黃江茵

（廈門理工學(xué)院電氣工程與自動化學(xué)院，福建廈門361024）

LPV模型的非線性PID控制算法

黃江茵

（廈門理工學(xué)院電氣工程與自動化學(xué)院，福建廈門361024）

以LPV模型為被控對象，提出一種適合動態(tài)系統(tǒng)、整定簡便的非線性PID控制算法。針對LPV模型時變非線性運行特性，引入工作點變量，采用傳統(tǒng)Ziegler-Nichols法整定被控對象在工作點處的局部PID控制參數(shù)，通過高斯插值使控制參數(shù)在系統(tǒng)操作軌跡上的平滑過渡，有效避免控制參數(shù)突變對系統(tǒng)的沖擊以及被控模型改變引起的誤差，實現(xiàn)了對被控非線性對象的高效穩(wěn)定控制.

LPV模型；非線性PID控制；高斯插值

盡管近年來，如模型預(yù)測控制等先進(jìn)控制算法不斷推出，但PID控制器以其結(jié)構(gòu)簡單，對模型誤差具有魯棒性及易于操作等優(yōu)點，仍然被廣泛應(yīng)用于冶金、化工等工業(yè)過程控制中.隨著對非線性系統(tǒng)控制精度要求的不斷提高，PID參數(shù)的智能整定算法［1-2］、非線性PID調(diào)節(jié)器設(shè)計［3］等改進(jìn)的PID算法也越來越受到關(guān)注.變參數(shù)線性 （linear parameter varying，LPV）模型是近10年來學(xué)術(shù)界廣泛關(guān)注的非線性模型結(jié)構(gòu)之一，雖然其辨識方法層出不窮［4］，但針對該模型的控制算法卻少有人涉獵.原因在于LPV模型的非線性時變特性，大大增加了先進(jìn)控制算法中預(yù)估系統(tǒng)輸出以及控制約束方程的尋優(yōu)難度，甚至無法獲得局部收斂的最優(yōu)解.針對此問題，本文利用PID控制器魯棒性強(qiáng)、參數(shù)個數(shù)少、整定方便等顯著優(yōu)點，首先針對系統(tǒng)運行的若干個穩(wěn)態(tài)階段整定局部PID參數(shù)，隨后引入LPV模型辨識中常見的 “工作點變量”概念，以其為自變量構(gòu)建高斯權(quán)重函數(shù)對局部參數(shù)進(jìn)行插值，使控制參數(shù)在被控對象的整個操作軌跡上實現(xiàn)動態(tài)平滑過渡，獲得較好的控制效果.

1 非線性PID控制器

目前為止，學(xué)術(shù)界已討論過各種類型的非線性PID控制器.根據(jù)控制原理，這些非線性PID控制器可以分為兩類：一類是直接控制量 （direct-action）型，一類是增益調(diào)整 （gain-scheduling）型［5］.數(shù)學(xué)表達(dá)形式分別為：

其中：u，e（t）分別為控制量輸入與控制響應(yīng)的誤差；x，θ分別為非線性函數(shù)的自變量與參數(shù)向量；下標(biāo)P，I，D分別對應(yīng)比例、積分、微分含義.

由上述兩類非線性PID控制器的表達(dá)式中可以看出，直接控制量型控制器是對控制分量進(jìn)行非線性設(shè)計，而增益調(diào)整型控制器則是對增益參數(shù)的非線性進(jìn)行規(guī)劃調(diào)整.文獻(xiàn) ［5］采用的是直接控制量型PID控制器，采用3個相同的樣條函數(shù)對誤差e（t）進(jìn)行非線性處理，處理后的信號再分別進(jìn)行比例、積分和微分計算.文獻(xiàn) ［6］則采用了增益調(diào)整型PI控制器，在KP，KI前增加了 “前項增益切換機(jī)制”，實現(xiàn)KP，KI的簡單線性過渡.鑒于直接控制量型PID控制器中，對積分、微分控制分量的非線性特性先驗知識不夠充分［5］，本文采用的是增益調(diào)整型結(jié)構(gòu)，直接針對KP，KI，KD設(shè)計非線性函數(shù)，該非線性PID控制器的結(jié)構(gòu)如圖1所示.

