證絕對不可預(yù)測性.這種情況下,通過觀測Xn的值,不可能確定θ0的值.事實(shí)上,充分條件是θ0f(n)有界非周期振蕩,在各振蕩區(qū)間內(nèi)具有有界的指數(shù)特性,許多混沌函數(shù)和偽周期函數(shù)都具有這些性質(zhì).

將上述思想推廣到連續(xù)系統(tǒng),可以構(gòu)造形式上更為簡單的混沌信號

其中：P(y)是周期函數(shù)；Q(t)是偽周期函數(shù),因此,Aexp［Q(t)］滿足有界非周期振蕩,且在各振蕩區(qū)間內(nèi)具有有界的指數(shù)特性.根據(jù)式 (10),構(gòu)造一個(gè)可以解析地求解Lyapuov指數(shù)的混沌函數(shù)

k為整數(shù),比值T2/T1,T3/T2,T3/T1是無理數(shù),則X(t)的Lyapunov指數(shù)理論值λ＝ln(3a).

針對式 (12),取參數(shù)a＝1,T1＝π,T2＝3＋2,T3＝3,X(t)波形如圖1所示,Φ(0)分別為1.2和1.201 200 6,從圖1中可以看出,隨著時(shí)間的增長,初始值的微小改變,波形相差很大.用標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)值方法計(jì)算產(chǎn)生的時(shí)間序列的Lyapunov指數(shù),計(jì)算結(jié)果與理論值λ＝ln 3完全吻合.為了后續(xù)表述方便,X(t)記為Stochastic chaos信號.

圖1 隨機(jī)混沌時(shí)域波形Fig.1 Waveform of stochastic chaos signal

3 雷達(dá)波形性能對比與分析

自相關(guān)函數(shù)和功率譜是雷達(dá)波形性能的重要指標(biāo),是決定雷達(dá)分辨率的主要因素.理想的雷達(dá)波形自相關(guān)函數(shù)應(yīng)該是δ函數(shù),功率譜是一條直線,實(shí)際中希望自相關(guān)函數(shù)有盡量尖銳的主瓣、盡量低的旁瓣,功率譜盡可能平坦,并以此來評價(jià)雷達(dá)波形性能的優(yōu)劣.

由于混沌序列具有各態(tài)遍歷性,對于一個(gè)足夠長的混沌序列,可視為均值和方差為常量的隨機(jī)變量,即混沌序列具有寬平穩(wěn)特性,可以用時(shí)間平均來研究統(tǒng)計(jì)特性.對于一個(gè)具有遍歷性和寬平穩(wěn)的混沌序列,其自相關(guān)函數(shù)可定義為：

混沌序列功率譜是序列自相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換,即

由于混沌序列的非周期性,不同初始值下的混沌序列自相關(guān)函數(shù)會(huì)略有波動(dòng),單次實(shí)現(xiàn)的混沌自相關(guān)不能準(zhǔn)確反映系統(tǒng)的特性.因此,在分析自相關(guān)特性和功率譜時(shí),常采用多次實(shí)現(xiàn)的平均值,利用基于均勻分布的M個(gè)不同初值產(chǎn)生的M個(gè)混沌序列的自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行平均,并由平均自相函數(shù)計(jì)算離散傅立葉變換,從而得到混沌序列的功率譜.仿真中,本文M＝200,每次實(shí)現(xiàn)取30 000個(gè)點(diǎn).

為了全面考察和比較各雷達(dá)波形的性能,考慮了Logistic、Bernoulli和Lorenz 3類常見混沌系統(tǒng),分別從原始序列及頻率調(diào)制信號進(jìn)行對比.各系統(tǒng)描述方程及仿真參數(shù)見表1.Logistic原始序列自相關(guān)及功率譜如圖2所示,Logistic頻率調(diào)制信號自相關(guān)及功率譜如圖3所示,Bernoulli原始序列自相關(guān)及功率譜如圖4所示.

