北京師范大學 呂孫忠 (郵編：100875)

北京師范大學珠海分校應用數(shù)學學院 高文華 (郵編：519085)

論三角函數(shù)的無理性

北京師范大學 呂孫忠 (郵編：100875)

北京師范大學珠海分校應用數(shù)學學院 高文華 (郵編：519085)

文[1]中提出了一個關于三角函數(shù)的問題：對怎樣的整數(shù)n，sinn°和cosn°當中至少有一個是有理數(shù)？文[2]對這個問題做了進一步的探究.但這兩篇文章對n的討論，僅僅局限于整數(shù)集上，筆者基于文[2]的研究基礎上，擴大n的數(shù)域，再給出了若干結論.

文[2]中討論了當n為奇數(shù)時，若cosnθ為無理數(shù)，則cosθ為無理數(shù).

推論1 若cosnθ為無理數(shù)，則cosθ為無理數(shù)，其中n∈Z.

證明 將cosnθ展開，得cosnθ=a0cosnθ+a1cosn-2θ+……+ak，其中a0,a1,……ak均為整數(shù)，若cosnθ為無理數(shù)，則cosθ必為無理數(shù).

推論2 若tanθ為有理數(shù)，則tan(nθ)為有理數(shù)，其中n∈Z.

證明 同樣用數(shù)學歸納法可證，此處略.

例 ( 2014 年北約)證明tan3°是無理數(shù)．

我們知道kπ=k×360°，它在弧度制中是無理數(shù)，而在度的單位中卻是一個整數(shù).如果將單位轉為度，那么在正弦，余弦和正切中，對?θ∈(0,90)且θ∈Q，只有sin30°，cos60°和tan45°為有理數(shù)，在度的單位中做一點討論.

推論6 如果一個三角形的三邊都是有理數(shù)，若內角的度數(shù)為有理數(shù)，則該內角的大小只能是60°，90°，120°.

證明 根據(jù)余弦定理和引理1，即證明.

推論7 如果一個三角形的三邊和三個內角的度數(shù)均為有理數(shù)，則該三角形一定是等邊三角形.

證明 根據(jù)推論5，可得該三角形三個內角為60°，90°，120°之一，推理可得內角只能為60°，所以該三角形為等邊三角形.

推論7的條件也可放寬至兩個內角為有理數(shù)，因為若三角形的兩個內角為有理數(shù)，那么第三個內角也必為有理數(shù).

思考 當θ=nrad，n為有理數(shù)且n≠0時，能否用初等方法證明sinθ和cosθ為無理數(shù).(該問題可以用超越數(shù)理論解決)

1 盧莉英．由計算sin18°而聯(lián)想的[J].數(shù)學通報，2011(3):60-61,63

2 郝四柱．整數(shù)度數(shù)的正余弦何時才能是有理數(shù)[J].數(shù)學通報，2014(1):53-54

3 王萼芳，石生明.高等代數(shù)第三版[M].北京：高等教育出版社，2003

4 喻沛如.再談三角函數(shù)的無理性[J].江西教育學院學刊，1982(1):51-52

5 閔嗣鶴，嚴士健.初等數(shù)論第三版[M].北京：高等教育出版社，2005

2015-03-05)