歐陽正勇，鄭 珊

(1.佛山科學技術學院理學院,廣東佛山528000; 2.廣州航海學院基礎部,廣東廣州520725)

淺水波方程的暗孤子解

歐陽正勇1，鄭 珊2

(1.佛山科學技術學院理學院,廣東佛山528000; 2.廣州航海學院基礎部,廣東廣州520725)

研究了一個非線性淺水波動方程的孤立子解，運用微分方程定性理論，證明了向左遷移的暗孤子解的存在性，并分析了暗孤子解的一些定性特征：該解具有對稱性，其振幅隨著波速的增大而增加，不同波速的暗孤子解必相交于對稱的兩點，在無窮遠處呈指數(shù)衰減到零.

淺水波方程；微分定性理論；暗孤子

考慮淺水波動方程［1－2］

1 暗孤子解的存在性

圖1 一維水波圖形Fig.1 One鄄dimensional water wave profile

文獻［2］研究了當波速c＞1時,方程(1)存在孤立子解,本文對方程(1)(見圖1)進行了進一步的研究,證明了當波速c＜－1時,方程(1)存在暗孤立子解,并給出了暗孤子解的一些定性特征.

作變換［2］

方程(1)可轉(zhuǎn)換成如下常微分方程

注波速c大于0時表示右行波,波速c小于0時表示左行波,本文研究的孤立子解滿足條件φ, φ(n)→0(ξ→∞),其中n∈N.

對方程(3)兩邊關于ξ積分,得

其中C為積分常數(shù).因為本文中考慮的暗孤子解滿足φ,φ′→0(ξ→∞),故方程(4)中的積分常數(shù)C為0.

將方程(4)轉(zhuǎn)變成對應的平面系統(tǒng)如下：

系統(tǒng)(5)的首次積分為

其中h為積分常數(shù).

定理1當波速c＜－1時,方程(1)存在整體暗孤子解.

證明當波速c＜－1時,系統(tǒng)(5)有兩個平衡點P1(0,0)和P2(φc,0),其中φc是多項式

唯一的負實根.事實上P(φ)關于φ是單調(diào)遞減的,且P(φ)→＋∞(φ→－∞),P(φ)→－∞(φ→＋∞),故P(φ)有唯一的零點.又因為當c＜－1時,

所以φc＜0.

下面計算系統(tǒng)(5)的線性化系統(tǒng)在平衡點P1(0,0)和P2(φc,0)處的特征值并判斷奇點的類型,為了方便計算,對系統(tǒng)(5)作變換,設dξ＝(1＋c＋7φ)dτ,系統(tǒng)(5)可轉(zhuǎn)換為

除了奇直線φ＝－(1＋c)/7,系統(tǒng)(5)和(9)的分支相圖是一樣的,因而可用系統(tǒng)(9)代替(5)進行計算.設奇點的特征值為λ,則λ滿足

當c＜－1時,平衡點P1(0,0)有一正一負兩個不同的實特征值,因而是鞍點.在平衡點P2(φc,0)處的特征值為在平衡點P1(0,0)處的特征值為

其中f′(φ)＝12(c－1)－36φc＋18φc2－18φc3,因為φc＜0,所以f′(φc)＞0,又c＜－1,從而λ3,4為一對純虛根,故P2(φc,0)為中心.

圖2 暗孤子解對應的同宿軌Fig.2 Honoclinic orbit of dark soliton

系統(tǒng)(5)的同宿軌對應著方程(1)的孤立子解,為了證明方程(1)的暗孤子解的存在性,需要在φ－y平面上找出一條從鞍點P1(0,0)向 φ軸負方向出發(fā),環(huán)繞中心 P2(φc,0)之后再回到P1(0,0)的同宿軌.在φ－y平面的下半平面,因為φ′＝y(tǒng)＜0,φ隨著ξ的增大而減小,所以存在一條軌線從P1(0,0)向左出發(fā),且必定穿過直線φ＝φc.事實上,

其中MP是φP(φ)的最大值,由式(13)可知y′有下界,故軌線必穿過直線φ＝φc.當軌線穿過φ＝φc之后 (即φ＜φc),有φ′＝y(tǒng)＜0,y′＞0,軌線接著向左上方走,且穿過φ軸,不然,假設y單增趨于某常數(shù)(y′→0),那么φ→－∞,由式(5)可推出y′→∞,矛盾.再利用系統(tǒng)(5)關于φ軸的對稱性,即系統(tǒng)(5)在變換ξ→－ξ下是不變的,在上半平面,軌線按相同的方式回到P1(0,0).這樣就證明了存在一條同宿軌,而該軌線就對應著方程(1)的一個暗孤子解.

2 暗孤子的定性特征

雖然不能直接求出暗孤子解的表達式,但仍可以應用微分方程定性理論分析暗孤子解的一些特征,然后畫出暗孤子解的平面圖.本文討論的暗孤子解具有如下定性特征：

定理2方程(1)的暗孤子解具有對稱性,其波峰隨著波速的增大而增大,且在無窮遠處呈指數(shù)衰減到0.

證明由于本文所求的暗孤子解滿足φ′,φ→0(ξ→∞),因而式(6)中的積分常數(shù)h＝0,上節(jié)中的同宿軌滿足如下等式

即

由式(17)可近似解得

這表明暗孤子解在無窮遠處按指數(shù)衰減到0,也能反映出對應的同宿軌從鞍點P1(0,0)發(fā)出時與縱軸的夾角.

定理3設φ(ξ,c1)和φ(ξ,c2)表示在不同波速c1,c2下的兩個暗孤子解,那么這兩個解必相交于兩點.

證明本小節(jié)考慮不同波速下波形的比較,設φ(ξ)是方程(1)的暗孤子解,且在ξ＝0處達到波峰.由定理2知,波峰的高度是波速的函數(shù),定義如下函數(shù)

圖3 不同波速的波形比較Fig.3 Comparison of different wave velocity waveforms

3 結(jié)語

本文從方程本身的結(jié)構出發(fā),結(jié)合微分方程定性理論,分析并證明了在波速c＜－1時暗孤子解的存在性,給出了暗孤子解的定性特征,拓展了文獻中的相關結(jié)論.當波速－1≤c≤1的時候,孤立子解的存在性有待進一步研究.

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The Existence of Dark Solitons of Shallow Water Wave Equation

OUYANG Zheng-yong1，ZHENG Shan2
（1.Science School，F(xiàn)oshan University，F(xiàn)oshan 528000，China；2.Department of Basic Courese，Guangzhou Maritime College，Guangzhou 510725，China）

This paper studied the soliton solutions of a nonlinear shallow water wave equation.By using the qualitative theorem of differential equations，we prove the existence of dark soliton solutions and discussed some of their qualitative characteristics.The dark soliton solutions are symmetric on both sides of the crest，and the amplitude increases with the increase of wave speed.Dark soliton solutions of different speeds intersect each other in two symmetrical spots and decay exponentially to zero in infinity.

shallow water wave equation；differential qualitative theory；dark soliton

O193

A

1673－4432（2015）05－0089－05

（責任編輯 曉 軍）

2015－01－06

2015－06－04

國家自然科學基金項目 (11401096)；廣東省教改項目 (GDJG20141204)

歐陽正勇 (1978－),男,講師,博士,研究方向為微分方程.E-mail：zyouyang_math＠163.com