表1 混沌系統(tǒng)及其參數(shù)Table 1 Chaotic systems and parameters

圖2 Logistic原始序列自相關(guān)及功率譜Fig.2 ACF of Logistic sequence and power spectrum

圖3 Logistic調(diào)頻信號自相關(guān)函數(shù)及功率譜Fig.3 ACF of Logistic FM and power spectrum

圖4 Bernoulli序列自相關(guān)函數(shù)及功率譜Fig.4 ACF of Bernoulli sequence and power spectrum

Bernoulli頻率調(diào)制信號自相關(guān)及功率譜如圖5所示,Lorenzx(t)原始序列自相關(guān)及功率譜如圖6所示,Lorenzx(t)頻率調(diào)制信號自相關(guān)及功率譜如圖7所示,Stochastic chaos原始序列自相關(guān)及功率譜如圖8所示,Stochastic chaos頻率調(diào)制信號自相關(guān)及功率譜如圖9所示.

圖5 Bernoulli調(diào)頻信號自相關(guān)函數(shù)及功率譜Fig.5 ACF of Bernoulli FM and power spectrum

圖6 Lorenz序列自相關(guān)函數(shù)及功率譜Fig.6 ACF of Lorenz sequence and power spectrum

圖7 Lorenz調(diào)頻信號自相關(guān)函數(shù)及功率譜Fig.7 ACF of Lorenz FM and power spectrum

圖8 Stochastic chaos序列自相關(guān)函數(shù)及功率譜Fig.8 ACF of Stochastic chaos sequence and power spectrum

圖9 Stochastic chaos調(diào)頻信號自相關(guān)函數(shù)及功率譜Fig.9 ACF of Stochastic chaos FM and power spectrum

由圖2和圖3可以看出,Logistic原始序列的自相關(guān)函數(shù)性能較好,但經(jīng)頻率調(diào)制之后,自相關(guān)函數(shù)性能變差；圖4和圖5表明,Bernoulli原始序列的自相關(guān)特性較差,但經(jīng)頻率調(diào)制之后性能變好；圖6和圖7表明Lorenz序列自相關(guān)性能都不好；圖8和圖9表明,Stochastic chaos原始序列及頻率調(diào)制之后都具有自相關(guān)函數(shù)尖銳、功率譜平坦的優(yōu)點(diǎn).

4 結(jié)語

熟知的幾類混沌系統(tǒng),由于解的內(nèi)在確定性,基于這些系統(tǒng)所設(shè)計(jì)的波形不具有真正意義上的隨機(jī)性,用作噪聲雷達(dá)信號源時(shí)性能不盡理想,且受調(diào)制方式影響較大,因此不便于應(yīng)用.本文基于已有的混沌解結(jié)構(gòu)特點(diǎn),從動(dòng)力系統(tǒng)的構(gòu)造角度出發(fā),提出了基于函數(shù)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)混沌雷達(dá)波形設(shè)計(jì)方法,即用非周期函數(shù)驅(qū)動(dòng)周期系統(tǒng),在統(tǒng)一的理論框架下構(gòu)造隨機(jī)混沌信號,該信號具有真隨機(jī)性,克服了以往混沌系統(tǒng)內(nèi)在確定性的缺陷.隨機(jī)混沌信號各樣點(diǎn)的值具有完全不可預(yù)測性,其自相關(guān)函數(shù)近似δ函數(shù),功率譜平坦,經(jīng)調(diào)頻之后,自相關(guān)函數(shù)依然具有主瓣窄、旁瓣低的優(yōu)點(diǎn),功率譜平坦,即波形性能不受調(diào)制方式的影響,因此,它是寬帶高分辨雷達(dá)的理想信號源.

［1］HAYKIN S.Radar signal processing［J］.ASSP Magazine，1985，2（2）：2-18.

［2］LIU G S，GU H，ZHU X H.The present and the future of random signal radars［J］.IEEE Transaction on Aerospace and Electronic Systems Magazine，1997，12（10）：35-40.

［3］LIU G S，GU H，SU W M.Development of random signal radars［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，1999，35（3）：770-777.