圖1 增益調(diào)整型PID控制器結(jié)構(gòu)Fig.1 TypicaI structure of gain-scheduIing PID

2 基于LPV模型的非線性PID控制器

隨著近幾年來工業(yè)系統(tǒng)自動控制要求的不斷提高，以及過程設(shè)計、分析、全過程運行最優(yōu)化等命題的提出，變參數(shù)模型越來越得到學(xué)術(shù)界和工業(yè)界的重視.其中，最受矚目之一的便是LPV模型［7］. LPV模型的主導(dǎo)思想是用一個包含時變參數(shù)的整體模型來描述非線性系統(tǒng).該時變參數(shù)可以是系統(tǒng)工作點或者其他外部變量的函數(shù).LPV模型的狀態(tài)空間形式可表示為

式 （1）中：w（t）就是所謂的工作點變量；狀態(tài)空間矩陣A，B，C，D都是w（t）的函數(shù).

LPV模型的控制問題一直是學(xué)術(shù)界公認(rèn)的難點.眾多先進(jìn)的控制算法都對LPV模型束手無策.以模型預(yù)測控制算法為例，首先LPV模型是時變模型，難以預(yù)測系統(tǒng)在未來一定時間內(nèi)的輸出；其次預(yù)測控制算法中的分層優(yōu)化需以被控對象模型作為約束方程［8］，而求解動態(tài)非線性約束問題一直是難以逾越的數(shù)學(xué)難題，極易因為初值設(shè)定、下降方向選擇偏差而造成無法收斂，也很難獲得局部最優(yōu)解.考慮到PID控制器的魯棒性，以及其待估參數(shù)少、整定方便等顯著優(yōu)點，采用非線性PID控制器對LPV模型進(jìn)行控制，則能夠避開上述復(fù)雜的非線性優(yōu)化命題，同時獲得較好的控制效果.

目前，計算幾乎已經(jīng)成了一個“超級”概念，它正在改變著我們的思維方式，特別是在哲學(xué)上，它已經(jīng)成為一種新的審視哲學(xué)概念的有效方式，同時，信息哲學(xué)也借鑒、融合了計算的概念、思考問題的方式方法。在1998世界哲學(xué)大會上，一位著名哲學(xué)家感嘆說，在信息時代，哲學(xué)家“要么輝煌，要么死亡”。他們面對三位一體的“怪獸”：信息科學(xué)、計算機(jī)科學(xué)和互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)。哲學(xué)家若跟不上步伐，就會被淘汰。

大多數(shù)非線性工業(yè)系統(tǒng)的運行軌跡，并不是雜亂無章的.大多數(shù)的工業(yè)過程，其運行軌跡都是由若干個 “穩(wěn)態(tài)階段”以及過渡過程構(gòu)成.在穩(wěn)態(tài)階段，系統(tǒng)運行在相對平穩(wěn)的狀態(tài)，主要操作變量和被控變量，包括工作點變量w（t）均處于相對恒定狀態(tài)；在過渡過程，各變量也出現(xiàn)相應(yīng)的過渡變化.由上述特點可推知，針對LPV模型的控制器，在穩(wěn)態(tài)階段可以采用傳統(tǒng)線性控制器進(jìn)行控制；而在過渡階段，則需要采用某種算法重新設(shè)計控制參數(shù)，以適應(yīng)LPV模型的動態(tài)特性.本文采用增益調(diào)整型PID進(jìn)行控制，需要解決的核心問題在于如何設(shè)計KP（x，θP），KI（x，θP），KD（x，θP），使其能根據(jù)當(dāng)前系統(tǒng)運行狀態(tài)進(jìn)行自動調(diào)整，同時又能滿足超調(diào)小、響應(yīng)迅速、無穩(wěn)態(tài)誤差這3點控制要求.

根據(jù)上述分析和要求，可先整定穩(wěn)態(tài)工作點處的局部PID控制參數(shù)，后采用高斯函數(shù)對這些局部參數(shù)進(jìn)行插值獲得最終非線性PID參數(shù).具體步驟如下：

步驟1：在系統(tǒng)的各個穩(wěn)態(tài)階段，采用傳統(tǒng)線性PID控制器整定方法 （如Ziegler-Nichols法、衰減曲線法、臨界比例度法等），獲取局部控制參數(shù).假設(shè)被控對象有n個穩(wěn)態(tài)，對應(yīng)的工作點變量值為wi，（i=1，2，…，n），整定后的控制參數(shù)為KPi，KIi，KDi（i=1，2，…，n）

步驟2：構(gòu)建高斯函數(shù)計算局部控制參數(shù)權(quán)重，插值獲得基于LPV模型的非線性PID控制器輸出.

式 （2）中：KP，KI，KD分別為非線性PID控制器的比例、積分、微分參數(shù)；αi（w（t））是以w（t）為自變量的歸一化高斯函數(shù)，作為穩(wěn)態(tài)線性PID參數(shù)的權(quán)重.歸一化的目的在于使各局部參數(shù)的權(quán)重值之和為1.