［4］LIU G S，GU H，SU W M.Random signal radar-a winner in both the military and civilian operating environments［J］. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，2003，39（2）：489-498.

［5］GARMATYUK D S，NARAYANAN R M.ECCM capabilities of an ultrawideband bandlimited random noise imaging radar［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，2002，38（4）：1 243-1 255.

［6］LEUNG H，LO T.Chaotic radar signal processing over the sea［J］.Oceanic Engineering，1993，18（3）：287-295.

［7］FLORES B C，SOLIS E A，THOMAS G.Chaotic signals for wideband radar imaging［C］//SPIE.International Society for Optics and Photonics.Orlando：SPIE，2002：100-111.

［8］YANG J，NIE L，QIU Z K，et al.Frequency modulated radar waveform based on sampled chaotic series［J］.Chinese Journal of Electronics，2013，22（2）：426-432.

［9］YANG Q L，ZHANG Y H，GU X.A signal model based on combination chaotic map for noise radar［J］.Progress In Electromagnetics Research，2013，28：57-71.

［10］PAPPU C S，F(xiàn)LORES B C.Generation of high-range resolution radar signals using the Lorenz chaotic flow［C］// SPIE.Defense，Security，and Sensing.International Society for Optics and Photonics.Orlando：SPIE，2010：12.

［11］WILLSEY M S，CUOMO K M，OPPENHEIM A V.Quasi-orthogonal wideband radar waveforms based on chaoticsystems［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，2011，47（3）：1 974-1 984.

［12］CHEN B.Improving autocorrelation and RFM autocorrelation performance of skew tent sequence［C］//NCIS.2011 International Conference on.Nanchang：IEEE，2011：298-301.

［13］XIE S B，HE Z S，HU J F，et al.Performances of improved tent chaos-based FM radar signal［J］.Journal of Systems Engineering and Electronics，2012，23（3）：385-390.

［14］STEIN P R，ULAM S M.Non-linear transformation studies on electronic computers［R］.Los Alamos：Los Alamos Scientific Lab，1962.

［15］ULAM S.John von Neumann 1903—1957［J］.Bulletin of the American Mathematical Society，1958，64（3）：1-49.

［16］UMENO K.Method of constructing exactly solvable chaos［J］.Physical Review E，1997，55（5）：5 280-5 284.

［17］GONZáLEZ J A，PINO R.A random number generator based on unpredictable chaotic functions［J］.Computer Physics Communications，1999，120（2）：109-114.

［18］GONZALEZ J A，DE CARVALHO L B.Analytical solutions to multivalued maps［J］.Modern Physics Letters B，1997，11（12）：521-530.

［19］ GONZáLEZ J A，PINO R.Chaotic and stochastic functions［J］.Physica A：Statistical Mechanics and its Applications，2000，276（3）：425-440.

Function-Driven Stochastic Chaotic Radar Waveform Design

TANG Jun，ZHANG Lin，YUAN Jiang-nan
（School of Opto-electronic and Communication Engineering，Xiamen University of Technology，Xiamen 361024，China）

A function-driven method was proposed of chaotic radar waveform design to solve the difficulty of noise radar signal source generation.The connections between functions of xn＝p（θTzn）and nonlinear maps coupled to non-invertible transformations were investigated.It was proved theoretically that these systems could produce unpredictable dynamics.According to this principle，we can construct chaotic system which can produce true stochastic chaotic signal.Simulation result suggested that this chaotic signal and frequencymodulated signal had-like autocorrelation function，and flat power spectrum，it is very suitable for wide band high resolution radar application.

noise radar；chaos system；waveform design；function-driven；autocorrelation；randomness

TN951

A

1673－4432（2015）05－0052－07

（責(zé)任編輯 雨 松）

2015－05－05

2015－07－13

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目 (61202013)；福建省教育廳科技項(xiàng)目 (JA13235)

唐駿 (1977－),男,講師,博士研究生,研究方向?yàn)槔走_(dá)信號處理.E-mail：jtang＠xmut.edu.cn