參數(shù)σi（i=1，2，n）稱為分離 （或?qū)挾龋┫禂?shù)，可以簡單地根據(jù)高斯函數(shù)的圖象和權(quán)重的物理意義，將其設(shè)定為相鄰工作點之間的間隔的三分之一，也可以通過極小化輸出誤差來估計.以最速下降法為例，損失函數(shù)極小化問題如式 （5）所示：

式 （5）中：r（t）為設(shè)定值；y（t）為閉環(huán)系統(tǒng)輸出；u（t）為非線性PID控制器輸出；G（s，w）為被控對象LPV模型；N為樣本空間容量.

采用最速下降法進(jìn)行尋優(yōu)的流程如下：

步驟2：沿被控對象的操作軌跡，采用上述非線性PID控制算法進(jìn)行控制，采集數(shù)據(jù)集：Zn=｛y（t），r（t），w（t）｝，t=1，2，…，N；

步驟3：計算負(fù)梯度向量d（k）=-?f（σ（k）），其中

步驟5：計算σ（k+1）=σ（k）+λk×d（k），k=k+1；跳轉(zhuǎn)步驟3.

圖2 4個工作點時的高斯權(quán)重值Fig.2 4-point Gaussian weights

圖2為當(dāng)系統(tǒng)有4個工作點w1=20，w2=40，w3= 60，w4=80時對應(yīng)的高斯權(quán)重值.從圖2中可以看出，各個權(quán)重值均在接近它對應(yīng)的工作點時達(dá)到最大值1，而隨著遠(yuǎn)離對應(yīng)工作點，平滑過渡到最小值0.任一時刻，各個權(quán)重值之和均為1.

值得注意的是，由于高斯函數(shù)圖象的對稱性，采用高斯權(quán)重要求系統(tǒng)的工作點等間隔分布.如果系統(tǒng)的工作點之間的間隔不同，則可將高斯函數(shù)寫成分段函數(shù)，間斷點為各個工作點，并令各個分段高斯函數(shù)的分離系數(shù)不同.

各局部PID參數(shù)的權(quán)重，不一定通過高斯函數(shù)獲得，也可以構(gòu)造線性函數(shù)、樣條函數(shù)、多項式函數(shù)等計算.本文采用高斯函數(shù)的理由是，它的函數(shù)值比線性函數(shù)更加平滑，可以避免由于控制參數(shù)突變對系統(tǒng)造成的沖擊，減小超調(diào)；相較于樣條函數(shù)和多項式函數(shù)，它可以通過歸一化保證各權(quán)重值之和在任意時刻均為1，符合插值的物理意義，而樣條函數(shù)和多項式函數(shù)則有較多待估參數(shù)，難以同時保證誤差極小化和函數(shù)值之和為1，也無法保證函數(shù)值介于［0，1］之間.

3 仿真與實驗

以典型的MIMO二階LPV模型為控制對象進(jìn)行非線性PID控制仿真.仿真時間為13 s，采樣周期1 ms，共采集13 000個數(shù)據(jù).假設(shè)系統(tǒng)模型如下：

式 （6）中：w（t）為工作點變量，假定系統(tǒng)有2個局部穩(wěn)態(tài)，對應(yīng)的w（t）值分別為w1=1，w2=3.系統(tǒng)的整個運行軌跡上，w（t）的變化規(guī)律為：

首先在2個穩(wěn)態(tài)階段，分別采用傳統(tǒng)Ziegler-Nichols法整定局部線性PID參數(shù)，并進(jìn)行微調(diào)以提高控制效果.兩組局部KP，KI，KD如下：

根據(jù)本文第2部分提出的方法，構(gòu)建高斯權(quán)重函數(shù)并實時插值計算非線性PID控制器的參數(shù)以及輸出.由于只有2個工作點，高斯權(quán)重中的分離系數(shù)σ未進(jìn)行優(yōu)化，而是定為工作點距離的1/3，即σ=（3-1）/3.為驗證所提算法的抗干擾能力，t=6～10 s階段，在仿真系統(tǒng)的輸入端疊加了大小為0.5w2（t）的擾動信號.仿真控制結(jié)果如圖3所示.

從圖3可以看出，雖然被控對象為時變非線性過程，但非線性PID控制依然可以實現(xiàn)在整個運行軌跡上的較好控制效果.若采用線性PID進(jìn)行控制，由于恒定的控制參數(shù)無法適應(yīng)時變的動態(tài)LPV模型，系統(tǒng)出現(xiàn)了較大的超調(diào)，而非線性PID控制器則可以同時保證較小的超調(diào)、較短的調(diào)節(jié)時間和較小的穩(wěn)態(tài)誤差.加入擾動信號后，線性PID控制下的系統(tǒng)出現(xiàn)了較大幅度的波動，而非線性PID控制器則能有效地減小系統(tǒng)波動并使輸出較快穩(wěn)定到設(shè)定值.

圖3 非線性、線性PID控制效果對比Fig.3 Systems output of nonIinear and Iinear PID controIIer

4 結(jié)論

LPV模型是用于辨識工業(yè)系統(tǒng)的常用非線性時變模型，針對LPV模型的先進(jìn)控制算法常因為難以求解非線性動態(tài)約束的優(yōu)化命題而失敗.本文針對LPV模型的動態(tài)特性，提出了一種增量調(diào)整型非線性PID控制算法，首先在系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)工作點上整定局部線性的PID參數(shù)，然后以工作點變量為自變量構(gòu)建高斯函數(shù)權(quán)重，插值獲得非線性PID的整體控制參數(shù).該方法既避免了復(fù)雜的非線性尋優(yōu)計算，又能夠根據(jù)系統(tǒng)運行的動態(tài)特征實時更新參數(shù)，符合LPV模型以及大多數(shù)工業(yè)非線性對象的控制需求.仿真結(jié)果表明該方法與傳統(tǒng)線性PID控制相比，能夠在整個運行軌跡上獲得良好的控制效果，超調(diào)小，抗干擾能力強(qiáng)，響應(yīng)迅速且無穩(wěn)態(tài)誤差.

［1］金釗，劉麗華.PID參數(shù)模糊自整定控制在液位控制系統(tǒng)中的應(yīng)用 ［J］.北京信息科技大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2014，29（4）：86-89.

［2］于洪國，王平.一種改進(jìn)的最優(yōu)PID參數(shù)自整定控制方法 ［J］.現(xiàn)代電子技術(shù)，2010，19（1）：162-164.

［3］曾喆昭，肖雅芬，蔣杰，等.高斯基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性PID控制方法 ［J］.計算機(jī)工程與應(yīng)用，2013，49（9）：255-258.

［4］黃江茵.帶約束多項式權(quán)重LPV模型辨識算法研究 ［J］.廈門理工學(xué)院學(xué)報，2014，22（3）：45-50.

［5］胡包鋼.非線性PID控制器研究-比例分量的非線性方法 ［J］.自動化學(xué)報，2006，32（2）：219-227.

［6］邵輝，胡偉石，羅繼亮.基于LPV模型的魯棒PI控制方法 ［J］.北京工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2012，38（12）：1 761-1 765.

［7］LAURAIN V，GILSON M，T’OTH R，et al.Refined instrumental variable methods for identification of LPV Box-Jenkins models［J］.Automatica，2010，46（6）：959-967.

［8］陳虹.模型預(yù)測控制 ［M］.北京：科學(xué)出版社，2013：14-30.

Nonlinear PID Control Algorithm for LPVModels

HUANG Jiang-yin
（School of Electrical Engineering&Automation，Xiamen University of Technology，Xiamen 361024，China）

Using linear parameter varying（LPV）model as a controlled object，an easy-tuning nonlinear PID control algorithm adapting to dynamic systems is proposed.Based on the time varying nonlinear operating characteristic of LPV model，the concept of working point variable is introduced.The local linear PID parameters at steady states were tuned using the conventional Ziegler-Nichols method，and the nonlinear PID parameters interpolated using Gaussian function along the whole operating trajectory.The proposed method can effectively avoid the impact from control parameters’mutation and the errors from changing controlled model. The simulation nonlinear process is well controlled with respect to efficiency and stability by the nonlinear PID control algorithm we proposed.

linear parameter varying model；nonlinear PID control；Gaussian interpolation

TP273.2

A

1673-4432（2015）03-0036-05

（責(zé)任編輯 李 寧）

2015-04-02

2015-04-15

廈門理工學(xué)院高層次人才項目 （YKJ13012R）；廈門理工學(xué)院國家自然科學(xué)基金預(yù)研項目（XYK201402）；廈門理工學(xué)院對外科技合作與交流項目 （E201400900）

黃江茵 （1985-），女，講師，博士，研究方向為工業(yè)非線性系統(tǒng)辨識與控制.E-mail：jiangyinhuang @xmut.edu.cn